江西宜春市樟树中学2025-2026学年高二年级上学期第三次诊断作业数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西宜春市樟树中学2025-2026学年高二年级上学期第三次诊断作业数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
樟树中学2027届高二年级上学期第三次诊断作业
数学作业
作业范围：选择性必修一 作业时间：2026.2.3
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 的展开式中项的系数是（ ）
A. B.
C.12 D.44
3. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A.2 B.6
C. D.
4. 在三棱锥中，是平面上一点，且，则（ ）
A.1 B.
C. D.
5. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
6. 小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（ ）
A.128 B.144 C.160 D.210
8. 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
10．给出下列命题，其中错误的是（ ）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
11．棱长为2的正方体，，分别是，的中点，为棱上的动点，
设，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与所成角的余弦值为
C．平面与平面夹角的余弦值的最大值为
D．平面与正方体侧面的交线扫过的区域面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．双曲线的焦点为，，点在双曲线上，若，则．
13．用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2整除的数共有个．（用数字作答）
14．已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线和直线。
（1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离；
（2）若，求两直线与间的距离。
16. 为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了
100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机
水果的种植面积。农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会
员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下。
喜欢有机水果 不喜欢有机水果
南方会员 80 40
北方会员 40 40
（1）视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率；
（2）试根据小概率值的独立性检验，分析喜欢有机水果是否与会员的区域有关。
附：，。
0.05 0.025 0.005
3.841 5.024 7.879
17. 为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体
高（单位：cm）如下表，请进行数据分析。
甲品种 137 128 130 133 122
乙品种 111 110 109 106 114
（1）已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于111cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头。设随机变量为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量的分布列与期望。
（2）当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C.V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数.变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了.从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.（参考数据，）
18．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
19．如图1，已知椭圆的方程为和椭圆其中，分别是椭圆的左右顶点．若，恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图2，若是椭圆上一点，射线，分别交椭圆于，，连接，（，，均在轴上方）．求证：，斜率之积为定值，求出这个定值；
（3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数的值．
1.C
2.A
3.A
4.B
5.A
6．B
7．B
8．B
9．CD
10．BCD
11.ACD
12.21
13．48
14．
15．（1）定点，距离为
（2）
（1）直线：恒过定点，
定点到直线的距离为.
（2）由，则，即，
此时：，即，：，满足，
则两直线与间的距离为.
16.（1）喜欢有机水果的概率分别为，
（2）喜欢有机水果与会员的区域有关
（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；
北方会员中喜欢有机水果的概率，
所以南方、北方会员中喜欢有机水果的概率分别为，.
（2）零假设：假设喜欢有机水果与会员的区域无关；
，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
即认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.
17.（1）随机变量的可能取值为，，，，，
，，
，，
.
随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.03 0.24 0.46 0.24 0.03
随机变量的期望.
（2），，.
，，.
根据公式，甲品种的变异系数为，乙的变异系数为
，
所以甲品种的成年水牛的变异系数大.
18.（1）以为原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
解法一：
因为，，则，所以，
又因为，，，四点不共线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
解法二：
因为，，
设平面的一个法向量为，
则有，即，取，所以，
因为，所以，得，
又因为平面，
所以平面．
（2）设直线与平面所成角为，，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设点到平面的距离为，因为，
所以，
所以点到平面的距离为．
19．（1）
（2）
（3）
（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）设，，由于，所以，，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以，是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以。
数学作业
作业范围：选择性必修一 作业时间：2026.2.3
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2. 的展开式中项的系数是（ ）
A. B.
C.12 D.44
3. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A.2 B.6
C. D.
4. 在三棱锥中，是平面上一点，且，则（ ）
A.1 B.
C. D.
5. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
6. 小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（ ）
A.128 B.144 C.160 D.210
8. 椭圆中，点为椭圆的右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
10．给出下列命题，其中错误的是（ ）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
11．棱长为2的正方体，，分别是，的中点，为棱上的动点，
设，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与所成角的余弦值为
C．平面与平面夹角的余弦值的最大值为
D．平面与正方体侧面的交线扫过的区域面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．双曲线的焦点为，，点在双曲线上，若，则．
13．用数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中能被2整除的数共有个．（用数字作答）
14．已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线和直线。
（1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离；
（2）若，求两直线与间的距离。
16. 为推动农村可持续生态农业的发展，广东某农场用五年的时间按照有机标准新改良了
100亩土地，预计在改良后的土地上种植有机水果和其它作物，并根据市场需求确定有机
水果的种植面积。农场经营采用的是CSA农业经营模式即社区支持农业，农场从CSA会
员中随机抽取了南方、北方会员共200人，调查数据如下。
喜欢有机水果 不喜欢有机水果
南方会员 80 40
北方会员 40 40
（1）视频率为概率，分别估计南方、北方会员中喜欢有机水果的概率；
（2）试根据小概率值的独立性检验，分析喜欢有机水果是否与会员的区域有关。
附：，。
0.05 0.025 0.005
3.841 5.024 7.879
17. 为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体
高（单位：cm）如下表，请进行数据分析。
甲品种 137 128 130 133 122
乙品种 111 110 109 106 114
（1）已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于111cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头。设随机变量为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量的分布列与期望。
（2）当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C.V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数.变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了.从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.（参考数据，）
18．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
19．如图1，已知椭圆的方程为和椭圆其中，分别是椭圆的左右顶点．若，恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图2，若是椭圆上一点，射线，分别交椭圆于，，连接，（，，均在轴上方）．求证：，斜率之积为定值，求出这个定值；
（3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数的值．
1.C
2.A
3.A
4.B
5.A
6．B
7．B
8．B
9．CD
10．BCD
11.ACD
12.21
13．48
14．
15．（1）定点，距离为
（2）
（1）直线：恒过定点，
定点到直线的距离为.
（2）由，则，即，
此时：，即，：，满足，
则两直线与间的距离为.
16.（1）喜欢有机水果的概率分别为，
（2）喜欢有机水果与会员的区域有关
（1）由题得南方会员中喜欢有机水果的概率；
北方会员中喜欢有机水果的概率，
所以南方、北方会员中喜欢有机水果的概率分别为，.
（2）零假设：假设喜欢有机水果与会员的区域无关；
，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
即认为是否喜欢有机水果与会员的区域有关.
17.（1）随机变量的可能取值为，，，，，
，，
，，
.
随机变量的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 0.03 0.24 0.46 0.24 0.03
随机变量的期望.
（2），，.
，，.
根据公式，甲品种的变异系数为，乙的变异系数为
，
所以甲品种的成年水牛的变异系数大.
18.（1）以为原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
解法一：
因为，，则，所以，
又因为，，，四点不共线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
解法二：
因为，，
设平面的一个法向量为，
则有，即，取，所以，
因为，所以，得，
又因为平面，
所以平面．
（2）设直线与平面所成角为，，
所以，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设点到平面的距离为，因为，
所以，
所以点到平面的距离为．
19．（1）
（2）
（3）
（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，
设椭圆的半焦距为，
由已知，，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，
因为，，，，
所以，
所以，斜率之积为定值，且定值为.
（3）设，，由于，所以，，
设直线方程为，直线方程为，
联立得：，
联立，，
因为且，
所以，是方程的两个实数根，恒成立
，则，
，
整理得，
，
解得，又，
所以。
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