江西省南昌市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）

江西省南昌市学年高二上学期期末数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 展开式中的系数为（ ）
A．1 B．6 C．15 D．20
2．已知直线经过点，，其中，则的倾斜角为（ ）
A． B．
C．0 D．
3．若，，三点共线，则（ ）
A． B．
C．1 D．0
4．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，，.
A．130　　　　 B．228　　　　 C．260　　　　 D．1587
6．图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（ ）
A．4　　　　　 B．8　　　　　
C．　　　　 D．
7．甲、乙、丙等5人站成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙相邻的排法有（ ）
A．24种　　　　 B．36种　　　　 C．42种　　　　 D．48种
8．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段的中点在的另一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A．　　　　 B．2　　　　　
C．　　　　 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的有（ ）
A．当样本相关系数满足时，对样本数据，，，均落在一条直线上
B．样本相关系数的值越大，随机变量之间的线性相关程度越强
C．方差或标准差越大，随机变量的取值越分散
D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中
10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．甲每次掷骰子，若点数不超过三点，则给甲加1分，若点数超过三点，则给甲减1分．已知甲的初始积分为0分，甲重复掷骰子次后，记甲的得分为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当为偶数，且时，越大，其概率越小
D．若，则为偶数，且越大，越小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．根据表中数据，得到关于的线性回归方程，且，则____．
2 4 5 6 8
13．从装有5个红球和4个蓝球（球的大小和质地均相同）的盒子中随机取2个球，则在取
到的2个球颜色相同的条件下，所取球都是红球的概率为______．
14．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点为，，若存在点，使得，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知抛物线与直线相切，切点为．
（1）求的值；
（2）过点且与直线垂直的直线与抛物线交于另一点，求．
16．某科研团体为了研究猪油是否比某些植物油更有助于控制体重，在小鼠身上模拟了人类少吃油的健康饮食模式，将40只小鼠随机分成两组，一组吃猪油，另一组吃植物油，持续一段时间后，得到如下数据．
小鼠 体脂率 合计
低于15% 高于15%
吃猪油 18 2 20
吃植物油 10 10 20
合计 28 12 40
（1）试问小鼠体脂率的差异是否与吃猪油有关？
（2）若将表中所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断小鼠体脂率的差异是否与吃猪油有关，若要使得有99.9%的把握判断小鼠体脂率的差异与吃猪油有关，求的最小值．
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，，分别为，的中点.
（1）证明：.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差，则停止比赛，进球数多的获胜；若轮比赛后，两人的进球数相差小于也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为和.每轮点球比赛的结果相互独立.
（1）求轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率；
（2）求甲、乙最终平局的概率；
（3）记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望．
19．在空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其对称式方程可表示为.
若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为
，其一般式方程为.
已知为坐标原点，，，，动点在平面内，且.
（1）求点到平面的距离；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）记直线与平面所成的角为，求的取值范围.
1．B
2．C
3．A
4．C
5．B
6．A
7．B
8．A
9．ACD
10．BCD
11.ACD
12.17.5
13．
14．
15.(1)2
（2）.
（1）由，得①.
因为抛物线与直线相切，所以，
解得（舍去），即的值为2.
（2）方程①即，解得，，所以.
直线的方程为，即.
由，得，
解得（舍去），. 由，得，即.
.
16.（1）有的把握判断小鼠体脂率的差异与吃猪油有关
(2)2
（1）：假设小鼠体脂率的差异与吃猪油无关，
则.
因为，所以有的把握判断小鼠体脂率的差异与吃猪油有关.
（2）.
令，解得.
因为，所以的最小值为。
17.（1）证明：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
所以，
所以，即。
（2）由（1）得，，
设平面的法向量为，
则，令，得
易得是平面的一个法向量。
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
18.（1）记轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为，
由两人的进球数相同可以是或，
则.
（2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，
，.
因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了轮比赛，分三种情况：
①轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为.
②轮比赛中，有轮比赛甲、乙的进球数相同，有轮比赛甲比乙多进一个球，有轮比
赛甲比乙少进一个球，其概率为.
③轮比赛中，有轮比赛甲比乙多进一个球，有轮比赛甲比乙少进一个球，且前轮比
赛中甲或乙没有连续轮比对方多进一个球，其概率为.
故甲、乙两人最终平局的概率为.
（3）的所有可能取值为，，．
，
，
.
的分布列为
.
19.（1）
（2）
（3）
（1）点在平面内，.
平面的一个法向量为.
点到平面的距离.
（2）点，，均在平面内，，，三点共线，，且
，
所以点的轨迹为平面内以，为焦点的椭圆，记为椭圆，
椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，
点到直线的距离的最大值为短半轴长，所以，
三棱锥即三棱锥，其体积的最大值为.
（3）记点在平面上的投影为点，则为直线与平面所成的角，即，
由题意得直线 的对称式方程为 ，
则有 ，解得 ，即 ，
在 中，，所以 ，
记椭圆 的中心为 ，，
因为 的值大于长半轴长，所以点 在椭圆外部，
，当且仅当 点在线段 与椭圆 的交点处时，
等号成立．
，
当且仅当 点在射线 与椭圆 的交点处时，等号成立．
所以 ，即 的取值范围为 ，