江西省景德镇市乐平三中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

乐平三中2025—2026学年度上学期期末考试
高二数学试卷
满分：150分；考试时间：120分钟；
一、单选题（本题共8个小题每题5分，共计40分）
1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．
B．
C．
D．与斜交
2．的展开式中的系数为
A．10 B．15 C．20 D．25
3．已知正方体的棱长为1，若空间中存在一点，满足
，则点到直线的距离为（ ）
A． B．1
C． D．
4．已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直
线与直线：平行，则两平行线间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，
则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线，为其右焦点，过点的直线与双曲线相交于，两点，若
，则这样的直线的条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思
路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案.张君从这4道题中随机选择2
道题作答，则2道题都答对的概率为（ ）.
A． B．
C． D．
8．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上不同的两点，且满足，设，到抛物线的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共计18分）
9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）.
A．与为互斥事件
B．与为相互独立事件
C．
D．
10．已知直线：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．不存在实数，使得直线与圆相切
C．直线被圆截得的最长弦长为6
D．直线被圆截得的最短弦长为
11．在平行六面体中，已知，，为棱的中点，则（ ）
A．
B．直线与所成的角为
C．平面
D．已知为上一点，则最小值为
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共计15分）
12．已知随机变量的概率分布如表且，则____．
1 2 4
0.4
13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有____种．
14．已知直线：恒过定点，点为圆：上的动点；为坐标原点，则面积的最大值为____．
四、解答题（本题共5个小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，求计77分）
15．已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是．
（1）求；
（2）求展开式中所有的有理项．
16．已知抛物线：（）的焦点为，为上一点，且．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于不同的两点，，当时，求直线方程．
17．如图，在长方体中，，，点在棱上运动．
（1）证明：；
（2）设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
18．甲，乙，丙，丁四名选手进行象棋比赛，已知甲和乙是专业选手，丙和丁是业余选手.
已知专业选手对业余选手时专业选手获胜的概率为、业余选手获胜的概率为，专业选手对专业选手时每人获胜的概率均为，业余选手对业余选手时每人获胜的概率均为，比赛规则为：第一轮随机安排两两对赛，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮胜者为第一名.
（1）求选手甲和丁在第一轮对赛的概率；
（2）求选手甲和丁在第二轮对赛的概率；
（3）现有两种比赛方案，
方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛；
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛.
比较两种方案中业余选手获得第一名的概率的大小，并解释结果.
19．已知椭圆：（）的长轴长与短半轴长的比值为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.
（i）若直线的斜率为，求椭圆的焦距的取值范围；
（ii）若面积的最大值为，求椭圆的标准方程.
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．D
5.B
6.C
7．A
8．A
9．BCD
10．ABD
11．ACD
12.16
13.18
14.
15.(1)9
（2），，，，
（1）第5项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
，解得或（舍去）.
（2）由（1）可知，展开式为，
令，则，
故第2项，第4项，第6项，第8项，第10项为有理项，
它们分别为，，，
，。
16.（1）
（2）或
（1）因为的准线方程为，由定义可得，
又为上一点，所以，联立两个方程可得，解得，
所以的方程为。
（2）由（1）知焦点，
设直线的方程为，与抛物线联立得。
设，，由韦达定理得：，，
的面积为：，
解得，所以直线的方程为：或。
17.（1）证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，， 设，
，，
因为，所以.
（2）设，因为为棱的中点，所以.
，，则，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，即，
设与平面所成夹角为，则，
令，解得或（舍），
所以棱上存在一点，使得与平面所成夹角正弦值为
18.（1）
（2）
(3)
（1）由题意，第一轮的对赛的所有情况有
①甲乙，丙丁；②甲丙，乙丁；③甲丁，乙丙，共三种情况，
故甲和丁在第一轮对赛的概率为.
（2）由（1），第一轮的对赛的所有情况有三种.
①甲乙，丙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为；
②甲丙，乙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为；
③甲丁，乙丙：甲和丁在第二轮对赛的概率为0.
故甲和丁在第二轮对赛的概率为.
（3）方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛：
则第二轮必定为专业选手与业余选手对赛，则业余选手获得第一名的概率为.
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛：
第二轮为全专业选手的概率为，则业余选手获得第一名的概率为.
第二轮为全业余选手的概率为，则业余选手获得第一名的概率为
.
第二轮为一个专业选手与一个业余选手的概率为，此时业余选手获得
第一名的概率为.
综上业余选手获得第一名的概率为.
所以方案一中业余选手获得第一名的概率大于方案二中业余选手获得第一名的概率.
19.（1）
（2）（i）；（ii）
（1）因为长轴长与短半轴长的比值为，所以，即，
离心率.
（2）（i）由（1）知，椭圆方程为，
直线方程为，代入椭圆方程：，即，
直线与椭圆有两个交点，故判别式，由可得。
焦距为，
即椭圆的焦距的取值范围为。
（ii）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得
，
设，，则，即，
，，
，
原点到直线的距离，
，
令，由可得，
则，
当时，有最大值，令，可得，此时，
符合题意；
当时，有最大值，令，可得（舍），
所以方程为。