江西省赣州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）

赣州市2025~2026学年度第一学期期末考试
高二数学试卷
2026年2月
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时
长120分钟．
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．点到直线的距离是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则实数的值为（ ）
A． B．2
C． D．
3．椭圆的焦距为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．20
4．若圆：与圆：外切，则（ ）
A．1 B．2 C．9 D．1或9
5．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是
（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
6．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
7．从，，中任取2个数字，从，，中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数
有（ ）
A．216个 B．162个 C．108个 D．180个
8. 方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线
B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆
C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线
D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆
10．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量，则
B．离散型随机变量服从两点分布，且，则
C．随机变量，若，则
D．已知随机变量，满足，若，则，
11．如图，是椭圆：与双曲线：在第一象限的交点，，，共焦点，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则
D.
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，项的系数为_____．
13. 经过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为_____．
14. 赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在的展开式中，第4项为常数项．
（1）求的值和该常数项的值；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
16. 已知离心率为的椭圆：的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率为1的直线交于，两点．
（1）求的方程；
（2）求．
17. 如图，棱锥中，四边形是矩形，平面，，是的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．
18．某学校举办数学知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题
分值均为20分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低
于60分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率分别为，，，乙答对第一、二、
三题的概率均为，且甲、乙每次答对与否互不影响．
（1）求甲获奖的概率；
（2）求乙的累计得分的分布列和期望；
（3）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
19．在平面直角坐标系中，抛物线：上一点的横坐标为，且点
到焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）是不在坐标轴上的一个动点，过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂
直．设直线与，轴的交点分别为，．
①证明：是一个定点；
②求的最小值．
1．B
2．A
3．B
4．A
5．D
6．C
7．D
8．D
9．ABC
10．BCD
11.AD
12．
13．
14.
15.（1），
(2)
（1）因为的通项为，
由题知时，，解得，所以常数项为。
（2）由（1）知，令，得到，
则展开式中所有项的系数之和为。
16.（1）
（2）
（1）由题意，可得，解得
椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知椭圆的右焦点坐标为，
点，所在直线方程为.
联立，消去并整理得.
设，，则，，
.
17.（1）取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，，
因为四边形是矩形，是的中点，
所以且，
故且，
则四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为，，
所以是等腰直角三角形，
又平面，故以中点为原点，
过点和平行的直线为轴，为轴，为轴，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设是面的一个法向量，则有，
取，则，，故，
设是面的一个法向量，则有，
取，则，，故，记平面与平面的夹角为，
则，，
，所以平面与平面夹角的正弦值为．
18．（1）甲得60分的概率为，
甲得80分的概率为，甲获奖的概率为.
（2）由题意知：乙累计得分的可能取值有0，20，40，60，80，
所以，
，，
，，
的分布列为：
0 20 40 60 80
.
（3）根据题意得，得分不低于60分即可获奖，
由（1）知，甲获奖的概率为，
由（2）乙获奖的概率为，
乙只得60分的概率为，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为，
所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，甲累计得分比乙高的概率为。
19.（1）因为点到焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为2，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为，
，解得，抛物线的方程为。
（2）①设点的坐标为，记两切点，的坐标为，，
则，的方程分别为，，
将点代入，得，
故点，满足方程，
所以直线的方程为，
，，由知，，，
所以直线的方程为，
故直线与轴的交点是定点。
②方法一：由①知，直线的斜率，直线的斜率，
设，则为锐角，
且
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
方法二：由①，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，所以点的坐标为，
由①，，，
为点到直线的距离，直线的方程为，
，
又，
得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．