江西省南昌市第十中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）

南昌十中2学年上学期期末考试
高二数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知随机事件A，B，，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．袋中装有除颜色外均相同的4个红球、3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A．－60 B．－80 C．100 D．120
6．在平行六面体中，，，．求直线与所成角的余弦值（ ）
A．0 B．
C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若P，Q是C上关于原点对称的两点，若成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，P为四边形ABCD
内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ）
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．随机变量服从二项分布，，则
B．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有72种
C．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为10
D．随机变量服从正态分布，且，则
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与乙相互独立　　　　　　　　
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立　　　　　　　　
D．乙与丁相互独立
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为
B．
C. 若点到抛物线准线的距离为，则的最小值为
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.
12. 已知向量，，求，______.
13. 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，。点在上，点在轴上，，，则的离心率为.
四、解答题：本题共5小题共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，
是的中点，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
17．某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表：
6 8 9 12
2 3 4 5 6
（1）若学科知识整合能力指标的平均值，
（i）求的值；
（ii）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；
（附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为，
（2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量；
乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校．
18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．在锐角中，．
（1）求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在一点；使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
19．双曲线经过两点和．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线交双曲线于，两点，为左焦点，直线交双曲线于另一点，直线交双曲线于另一点，求直线过定点．
1．C
2．A
3．C
4．B
5．A
6．A
7.D
8.D
9．ACD
10．ABD
11．BCD
12.
13.
14．
15．（1）
（2）有关
（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；
（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过．
16．（1）因为为等边三角形，且是的中点，
所以，又，且，，面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）设，取的中点为，连接，得
由（1）知：平面，所以平面，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
得，，，，所以，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设平面的法向量为，则
，
取，可得，，所以，
则，，
所以平面与平面所成角的正弦值为，
即平面与平面所成角的正弦值为．
17.（1）（i）由表格数据可得，解得．
（ii）显然，
则
，
，
．
．所求经验回归方程为．
当时，，
当学科知识整合能力指标为时，创新思维能力指标的预测值为；
（2）该考生通过甲高校的考试科目数为，则．
则．
设该考生通过乙高校的考试科目数为，则的所有可能取值为，，，．
，
，
，
．
．
该考生更应报考乙高校．
18．（1）证明：四边形为直角梯形，，，所以，
又，，，平面，故平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：连接，交于点，连接．
若平面，因为平面，平面平面，
故，
又，，则，
故为三等分点（靠近点），即．
故在棱上存在点，当时，平面．
（3）因为，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图
则，，，，
所以，．
设，则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
因为与平面所成角为，则，
又，，
，
所以，解得，故，则，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故。
设平面与平面夹角为，，
，，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为。
19.（1）设双曲线方程为：，代入两点可得：
，解得：，
又设双曲线方程为：，代入两点可得：
，解得：，显然这组解不成立，
综上双曲线的标准方程为；
（2）
设，，由（1）知，
则直线方程为：，直线方程为：，
由直线方程与双曲线方程联立可得：
，消可得：，
整理得：
即，
又因为，
则，
所以，
则，
即点，同理可得：点，
设直线的方程为：，把点的坐标代入可得：
，
，
同理，把点的坐标代入可得：，
即直线方程必过点，，
即此方程就是直线方程，又因为直线过点，
则有，
则直线的方程必过定点。