第八单元数学广角——找次品达标练习（含解析）人教版数学五年级下册
文档属性
| 名称 | 第八单元数学广角——找次品达标练习（含解析）人教版数学五年级下册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 290.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第八单元数学广角——找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有27个零件，其中有一个零件是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品零件．
A．2 B．4 C．5 D．3
2．下列说法中正确的是（ ）。
①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。
②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。
③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。
④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如下图，可以推断出（ ）一定是正品。
A．只有⑤ B．①②③ C．③④⑤ D．①②⑤
4．在9个乒乓球中有一个次品重量偏轻，用天平至少称（ ）次能把次品找出来。
A．4 B．6 C．8 D．2
5．质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品的方法，我们至少称（ ）次保证找到这块芯片。
A．1 B．2 C．3 D．5
6．若干盒同样的饼干，其中有1盒轻一些，用天平称，至少需要称3次才能保证找出次品，可能有（ ）盒饼干。
A．32 B．25 C．9 D．5
二、填空题
7．解决找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分( )份称的方法最好。
8．有12盒牛奶，其中有一盒质量略轻。用天平至少称( )次才能保证找出这盒牛奶。
9．一箱糖果有18袋，其中17袋质量相同，另有一袋质量不足，用天平称，为保证能找出这袋糖果，至少需要称( )次。
10．有25个零件，其中有一个轻一点，用天平称，至少称( )次，就能找到这个轻一点的零件。
11．一箱糖果有10袋，其中9袋质量相同，另外1袋质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这袋糖果。
12．端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。
13．有25颗外表一模一样的玻璃珠子，其中有一颗稍轻一些，至少称( )次才能把这颗玻璃珠子找出来。
14．有9瓶药，其中8瓶质量相同，另有一瓶少了4粒，如果用天平称至少称( )次能把这瓶药找出来。
三、判断题
15．有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。( )
16．在28个零件里找一个稍重的次品，用天平称，至少称4次就一定能找出次品。( )
17．有10杯果汁，其中9杯质量相同，另一杯略轻一些，至少要称2次才能保证找出这杯饮料。( )
18．不管是6个或8个零件，且只有一个次品（次品重一些），用天平称，保证能找出次品需要的次数都是2次。( )
19．从3件物品中找1件较重的物品，至少要用天平称2次才能保证找出来。( )
四、解答题
20．有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？
21．有24个碟子，其中一个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称多少次能保证把次品找出？
22．有四只药瓶，其中三只药瓶中每颗药丸的重量都一样，但在被污染的那只药瓶中，每颗药丸比没被污染的药丸重1克．现在如果只称一次，你能判断哪只药瓶被污染了吗？
23．30只乒乓球中有一只是次品，次品较正品轻一些．现有一天平，最少称几次一定能把次品找到？
24．有3袋药品，其中2袋每袋20g，另1袋不是20g，但不知道比20g重还是轻，你能用天平找出来吗？试一试，用合适的方法表示称的过程．至少要称几次才能保证找出来？
《第八单元数学广角——找次品》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A D D B B
1．D
【分析】要尽快找到这个次品，可把27个零件分成9、9、9三组，通过将等量的零件放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。
【详解】由分析得：
第一次：每边放9个零件，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的9个零件中；
第二次：将天平较高的那端9个零件分成3、3、3三组，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的3个零件中；
第三次：将天平较高的那端3个零件分成1、1、1三组，若天平平衡，则未拿的那个零件是次品，若天平不平衡，则次品是天平较高端的那个零件；
因此，至少称3次可以保证找出次品。
故答案为：D
【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。
2．A
【分析】用天平一次称两个，不用砝码，一边托盘放一个，看天平是否平衡，如果平衡，可以知道两个一样重，余下的那一个就是次品，但还不知道次品是轻还是重，需要用一个合格品和次品比较得出次品的轻重；如果第一次称不平衡，可知其中一个是次品，我们可以用重的一个再和余下的那一个比较，判断次品的轻重。
【详解】①次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重。找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法，所以选项说法正确。
②想极端情况：
第1步，任意拿1把钥匙开锁，尝试3次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需3次；
第2步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试2次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需2次；
第3步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试1次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需1次；
最后1把钥匙与最后的锁肯定配对不用试。
所以最多要试3＋2＋1＝6（次）；所以选项说法正确。
③需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间；但是不成倍数关系，所以选项说法错误。
④把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平平衡，则次品就是余下的那一个，天平上的两个都是合格品，把一个合格品取下，换上次品，看次品那边是上升还是下降，上升就是比合格品轻，下降就是比合格品重，天平称两次可得结果；如果把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平不平衡，则其中有一个是合格品，一个是次品，但不知道哪一个是次品，把重的那一个取下，换上余下的那一个，如果重的依然还重，则重的那个就是次品，如果换上后，天平平衡，则轻的那个就是次品，还是称两次就能判断出次品是轻还是重。所以用天平至少称2次就能判断出次品比合格品轻还是重，选项说法错误。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查找次品方法，本题也可以用特值法验证。
3．D
【分析】5个螺帽里有一个较轻的次品，放在天平的两端，有较轻螺帽的那一端会上升，只有一个次品，可以推断③和④里面必然有一个是次品；所以也就间接的推断出①②⑤这三个肯定是正品。
【详解】根据分析得，③和④之间一定有一个是次品，①②⑤一定是正品。
故答案为：D
【点睛】此题的解题关键是利用天平平衡的原理推断出结果。
4．D
【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可。
【详解】把9个乒乓球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：
①若天平平衡，则轻球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则轻球就是第三个，若不平衡，轻的一边就是轻球；
②若天平不平衡，则轻球在轻的一边，第二次称轻的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是轻球，若不平衡，轻的一边就是轻球；
故选D。
【点睛】解答此题的关键是：三三组合，把9选1变为3选1.
5．B
【分析】第一次，把9个手机芯片分成3份：3个、3个、3个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份（3个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，则较轻的为次品；
所以用天平至少称2次能保证找出次品，据此解答即可。
【详解】由分析可得：质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品的方法，我们至少称2次保证找到这块芯片。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
6．B
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，分别求出选项中饼干数量找出次品至少需要称重的次数，即可求得。
【详解】
A．
由上可知，当有32盒饼干时，至少需要称4次才能保证找出次品。
B．
由上可知，当有25盒饼干时，至少需要称3次才能保证找出次品。
C．
由上可知，当有9盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
D．
由上可知，当有5盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
7．3
【分析】我们可用类比的思想，先从个数少的例子开始研究，并把研究的规律应用到个数较多的情况中。
【详解】假设待测物体个数为8个，其中有一个次品，我们把这8个物体按以下方式来分：
8（4，4）：没用到天平外的位置，本身没优化，共称3次；
8（2，2，2，2，）：共称3次；
8（3，3，2）：至少称2次就一定能找出次品。
所以三分法是最好的分配方式。
【点睛】这部分知识要让学生在亲自动手实践、自主探索中去体会其中的规律，而不是单纯的记忆和模仿。
8．3
【分析】利用天平，根据找次品的方法不断缩小次品的所在范围，直到找出次品。
【详解】第一次：将12盒牛奶分成（4，4，4），取前两份放在天平两端，如果平衡，那么次品在第三份中，如果不平衡，哪边较轻哪边就含有次品；
第二次：将4盒牛奶分成（2，2），放在天平两端，哪边较轻哪边就含有次品；
第三次：将2盒牛奶放在天平两端，哪边较轻哪边就是次品。
所以，用天平至少称3次才能保证找出这盒牛奶。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9．3
【分析】先将18袋糖果平均分成3份，第一次任意将其中2份放上天平，推理出质量不足的1袋在哪一份糖果中；将质量不足的这份糖果，再平均分成3份，重复第一步的动作，逐渐缩小范围找到质量不足的那袋糖果即可。
【详解】第一次：把18袋糖果平均分成3份，每份6袋，任取2份分别放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的那份糖果中，若不平衡，较轻的一袋在较轻的那份糖果中；
第二次：将较轻的6袋糖果平均分成3份，每份2袋，任取2份分别放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的那份糖果中，若不平衡，较轻的一袋在较轻的那份糖果中；
第三次：将较轻的2袋糖果平均分成2份，每份1袋分别放在天平的两端，哪端较高哪端就比较轻。
所以，至少需要称3次才能找到质量不足的那一袋糖果。
【点睛】本题考查了逻辑推理，把握每次称的规律是解题的关键。
10．3/三
【分析】把零件分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么轻一点的零件在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么轻一点的零件在天平上翘的一组里面，依次找出轻一点的零件所在的组，直到最后找出轻一点的那个零件，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少称3次，就能找到这个轻一点的零件。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
11．3/三
【分析】把10袋糖果分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的3袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；根据最不利原则，把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。所以至少称3次才能保证找出这袋糖果。
【详解】
根据分析得，
所以用天平称，至少称3次才能保证找出这袋糖果。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。
12．3
【分析】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端；
称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端；
称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。
【详解】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。
13．3
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将25颗珠子分成（8、8、9），只考虑最不利的情况，先称（8、8），平衡，次品在9颗中；再将9颗分成（3、3、3），称（3、3），可确定次品在其中3颗；再将3颗分成（1、1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
14．2
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把少4粒的那瓶看作次品，第一次称量：把9瓶药分成3份，每份3个，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在剩下的3个中，即可进行第二次称量：从剩下的3个中拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；用天平称至少称2次能把这瓶药找出来。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
15．√
【分析】把20颗螺丝分成（7，7，6）三份。
第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
②如果次品在6颗一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第三次：①把3颗分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的那颗在天平上升一端；
②如果次品在2颗一组里，则把2分成（1，1），把2颗螺丝放在天平上称，次品的那颗在天平上升一端。
【详解】所以有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】找次品，其策略是“一分为三，尽量均分”，解题过程中能很好地锻炼学生们的想象能力、推理能力。
16．√
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将28个零件分成（9、9、10），称（9、9），只考虑最不利的情况，平衡，次品在10个中；将10个分成（3、3、4），称（3、3），平衡，次品在4个中；将4个分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2个中；再称一次即可确定次品，共4次。
故答案为：√
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
17．×
【详解】第一次：把10杯果汁平均分为2份，每份5杯，分别放在天平秤两端，则稍轻的1杯在天平较高端的1份中；
第二次：把较高端的5杯再分为3份（2杯、2杯、1杯），分别取2杯的2份放在天平秤两端，若天平平衡，则剩下的一杯是稍轻的；若天平不平衡，则稍轻的在天平较高端。
第三次：把天平较高端的2杯，平均分为2份，每份1杯，分别放在天平两端，则稍轻的1杯在天平较高端。
综上所述，至少需要称3次，才能找到这杯略轻一些的饮料；
所以原题说法错误。
故答案为：×。
18．√
【分析】把6个零件分成2份，3、3，先把天平两边分别放3个，先把天平两边分别放3个，会有1种情况出现：左右不平衡，则次品在托盘下沉的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从下沉一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；
把8个零件分成（3，3，2）三份，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成（1，1），放在天平上称，下沉的是次品；如不平衡，则把下沉的一组3个球分成（1，1，1），任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，下沉的是次品；据此解答。
【详解】一、6个零件，第一次称量：把6个零件分成2份，3、3，先把天平两边分别放3个，会有1种情况出现：左右不平衡，则次品在托盘下沉的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从下沉一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘下沉一边为次品；所以，6个零件至少需要称2次，才能找到次品；
二、8个零件，第一次称量：把8个零件分成3份，3、3、2，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边一边1个，则托盘下沉一边为次品；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘下沉的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从下沉一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘下沉一边为次品；
所以，8个零件至少需要称2次，才能找到次品；
故答案为：√。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
19．×
【详解】把3件物品分成（1，1，1），取其中两个放在天平两端，如果平衡，次品是剩下的那个；如果不平衡，重的一边是次品。故只需要1次就保证找出次品。
故答案为：×
20．3次
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】15（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次。
如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次。
所以至少3次保证可能找出这瓶盐水。
答：至少3次保证可能找出这瓶盐水。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
21．.3次
【分析】把24个碟子平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较轻的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个碟子分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个碟子分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1个；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证把次品找出。
【详解】
答：至少称3次能保证把次品找出。
22．解：依据分析可得：最少称2次才能判断哪只药瓶被污染了．
答：只称一次，不能判断哪只药瓶被污染了．
【详解】第一次：四只药瓶，平均分成2份，每份2瓶，分别放在天平秤两侧，因为污染的那瓶比较重，所以天平不平衡，那么污染的药瓶在下沉的天平那边；
再把下沉的天平那边的两瓶分别放在天平两边，污染的药瓶就在下沉的天平那边，所以要保证找到只称一次，不能判断哪只药瓶被污染了．
23．4次
【详解】略
24．2次
【详解】第一次：从3袋药品中任取2袋标为①②，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋药品③即是重量不同的那袋。
第二次：若天平秤不平衡，把在天平秤两端的药品，取一袋①，与未取那袋③，分别放在天平秤两端，
若天平秤平衡，则第一次称量时的另一袋②即为重量不一样的药品；
若不平衡，从天平秤拿出再称量的那袋①即为重量不一样的药品。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第八单元数学广角——找次品
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．有27个零件，其中有一个零件是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品零件．
A．2 B．4 C．5 D．3
2．下列说法中正确的是（ ）。
①用天平找次品，最好把所称的物品分成相等的3份，就能保证用最快的速度找出次品。
②一把钥匙开一把锁。现在有4把钥匙、4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试6次就一定能配好全部的钥匙和锁。
③用天平找次品时，所称物品的数目与称的次数成倍数关系。
④有3个零件，其中1个是次品，但是不知道是轻还是重。用天平称，至少称1次就能够找到。
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3．有5个螺帽，其中一个是次品，次品轻一些。编号后用天平来找次品，结果如下图，可以推断出（ ）一定是正品。
A．只有⑤ B．①②③ C．③④⑤ D．①②⑤
4．在9个乒乓球中有一个次品重量偏轻，用天平至少称（ ）次能把次品找出来。
A．4 B．6 C．8 D．2
5．质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品的方法，我们至少称（ ）次保证找到这块芯片。
A．1 B．2 C．3 D．5
6．若干盒同样的饼干，其中有1盒轻一些，用天平称，至少需要称3次才能保证找出次品，可能有（ ）盒饼干。
A．32 B．25 C．9 D．5
二、填空题
7．解决找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分( )份称的方法最好。
8．有12盒牛奶，其中有一盒质量略轻。用天平至少称( )次才能保证找出这盒牛奶。
9．一箱糖果有18袋，其中17袋质量相同，另有一袋质量不足，用天平称，为保证能找出这袋糖果，至少需要称( )次。
10．有25个零件，其中有一个轻一点，用天平称，至少称( )次，就能找到这个轻一点的零件。
11．一箱糖果有10袋，其中9袋质量相同，另外1袋质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称( )次才能保证找出这袋糖果。
12．端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。
13．有25颗外表一模一样的玻璃珠子，其中有一颗稍轻一些，至少称( )次才能把这颗玻璃珠子找出来。
14．有9瓶药，其中8瓶质量相同，另有一瓶少了4粒，如果用天平称至少称( )次能把这瓶药找出来。
三、判断题
15．有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。( )
16．在28个零件里找一个稍重的次品，用天平称，至少称4次就一定能找出次品。( )
17．有10杯果汁，其中9杯质量相同，另一杯略轻一些，至少要称2次才能保证找出这杯饮料。( )
18．不管是6个或8个零件，且只有一个次品（次品重一些），用天平称，保证能找出次品需要的次数都是2次。( )
19．从3件物品中找1件较重的物品，至少要用天平称2次才能保证找出来。( )
四、解答题
20．有15瓶水，其14瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？
21．有24个碟子，其中一个是次品，次品比正品轻一些。现在有一个天平，至少称多少次能保证把次品找出？
22．有四只药瓶，其中三只药瓶中每颗药丸的重量都一样，但在被污染的那只药瓶中，每颗药丸比没被污染的药丸重1克．现在如果只称一次，你能判断哪只药瓶被污染了吗？
23．30只乒乓球中有一只是次品，次品较正品轻一些．现有一天平，最少称几次一定能把次品找到？
24．有3袋药品，其中2袋每袋20g，另1袋不是20g，但不知道比20g重还是轻，你能用天平找出来吗？试一试，用合适的方法表示称的过程．至少要称几次才能保证找出来？
《第八单元数学广角——找次品》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A D D B B
1．D
【分析】要尽快找到这个次品，可把27个零件分成9、9、9三组，通过将等量的零件放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。
【详解】由分析得：
第一次：每边放9个零件，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的9个零件中；
第二次：将天平较高的那端9个零件分成3、3、3三组，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的3个零件中；
第三次：将天平较高的那端3个零件分成1、1、1三组，若天平平衡，则未拿的那个零件是次品，若天平不平衡，则次品是天平较高端的那个零件；
因此，至少称3次可以保证找出次品。
故答案为：D
【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。
2．A
【分析】用天平一次称两个，不用砝码，一边托盘放一个，看天平是否平衡，如果平衡，可以知道两个一样重，余下的那一个就是次品，但还不知道次品是轻还是重，需要用一个合格品和次品比较得出次品的轻重；如果第一次称不平衡，可知其中一个是次品，我们可以用重的一个再和余下的那一个比较，判断次品的轻重。
【详解】①次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重。找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1；用天平秤其中相等的2份，若平衡，次品在余下的一份中，若不平衡，次品在稍高或稍低的1份中，这样一次就能排除掉的物品，是最快捷的方法，所以选项说法正确。
②想极端情况：
第1步，任意拿1把钥匙开锁，尝试3次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需3次；
第2步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试2次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需2次；
第3步，再任意拿1把钥匙开锁，尝试1次未打开，这把钥匙一定能打开剩下的1把锁，需1次；
最后1把钥匙与最后的锁肯定配对不用试。
所以最多要试3＋2＋1＝6（次）；所以选项说法正确。
③需要称量n次，待测物品的数量就在n－1个3相乘的积与n个3相乘的积之间；但是不成倍数关系，所以选项说法错误。
④把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平平衡，则次品就是余下的那一个，天平上的两个都是合格品，把一个合格品取下，换上次品，看次品那边是上升还是下降，上升就是比合格品轻，下降就是比合格品重，天平称两次可得结果；如果把3个零件中的两个放在天平的两端，如果天平不平衡，则其中有一个是合格品，一个是次品，但不知道哪一个是次品，把重的那一个取下，换上余下的那一个，如果重的依然还重，则重的那个就是次品，如果换上后，天平平衡，则轻的那个就是次品，还是称两次就能判断出次品是轻还是重。所以用天平至少称2次就能判断出次品比合格品轻还是重，选项说法错误。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查找次品方法，本题也可以用特值法验证。
3．D
【分析】5个螺帽里有一个较轻的次品，放在天平的两端，有较轻螺帽的那一端会上升，只有一个次品，可以推断③和④里面必然有一个是次品；所以也就间接的推断出①②⑤这三个肯定是正品。
【详解】根据分析得，③和④之间一定有一个是次品，①②⑤一定是正品。
故答案为：D
【点睛】此题的解题关键是利用天平平衡的原理推断出结果。
4．D
【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可。
【详解】把9个乒乓球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组：
①若天平平衡，则轻球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则轻球就是第三个，若不平衡，轻的一边就是轻球；
②若天平不平衡，则轻球在轻的一边，第二次称轻的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是轻球，若不平衡，轻的一边就是轻球；
故选D。
【点睛】解答此题的关键是：三三组合，把9选1变为3选1.
5．B
【分析】第一次，把9个手机芯片分成3份：3个、3个、3个，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有次品的一份（3个），取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那个，若天平不平衡，则较轻的为次品；
所以用天平至少称2次能保证找出次品，据此解答即可。
【详解】由分析可得：质量检测人员在检测9个手机芯片时发现有1个不合格（质量稍轻），如果用天平找次品的方法，我们至少称2次保证找到这块芯片。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。
6．B
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，分别求出选项中饼干数量找出次品至少需要称重的次数，即可求得。
【详解】
A．
由上可知，当有32盒饼干时，至少需要称4次才能保证找出次品。
B．
由上可知，当有25盒饼干时，至少需要称3次才能保证找出次品。
C．
由上可知，当有9盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
D．
由上可知，当有5盒饼干时，至少需要称2次才能保证找出次品。
故答案为：B
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
7．3
【分析】我们可用类比的思想，先从个数少的例子开始研究，并把研究的规律应用到个数较多的情况中。
【详解】假设待测物体个数为8个，其中有一个次品，我们把这8个物体按以下方式来分：
8（4，4）：没用到天平外的位置，本身没优化，共称3次；
8（2，2，2，2，）：共称3次；
8（3，3，2）：至少称2次就一定能找出次品。
所以三分法是最好的分配方式。
【点睛】这部分知识要让学生在亲自动手实践、自主探索中去体会其中的规律，而不是单纯的记忆和模仿。
8．3
【分析】利用天平，根据找次品的方法不断缩小次品的所在范围，直到找出次品。
【详解】第一次：将12盒牛奶分成（4，4，4），取前两份放在天平两端，如果平衡，那么次品在第三份中，如果不平衡，哪边较轻哪边就含有次品；
第二次：将4盒牛奶分成（2，2），放在天平两端，哪边较轻哪边就含有次品；
第三次：将2盒牛奶放在天平两端，哪边较轻哪边就是次品。
所以，用天平至少称3次才能保证找出这盒牛奶。
【点睛】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9．3
【分析】先将18袋糖果平均分成3份，第一次任意将其中2份放上天平，推理出质量不足的1袋在哪一份糖果中；将质量不足的这份糖果，再平均分成3份，重复第一步的动作，逐渐缩小范围找到质量不足的那袋糖果即可。
【详解】第一次：把18袋糖果平均分成3份，每份6袋，任取2份分别放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的那份糖果中，若不平衡，较轻的一袋在较轻的那份糖果中；
第二次：将较轻的6袋糖果平均分成3份，每份2袋，任取2份分别放在天平的两端，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的那份糖果中，若不平衡，较轻的一袋在较轻的那份糖果中；
第三次：将较轻的2袋糖果平均分成2份，每份1袋分别放在天平的两端，哪端较高哪端就比较轻。
所以，至少需要称3次才能找到质量不足的那一袋糖果。
【点睛】本题考查了逻辑推理，把握每次称的规律是解题的关键。
10．3/三
【分析】把零件分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么轻一点的零件在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么轻一点的零件在天平上翘的一组里面，依次找出轻一点的零件所在的组，直到最后找出轻一点的那个零件，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】
由上可知，至少称3次，就能找到这个轻一点的零件。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
11．3/三
【分析】把10袋糖果分成3份，即（3，3，4）；第一次称，天平两边各放3袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的3袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；根据最不利原则，把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。所以至少称3次才能保证找出这袋糖果。
【详解】
根据分析得，
所以用天平称，至少称3次才能保证找出这袋糖果。
【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。
12．3
【分析】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端；
称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端；
称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。
【详解】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。
13．3
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将25颗珠子分成（8、8、9），只考虑最不利的情况，先称（8、8），平衡，次品在9颗中；再将9颗分成（3、3、3），称（3、3），可确定次品在其中3颗；再将3颗分成（1、1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
14．2
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】把少4粒的那瓶看作次品，第一次称量：把9瓶药分成3份，每份3个，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在剩下的3个中，即可进行第二次称量：从剩下的3个中拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品；用天平称至少称2次能把这瓶药找出来。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
15．√
【分析】把20颗螺丝分成（7，7，6）三份。
第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
②如果次品在6颗一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第三次：①把3颗分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的那颗在天平上升一端；
②如果次品在2颗一组里，则把2分成（1，1），把2颗螺丝放在天平上称，次品的那颗在天平上升一端。
【详解】所以有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】找次品，其策略是“一分为三，尽量均分”，解题过程中能很好地锻炼学生们的想象能力、推理能力。
16．√
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将28个零件分成（9、9、10），称（9、9），只考虑最不利的情况，平衡，次品在10个中；将10个分成（3、3、4），称（3、3），平衡，次品在4个中；将4个分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2个中；再称一次即可确定次品，共4次。
故答案为：√
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
17．×
【详解】第一次：把10杯果汁平均分为2份，每份5杯，分别放在天平秤两端，则稍轻的1杯在天平较高端的1份中；
第二次：把较高端的5杯再分为3份（2杯、2杯、1杯），分别取2杯的2份放在天平秤两端，若天平平衡，则剩下的一杯是稍轻的；若天平不平衡，则稍轻的在天平较高端。
第三次：把天平较高端的2杯，平均分为2份，每份1杯，分别放在天平两端，则稍轻的1杯在天平较高端。
综上所述，至少需要称3次，才能找到这杯略轻一些的饮料；
所以原题说法错误。
故答案为：×。
18．√
【分析】把6个零件分成2份，3、3，先把天平两边分别放3个，先把天平两边分别放3个，会有1种情况出现：左右不平衡，则次品在托盘下沉的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从下沉一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；
把8个零件分成（3，3，2）三份，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成（1，1），放在天平上称，下沉的是次品；如不平衡，则把下沉的一组3个球分成（1，1，1），任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，下沉的是次品；据此解答。
【详解】一、6个零件，第一次称量：把6个零件分成2份，3、3，先把天平两边分别放3个，会有1种情况出现：左右不平衡，则次品在托盘下沉的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从下沉一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘下沉一边为次品；所以，6个零件至少需要称2次，才能找到次品；
二、8个零件，第一次称量：把8个零件分成3份，3、3、2，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现：
情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边一边1个，则托盘下沉一边为次品；
情况二：若左右不平衡，则次品在托盘下沉的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从下沉一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘下沉一边为次品；
所以，8个零件至少需要称2次，才能找到次品；
故答案为：√。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
19．×
【详解】把3件物品分成（1，1，1），取其中两个放在天平两端，如果平衡，次品是剩下的那个；如果不平衡，重的一边是次品。故只需要1次就保证找出次品。
故答案为：×
20．3次
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】15（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次。
如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次。
所以至少3次保证可能找出这瓶盐水。
答：至少3次保证可能找出这瓶盐水。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
21．.3次
【分析】把24个碟子平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较轻的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个碟子分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个碟子分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1个；如果天平平衡，次品就是剩下的那1个。所以至少称3次能保证把次品找出。
【详解】
答：至少称3次能保证把次品找出。
22．解：依据分析可得：最少称2次才能判断哪只药瓶被污染了．
答：只称一次，不能判断哪只药瓶被污染了．
【详解】第一次：四只药瓶，平均分成2份，每份2瓶，分别放在天平秤两侧，因为污染的那瓶比较重，所以天平不平衡，那么污染的药瓶在下沉的天平那边；
再把下沉的天平那边的两瓶分别放在天平两边，污染的药瓶就在下沉的天平那边，所以要保证找到只称一次，不能判断哪只药瓶被污染了．
23．4次
【详解】略
24．2次
【详解】第一次：从3袋药品中任取2袋标为①②，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋药品③即是重量不同的那袋。
第二次：若天平秤不平衡，把在天平秤两端的药品，取一袋①，与未取那袋③，分别放在天平秤两端，
若天平秤平衡，则第一次称量时的另一袋②即为重量不一样的药品；
若不平衡，从天平秤拿出再称量的那袋①即为重量不一样的药品。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)