江西省定南中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷（含答案）

江西省定南中学年第一学期期末考试
高二年级数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知直线，，若，则实数的值为（ ）
A． B．
C．1 D．
2．抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知变量，的数据如下若与的回归直线方程为，则（ ）
3 4 6 7
2.5 3 5.9
A．3.5 B．4 C．4.2 D．5
4．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
5．某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ）
A．60种 B．90种 C．120种 D．150种
6．某校高三学生一次数学考试（满分150分，及格90分）的成绩 近似服从正态分布，若该校共有1000名高三学生参加考试，且，则估计该校这次数学考试的及格人数为（ ）
A．140 B．220 C．280 D．440
7．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线上位于第一象限内的一点，为的内心，交轴于点，且，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A. 展开式共有6项
B. 展开式的各二项式系数的和为64
C. 展开式中的系数为30
D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量、满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若样本数据线性相关，则用最小二乘法得到的回归直线经过该组数据的中心点
D. 对于随机事件与，，，若，则事件与不相互独立
11. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 圆心到直线距离的最大值是
C. 直线被圆截得的弦长的最小值是2
D. 若点在圆上，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一组数据的线性回归方程为，若，则．
13. 若直线过点，且与和的公共弦平行，则直线的方程为．
14. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 书架上层放4本不同的语文书，中层放5本不同的数学书，下层放6本不同的英语书．
（1）如果从中任取一本书，有多少种不同的取法？
（2）如果从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
16. 随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 50 s 100
女性 70 t 100
合计 120 80 200
（1）求，
（2）并根据以上数据判断是否有99%的把握认为我市市民网购与性别有关？
（3）现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
18．DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的个问题中随机抽取个作答．已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个．
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率；
（3）设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并分别求出与的期望和方差．
19．已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的上顶点到右焦点的距离为，右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，斜率为的动直线与椭圆交于、两点（、均异于点），且满足求证：直线过定点.
1．C
2．B
3．B
4．B
5．D
6．B
7．A
8．D
9．BD
10．ABC
11．BCD
12．78
13．
14．
15．(1)
(2)
（1）书架上共有不同的书本，
所以从中任取一本书，共有15种不同的取法.
（2）由题知从4本不同的语文书中任取一本，有4种取法；
从5本不同的数学书中任取一本，有5种取法；
从6本不同的英语书中任取一本，有6种取法.
根据分步乘法原则，，
所以从中任取三本书，其中包括语文书、数学书、英语书各一本，有120种不同的取法.
16．(1)50；30
（2）有99%的把握认为我市市民网购与性别有关
（3）.
（1），.
（2）完成列联表：
经常网购 偶尔或不用网购 合计
男性 50 50 100
女性 70 30 100
合计 120 80 200
由列联表得，，
∴有99%的把握认为我市市民网购与性别有关.
（3）由题知女市民中利用分层抽样的方法抽取10人中，
经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，
选取的3人中至少有2人经常网购的概率，
所以所求概率为.
17.（1）
（2）
（1）因为PA⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
因为⊥AB，
所以以点<为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
可得(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)，
则，，.
设为平面PBD的法向量，则，即，
令y，则x，z，得为平面PBD的一个法向量，
设直线与平面PBD所成角为，
则，，
所以，
所以直线<与平面PBD所成角的余弦值.
（2）向量，设平面PBC的法向量，，即
，
令，则，，得为平面的一个法向量，
则点到平面的距离为。
18.（1）设小张答对的题数为，则。
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，
由题意知，，，
则，
。
（3）已知小张答对的题数为，则的可能取值是、，
且，，
所以的分布列为：
则，
，
已知DeepSeek答对的题数为，则服从二项分布，
则，
．
19.（1）解：由题意得抛物线的焦点为，所以，
因为椭圆的上顶点到右焦点的距离为，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）证明：由题不妨设直线的方程为，
联立，整理得：，
设，，则，，
所以
，
化简得：，则或，
当时，，直线恒过点，不合题意，
当时，，直线恒过点，
综上，直线恒过点.