江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题（含答案）

江西鹰潭市贵溪市第一中学学年高二上学期
2月期末数学试题
试卷满分：150分，考试时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 若复数，则 =（ ）
A. B.
C. D.
2. 若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 若集合，，则 =（ ）
A. B.
C. D.
4. 向量，，，且，，则 =（ ）
A. B.3
C. D.
5. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则 =（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，A为曲线，在第一
象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 小明在某不透明的盒子中放入红黑个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 件产品中有件正品，件次品，从中任取件，则至少取到件次品的概率为
B. 由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断，独立
C. 已知，为随机事件，，，若，相互独立，则
D. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10. 在棱长为的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（ ）
A.
B. 点到平面的距离的取值范围为
C. 若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为
D. 若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ）
第0行　　　　　1 …………………第1斜列
第1行　　　　1 1 …………………第2斜列
第2行　　　1 2 1 ………………第3斜列
第3行　　　1 3 3 1 ……………第4斜列
第4行　　1 4 6 4 1 …………第5斜列
第5行　　1 5 10 10 5 1 ………第6斜列
第6行1 6 15 20 15 6 1 ……第7斜列
第7行1 7 21 35 21 7 1 ……第8斜列
A.
B. 第10行所有数字之和为
C. 第2026行的第1013个数最大
D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1：3
三、填空题（每题5分，共计15分）
12. 某次考试的数学成绩近似服从正态分布且，若参加
考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为______．
13. 离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，
，，则______．
14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们在第二象
限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴于点，且平分，则双曲线
的离心率为______．
四、解答题（本题共77分，解答要写出必要的步骤）
15. 已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为，战平的概率均为
，若进入点球大战则取胜的概率均为，且每场比赛相互独立．
（1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；
（2）设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求的分布列与期望．
17．如图1，是以为底边的等腰三角形，为正三角形.把沿翻折至的位置，得空间四边形，连接，如图2.
（1）求证：；
（2）当，且二面角的平面角为时，求二面角的正弦值.
18．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
（1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；
（2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程.
参考数据：设，则，，，．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19．在直角坐标系中，，点到：的距离为，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知与轴交于点，过点的直线与交于，两点，点，满足，，直线与交于，两点.
（i） 证明：直线过定点；
（ii）若直线斜率存在且不为，记，，的斜率分别为，，，证明：是定值.
1．A
2．D
3．D
4．B
5．C
6．A
7．A
8.D
9．ACD
10．ACD
11.AB
12．30
13．
14．
15.（1）
（2）或.
（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（），
因为圆经过，两点，
所以，解得，
所以圆的方程为；
（2）由，可得圆心，半径为，
因为直线与圆相交于，两点，且，
所以圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，即，
综上直线的方程为或。
16.（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况：
①直接获胜，其概率为；
②常规时间战平后点球获胜，其概率为，
所以甲单场获胜的概率为，
则三场比赛恰有两场获胜的概率为。
（2）解：甲单场比赛的积分有3种情况：
单场比赛积3分，其概率为；单场比赛积2分，其概率为；
单场比赛积0分，其概率为，
设为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则的可能取值为，，，，，，
可得，，
，，
，，
所以随机变量分布列为：
X 0 2 3 4 5 6
P
则期望为.
17.（1）取的中点为，连接，，
由得，
由得，
又，，平面，
所以平面，
由平面得.
（2）因为平面，，平面，
所以，，
所以为二面角的平面角，故，
因为平面，平面，
所以平面平面，且交线为，
过作于，
因为平面，则平面，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，不妨设，则，，
，，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，由，得，
令得平面的一个法向量，，
同理得平面的一个法向量，
，
设二面角的平面角为，则，，
因为，所以，
所以二面角的正弦值为。
18.（1）
（2） 。
（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，
故所求概率为。
（2），，
由题知，，
，
，
，故.
19.（1）不妨设，由题可得，
化简得.
（2）（i）由题可知，斜率为0时过轴上点，
不妨设，
由，，知，，
故记，
由条件知，得，
故，其过定点.
（ii）设，，注意到在椭圆上，不妨设，
联立，有，
可得的纵坐标为，
于是，
联立，得，
于是，，
于是，
可得，
而
，
而，于是，为定值，故得证.