江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-23 00:00:00 | ||
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文档简介
南昌中学2学年度上学期期末考试
高二数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。
1. 已知随机变量，且，则（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
2. 已知空间四点，，，，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 与夹角的余弦值为
C.
D.
3. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，，。
A.8413 B.9772 C.9974 D.9987
5. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（ ）
A.144 B.72 C.36 D.12
6. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交
于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B．运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心
C．相关系数越接近，与相关的程度就越弱
D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系
10．（多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线关于原点对称
B．曲线存在点，使得
C．直线与曲线没有交点
D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份 1 2 3 4
用水量 4 5 7
由散点图可知，用水量与月份之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为____.
13. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为____.
14. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种.（用数字作答）
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
16. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.
（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机
抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
17. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．
（1）请列出列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．如图，在平行六面体中，，，，，，，点为中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为，点在上，过点且斜率为的直线与交于，两点.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线的斜率为 ，求的面积.
（3）设点满足 ，求点的轨迹方程.
1．C
2．D
3．A
4．D
5．B
6．B
7.C
8.D
9.
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14.1560
15.(1)1024
(2)180
（1）前三项的二项式系数和为，
解得或(舍去)，
中，展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式通项公式为，
令得，故.
16.（1）由题意知，的值为0，1，2，3.
， ，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
.
（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，，，，且.
.
的分布列为：
0 1 2 3
.
17.（1）观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，
35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为50，
所以列联表为：
生产标兵 非生产标兵 总计
35周岁及以上组 20 60 80
35周岁以下组 30 50 80
总计 50 110 160
提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，
的观测值，而，
所以没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.
（2）令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，
用样本估计总体知，，，，设，
则由，得，解得，
因此，
所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为40%，50%.
18．（1）连结，交于点，连结，
在平行六面体中，，，是的中点，
所以四边形是平行四边形，又点为中点，
则且，
所以四边形是平行四边形，从而，
因为平面，，所以平面.
（2）以为原点建立如图所示的坐标系，
则，，，，设点为，其中，
则，，，
因为，，，，，
所以，即，解得，
则，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
设二面角为，则，
所以，，
则，
所以二面角的正弦值为。
19.（1）
（2）
（3）
（1）由题意得，由得，得，
所以，得，则，
故椭圆的方程为；
（2）由（1）可知，则，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
设，，
由，得，
所以，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以的面积为；
（3）设，，，
则，，，
因为，
所以，
所以，（），
直线的方程为，
由，得，
，
则，，
所以
，
代入（），可得：，
当时，，得（且），
所以，
化简整理得
当时，得，，即，满足上面的方程，
所以点的轨迹方程为
高二数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。
1. 已知随机变量，且，则（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
2. 已知空间四点，，，，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 与夹角的余弦值为
C.
D.
3. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，，。
A.8413 B.9772 C.9974 D.9987
5. 三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（ ）
A.144 B.72 C.36 D.12
6. 在正四棱柱中，，为棱的中点，为线段上的一点，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交
于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平
B．运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心
C．相关系数越接近，与相关的程度就越弱
D．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系
10．（多选）甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线关于原点对称
B．曲线存在点，使得
C．直线与曲线没有交点
D. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份 1 2 3 4
用水量 4 5 7
由散点图可知，用水量与月份之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为____.
13. 经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为____.
14. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种.（用数字作答）
四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
16. 从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.
（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机
抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
17. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．
（1）请列出列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18．如图，在平行六面体中，，，，，，，点为中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为，点在上，过点且斜率为的直线与交于，两点.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线的斜率为 ，求的面积.
（3）设点满足 ，求点的轨迹方程.
1．C
2．D
3．A
4．D
5．B
6．B
7.C
8.D
9.
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14.1560
15.(1)1024
(2)180
（1）前三项的二项式系数和为，
解得或(舍去)，
中，展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式通项公式为，
令得，故.
16.（1）由题意知，的值为0，1，2，3.
， ，
，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
.
（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，，，，且.
.
的分布列为：
0 1 2 3
.
17.（1）观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，
35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为50，
所以列联表为：
生产标兵 非生产标兵 总计
35周岁及以上组 20 60 80
35周岁以下组 30 50 80
总计 50 110 160
提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，
的观测值，而，
所以没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.
（2）令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，
用样本估计总体知，，，，设，
则由，得，解得，
因此，
所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为40%，50%.
18．（1）连结，交于点，连结，
在平行六面体中，，，是的中点，
所以四边形是平行四边形，又点为中点，
则且，
所以四边形是平行四边形，从而，
因为平面，，所以平面.
（2）以为原点建立如图所示的坐标系，
则，，，，设点为，其中，
则，，，
因为，，，，，
所以，即，解得，
则，则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
设二面角为，则，
所以，，
则，
所以二面角的正弦值为。
19.（1）
（2）
（3）
（1）由题意得，由得，得，
所以，得，则，
故椭圆的方程为；
（2）由（1）可知，则，
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
设，，
由，得，
所以，，
所以，
因为点到直线的距离为，
所以的面积为；
（3）设，，，
则，，，
因为，
所以，
所以，（），
直线的方程为，
由，得，
，
则，，
所以
，
代入（），可得：，
当时，，得（且），
所以，
化简整理得
当时，得，，即，满足上面的方程，
所以点的轨迹方程为
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