江西省万载中学等校2025-2026学年高二上学期2月质量检测数学试题（含答案）

高二数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1
2．已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．若从1，2，3，…，（）中任意取出两个不同的数，共有21种不同的取法，则（ ）
A．6 B．7 C．20 D．21
4．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知随机变量的分布列如下表：
则随机变量的方差为（ ）
A． B．
C． D．
6. 过原点的直线与圆：交于，两点，若，则直线的斜率为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 一个盒子中装有标号为、、、、的球各两个，现从中任取两球，则在其中一个球的标号为的条件下，另一个球的标号也为的概率为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有项
B. 展开式的二项式系数之和为
C. 展开式各项的系数之和为
D. 展开式中第项的二项式系数最大
10. 已知抛物线：（）的焦点为，点是上任意一点，为坐标原点，则（ ）
A.
B. 若，则点到的准线的距离为
C.
D. 若直线的斜率大于等于，则
11. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A. 与相互独立
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15 分.
12. 过、两点的直线的倾斜角为____.
13. 将甲、乙等人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有____种.（用数字作答）
14. 过双曲线：（，）的左焦点作圆的一条切线，切点为，该切线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为____。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院。
（1）共有多少种不同的报名方法？
（2）若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？
16. 如图，在正方体中，是的中点。
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值。
17. 某校高中学生课后每天整理数学错题（单位：道）和他们的数学成绩（单位：分）之间存在近似的线性关系，数据如下表：
整理错题/道 5 10 15 20 25
数学成绩/分 75 80 90 100 105
（1）试用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测每天整理数学错题30道时的数学成绩；
（2）基于上述数据整理，该校提倡学生课后进行数学错题整理，经过一段时间后，在本校学生中采用随机抽样的方法抽取了200名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下：
数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计
每天都整理数学错题人数 60 40 100
不是每天都整理数学错题人数 40 60 100
合计 100 100 200
试问：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关吗？
附：，；
，。
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．动点满足到定点和定直线的距离之比为，动点的轨迹为曲线，，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，。
（1）求的方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
（3）记、的面积分别为，，问是否存在实数，使得恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
19．某知识竞赛题库中的题目按照难度不同分为，，三类，学生甲回答这三类题目中每个题的正确率分别为，，。
(1)若现有，，这三类中的题目各一题，学生甲每回答正确一题得5分，回答错误得分。设学生甲回答三题后的总得分为，求的分布列及数学期望；
（2）若题库中，，三类题题目量之比为。
（i）学生甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（ii）现随机抽取题库中的100道题，记学生甲答对的题目数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
1．C
2．A
3．B
4．D
5．A
6．B
7．A
8．C
9．BCD
10．ABD
11.AC
12.
13．
14．
15.(1)256
(2)48
（1）由题意知，甲可报名参加，，，四个社区医院任意一个，共有种选择，同理乙、丙、丁同样有种选择，
共有报名方法为.
（2）将甲、乙看作一个整体，共有种报名方法，丙不报社区医院，即有种报名方法，丁有种报名方法，
则共有报名方法种.
16.（1）以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则
，，，，，，，
所以， ， ，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
则，即，
又因为平面，所以平面。
（2）由（1）得，，平面的一个法向量为，
设直线与平面夹角为，
则，，
所以直线与平面夹角的正弦值为。
17.（1）由表格中的数据可得，，
所以，
，
故关于的线性回归方程为，
当时，，
预测每天整理数学错题30道时的数学成绩约为114分.
（2）零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关，
，
所以，我们认为数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关.
18.（1）由题知，，化简得，，即的方程为.
（2）由（1）知，的方程为，且在曲线上，
显然直线斜率存在，设，，，
联立方程，得\（，
所以，
解得，
又，，
所以
，
故为定值．
（3）存在，．
由（2）可得，，
令，分别可得，，
即，，
所以，
且，
又，
所以．
故存在实数，使得恒成立，且．
19.（1）已知，，三类题各一题，答对得5分，答错分，
设答对，，题分别为事件，，，则：，
，；，；，，
三题全错：，
对1题错2题：，
对2题错1题：，
三题全对：，
即的可能取值为：，，，，
，
，
，
，
所以的分布列：
；
（2）（i）因为，，三类题目量之比为，即任选一题，是类的概率类为，类为，
设 “任选一题作答正确” 为事件，由全概率公式：
；
（ii）由题意，，即，，，，，.
设，则：，
即，即，
解得：，
因此：当时，，概率单调递增；
当时，，概率单调递减，
故使最大的值为。