江西省景德镇市乐平中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

江西省乐平中学学年高二上学期期末考试
（4-30班）数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 如图，矩形的对角线把矩形分成、、、四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？
A.260 B.180 C.240 D.120
3. 直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
4. 的展开式中和的系数相等，则（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
5. 过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ）
A.40 B.28 C.20 D.14
7. 已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为
P
则下列说法正确的是（ ）
A. ，　　　　　 B. ，
C. ，　　　　　 D. ，
8. 设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A.4　　　　　 B. 　　　　
C.3　　　　　 D.2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线：，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是焦点在轴上的椭圆
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线
D. 若，，则是两条直线
10. 甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．下列结论正确的是（ ）
A. 从乙箱中取出两球是白球的概率为0.18
B. 从乙箱中取出两球是黑球的概率为0.27
C. 若从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是黑球的概率
D. 若从乙箱中取出的是两黑球，则从甲箱中取出的两球是白球的概率
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，为棱上的动点.则下列说法正确的是（ ）
A. 点为中点时，
B. 当点运动时，折线段长度的最小值是
C. 当点运动时，三棱锥外接球的球心总在直线上
D. 当为的中点时，正方体表面到点距离为的轨迹的总长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 点在线段（含端点）上运动，且，，则的取值范围为______
13. 如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积_____.
14. 已知定点，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知圆过点，，且圆心在直线
（1）求圆的方程；
（2）若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程.
16. 每年樱花季，若在樱花树下留恋超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：
樱花迷 非樱花迷
男 5m 5
女 40 2m
（1）求的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
（3）现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，
记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．如图，在直三棱柱中，，、分别是，的中点，
，．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18．假定射手甲每次射击命中目标的概率为，其中．
（1）当时，若甲射击次，命中目标的次数为．
①求；
②若，其中，，求的值．
（2）射击积分规则如下：单次未命中目标得0分，单次命中目标得1分，若连续命中目标
次，则其中第一次命中目标得1分，后一次命中目标的得分为前一次得分的2倍. 记射手甲
射击4次的总得分为，若对任意有成立，求所有满足上述条
件的有序实数对.
19. 已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的
直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点.
（1）若，求点的横坐标；
（2）证明：直线过定点；
（3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值.
1．C
2．A
3．B
4．B
5．C
6．B
7．C
8．D
9．CD
10．BC
11．ACD
12.
13．
14．20
15.（1）
（2） 或。
（1）由题意可设圆心，则由题意可知
，
所以半径，即圆的方程为；
（2）易知当切线斜率不存在时，此时与圆相切，符合题意；
当切线斜率存在时，可设，
则圆心到切线的距离为，解之得，
即，
所以该切线方程为：或。
16.（1）由题意可得，解得；
（2）零假设：“樱花迷”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即“樱花迷”与性别无关联；
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
故的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
故.
17.（1）连接，如下图所示，
由于是直三棱柱，易知，
又因为，且，，平面，
所以平面。
因、分别是，的中点，所以，因此平面；
又平面，所以；
易知，，，所以，
满足，由勾股定理可知，，
又因为，，平面，所以平面。
又平面，所以，。
（2）由（1）可知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
易得，，，，，
，，；
设平面的一个法向量为，
则，令得，，
即平面的一个法向量为，
易知，平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角（锐角）为，
则，，
所以，平面与平面所成角的余弦值为。
18.（1）①；②
（2），
（1）①由题意知，所以。
②，其中，，，，，
设，
则，
所以，
因为，其中，，
所以，所以或，
当时，，舍去，
当时，，满足题意，
综上所述，。
（2）的可能取值为，，，，，，。
，，，
，，，。
对任意，，，
故所求的有序实数对为，。
19.（1）由题意知
（2）思路一：由：，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为，，有，
、、、，
联立：与直线，即有，
消去可得，，
故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时，则：，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，即时，
有：，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
思路二：设，，不妨设。
设：，则。由，得，
故，，，。
所以。
同理可得。
若，则直线：，过点。
若，则直线：，过点。
综上，直线过定点。
（3）思路一：由、、、，
则：，由、，
故，
同理可得：，联立两直线，即，
有，
即，
有，由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证；
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，
此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故。
思路二：设为的中点，为直线与的交点。
由， 分别为， 的中点知，所以，故.
设为直线与的交点，同理可得.
所以.
由（2）中的法2可得，同理可得.
所以，
当且仅当时等号成立.
因此的面积的最小值为8.