江西鹰潭市田家炳中学2025-2026学年高二年级上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西鹰潭市田家炳中学2025-2026学年高二年级上学期期末考试数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 129.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
江西鹰潭市田家炳中学学年高二年级上学期期末考试数学试题
本卷分第I卷（选择题，共58分）和第II卷（非选择题，共92分）两部分，
全卷满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
2.第II卷各题的答案，必须答在答题卷II规定的地方．
3.考试结束，考生只将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知直线，，若，则等于（ ）
A．2
B．3
C．2或3
D．或
2．在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且
，则的值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．已知点，，若平面的一个法向量为，则
（ ）
A． B．
C．3 D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B．25
C． D．50
5．已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公
共点”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
7．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．9
8．在三棱锥中，为的重心，，， .若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9．某一比赛结束，3位教练和4位运动员站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若3位教练站在一起，则不同的站法有种
B．若3位教练不站在两端，则不同的站法有种
C．若3位教练两两不相邻且要求1位教练站在最左端，则不同的站法有种
D．若4位运动员按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设4位运动员的身高各不相
同），则不同的站法有种
10. 已知正方体棱长为1，以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（ ）
A. 点到平面的距离为
B. 在上的投影向量是
C. 点关于平面的对称点坐标为
D. 点在内部，，则点的轨迹长为
11. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的周长可以为14
D. 当时，
三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.
12. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 ____.
13. 已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则 ________。
14. 若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为 ______。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答写在答题卡上的指定区域内。
15.（1）已知对任意给定的实数，都有。求：；
（2）5本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学，每个同学至少得1本，则共有多少种不同的分法？
16. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”。2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌。其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制。每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束。2024年8月9日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为。
（1） 求中国队以获胜的概率
（2） 求至多进行四场就结束比赛的概率。
17. 某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目。比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛。已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中。
（1） 甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2） 若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列。
18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2）
（1）求证：平面；
（2）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．
19．椭圆的离心率为，设，分别为的左，右顶点，，分别为上、下顶点，四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、，求的面积；
（3）过点的直线与椭圆交于两点，（不与，重合），若直线与直线相交于点，求证：三点，，共线．
1．A
2．A
3．B
4．A
5．A
6．B
7．C
8．D
9．BC
10．BC
11.
12．
13．1
14．
15.（1）；（2）150
（1）令，得，
整理得；
再令，得
故。
（2）5本书分成3组，且每组至少1本，分两种分组情况：
①分组为，，：
②分组为，，：
再分配给3人有种分法，所以共有种分法。
故共有150种不同的方法。
16.（1）
（2）
（1）设事件“中国队以的比分获胜”，
因为中国队在每一场中获胜的概率均为，所以，
中国队以的比分获胜的概率为；
（2）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，，至多进行四场比赛为事件，
所以，，
，，
，，，是互斥事件，
所以，，
，
所以至多进行四场就结束比赛的概率为。
17.（1）甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，而，则，
所以甲进入决赛的可能性最大。
（2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率，
整理可得，解得或，而，所以。
则，
所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，，，
随机变量的可能取值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
18．（1）连接，在中，，，
，
在中，，，
同理可得，，，平面，
平面；
（2）设为的中点，，
平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面，
平面 ， 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
过点 且平行于 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，
设平面 的法向量为 ，
，，
取 ，，
设 ，
，，
设点 到平面 的距离为 ，
，，
是线段 上靠近点 的三等分点，易求平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
，，
取 ，，
设平面 与平面 所成的角为 ，
，．
19.（1）由题意得：.
所以椭圆 的方程为：.
（2）如图：
将直线 即 代入椭圆 ，得：.
整理得： 或
又直线 交 轴于点 .
所以.
（3）如图：
因为，不与，重合，可设直线方程为：，代入椭圆
得：，整理得：.
设，，
则，.
直线方程为：，
令得：，即点坐标为：.
所以，，
因为
，
所以，所以，，三点共线.
本卷分第I卷（选择题，共58分）和第II卷（非选择题，共92分）两部分，
全卷满分为150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．
2.第II卷各题的答案，必须答在答题卷II规定的地方．
3.考试结束，考生只将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知直线，，若，则等于（ ）
A．2
B．3
C．2或3
D．或
2．在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且
，则的值为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．已知点，，若平面的一个法向量为，则
（ ）
A． B．
C．3 D．
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B．25
C． D．50
5．已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公
共点”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．人工智能领域让贝叶斯公式： 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.1.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.9，即在该视频是伪造的情况下，它有90%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.4，即在该视频是真实的情况下，它有40%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
7．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．9
8．在三棱锥中，为的重心，，， .若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9．某一比赛结束，3位教练和4位运动员站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若3位教练站在一起，则不同的站法有种
B．若3位教练不站在两端，则不同的站法有种
C．若3位教练两两不相邻且要求1位教练站在最左端，则不同的站法有种
D．若4位运动员按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设4位运动员的身高各不相
同），则不同的站法有种
10. 已知正方体棱长为1，以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（ ）
A. 点到平面的距离为
B. 在上的投影向量是
C. 点关于平面的对称点坐标为
D. 点在内部，，则点的轨迹长为
11. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 的周长可以为14
D. 当时，
三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.
12. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 ____.
13. 已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则 ________。
14. 若椭圆上存在一点，使得到其左、右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为 ______。
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答写在答题卡上的指定区域内。
15.（1）已知对任意给定的实数，都有。求：；
（2）5本不同的书，分给甲、乙、丙3个同学，每个同学至少得1本，则共有多少种不同的分法？
16. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”。2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌。其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制。每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束。2024年8月9日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为。
（1） 求中国队以获胜的概率
（2） 求至多进行四场就结束比赛的概率。
17. 某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目。比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛。已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中。
（1） 甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2） 若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列。
18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，，且（如图2）
（1）求证：平面；
（2）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值．
19．椭圆的离心率为，设，分别为的左，右顶点，，分别为上、下顶点，四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、，求的面积；
（3）过点的直线与椭圆交于两点，（不与，重合），若直线与直线相交于点，求证：三点，，共线．
1．A
2．A
3．B
4．A
5．A
6．B
7．C
8．D
9．BC
10．BC
11.
12．
13．1
14．
15.（1）；（2）150
（1）令，得，
整理得；
再令，得
故。
（2）5本书分成3组，且每组至少1本，分两种分组情况：
①分组为，，：
②分组为，，：
再分配给3人有种分法，所以共有种分法。
故共有150种不同的方法。
16.（1）
（2）
（1）设事件“中国队以的比分获胜”，
因为中国队在每一场中获胜的概率均为，所以，
中国队以的比分获胜的概率为；
（2）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，，至多进行四场比赛为事件，
所以，，
，，
，，，是互斥事件，
所以，，
，
所以至多进行四场就结束比赛的概率为。
17.（1）甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，而，则，
所以甲进入决赛的可能性最大。
（2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率，
整理可得，解得或，而，所以。
则，
所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为，，，
随机变量的可能取值有0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
18．（1）连接，在中，，，
，
在中，，，
同理可得，，，平面，
平面；
（2）设为的中点，，
平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面，
平面 ， 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
过点 且平行于 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，
设平面 的法向量为 ，
，，
取 ，，
设 ，
，，
设点 到平面 的距离为 ，
，，
是线段 上靠近点 的三等分点，易求平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
，，
取 ，，
设平面 与平面 所成的角为 ，
，．
19.（1）由题意得：.
所以椭圆 的方程为：.
（2）如图：
将直线 即 代入椭圆 ，得：.
整理得： 或
又直线 交 轴于点 .
所以.
（3）如图：
因为，不与，重合，可设直线方程为：，代入椭圆
得：，整理得：.
设，，
则，.
直线方程为：，
令得：，即点坐标为：.
所以，，
因为
，
所以，所以，，三点共线.
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