4.5通分达标练习（含解析） 人教版数学五年级下册

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4.5通分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．一个自然数含有因数6，能被8整除，还是9的倍数，它最小是（ ）。
A．48 B．54 C．64 D．72
2．a＝3b，a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．3 D．ab
3．下面说法正确的是(　　)．
A．分数单位小的分数，分数值也小
B．大于且小于的分数有无数个
C．体积相等的两个长方体，表面积也一定相等
D．因为26÷2＝13，所以26是倍数，2是因数
4．五（3）班分组开展活动，每组5人或7人都多1人，五（3）班最少有（ ）。
A．13人 B．34人 C．35人 D．36人
5．下面有六种说法：
（1）一个自然数不是奇数就是偶数。
（2）两个非0自然数的公倍数的个数是有限的。
（3）能同时是2、3、5倍数的数的个位上一定是0。
（4）两个数的最小公倍数一定大于这两个数。
（5）三个质数的和为偶数，其中必定有一个质数为2。
（6）质数是没有质因数的。
其中说法正确的有（ ）。
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．把约分得到最简分数后，下面说法正确的是（ ）。
A．分数单位变小了 B．分数单位的个数增加了
C．分数单位变大了 D．分数单位的个数不变
7．可可和乐乐绕着120米的环形跑道跑步，他俩的速度分别是5米/秒和3米/秒。如果两人从同一起点同时出发，同向而行，那么至少经过（ ）秒两人又同时回到起点。
A．8 B．15 C．60 D．120
8．看同样的一本书，小红看了全书的，小芳看了全书的，她俩看的页数比较，（ ）。
A．小红多 B．小芳多
C．同样多 D．无法确定谁看得多
9．下面说法正确的是（ ）。
A．分数都比整数小 B．大于小于的分数只有1个
C．假分数的分子都比分母小 D．分数的分母越大，它的分数单位就越小
二、填空题
10．一包奶糖，如果平均分给8个小朋友，则少1颗；如果平均分给12个小朋友，也少1颗，这包奶糖至少有( )颗。
11．57和38的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
12．把的分子加12，要使分数大小不变，分母要加( )；的分子和分母同时加上一个自然数，得到的新分数约分后是，所加的自然数是( )。
13．一个三位数是12和18的公倍数，这个数最小是( )；最大是( )。
14．如果A＝2×3×3，B＝3×3×3，那么A、B两数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
15．30和12的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
16．如果a＝2×2×5，b＝2×3×3×5，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
17．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( ) ( )
三、判断题
18．楠楠和楷楷各自看同一本《数学奥秘》，一周后楠楠看了，楷楷剩下没看，楠楠看得多。( )
19．一个数的最大因数与它最小倍数的和一定是2的倍数。( )
20．两个数的最大公因数是5，最小公倍数是105，则这两个数的积是525。( )
21．比小比大的分数只有。( )
22．大于而小于的最简真分数只有一个。( )
四、解答题
23．2025年3月22日，来自12个国家和地区的1.5万名跑者齐聚“中国水蜜桃之乡”，参加奉化第八届桃花马拉松。5（1）班的小李和小王参加了“欢乐跑”项目。其中小李前19分钟跑了3千米，小王前11分钟跑了2千米。比赛前半段，每千米用的时间谁多？谁跑得更快？
24．看图解答。
（1）如果爸爸、妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时爸爸、妈妈分别跑了多少圈？
（2）你还能提出其他类似数学问题并解答吗？
25．做一批同样的零件，小黄4小时做了37个，小张3小时做了26个，谁做得快一些？
26．40名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，……，40依次报数；再让报数是3的倍数的同学向后转，接着又让报数是4的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？
27．国家规定小学一个班级人数不超过45人，五二班老师正在考虑为班级分组，分为6组可以，分为5组也可以，请你猜猜这个班有多少名同学？
《4.5通分》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A B D C C D B D
1．D
【分析】求最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积。求三个数的最小公倍数，先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。（注意：公有的质因数只能算一次。）据此得解。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
9＝3×3
所以6、8和9的最小公倍数是2×3×4×3＝72。
故答案为：D。
【点睛】此题属于最小公倍数问题，按照求三个数的最小公倍的方法，求出它们的最小公倍数问题即可解决。
2．A
【分析】若两个数互为倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数。据此选择即可。
【详解】因为a＝3b，所以a÷b＝3，则，a和b的最小公倍数是a。
故答案为：A
【点睛】本题考查最小公倍数，明确求互为倍数关系的两个数的最小公倍数的特殊求法是解题的关键。
3．B
【详解】略
4．D
【分析】求五（3）班至少有多少人，即求比5和7的最小公倍数多1的数，先求出5和7的最小公倍数，然后加上1即可。
【详解】5×7＋1
＝35＋1
＝36（人）
故答案为：D
【点睛】明确要求的问题即比5和7的最小公倍数多1的数，是解答此题的关键。
5．C
【分析】根据数的特点及自然数的分类进行分析即可。
【详解】（1）一个自然数不是奇数就是偶数，因为自然数按照奇偶性可以分为奇数和偶数，所以本题说法正确；
（2）两个非0自然数的公倍数的个数是有限的，说法错误，因为是无限的；
（3）能同时是2、3、5倍数的数的个位上一定是0，且各个数位上数的和是3的倍数，所以本题说法正确；
（4）两个数的最小公倍数一定大于这两个数，说法错误，如2和4，最小公倍数等于4；
（5）因为：奇数+偶数＝奇数，偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，质数中只有1个偶数是2，所以三个质数的和为偶数，所以这三个数中必有一个数是2，即本选项说法正确；
（6）质数是没有质因数的，说法错误，如2、3；
所以说法正确的有3个；
故答案为：C
【点睛】本题考查了数的分类，较为综合，要综合运用所学知识。
6．C
【分析】分母是几分数单位就是几分之一，分数比大小，分子相同看分母，分母小的分数大，据此分析。
【详解】，的分数单位是，的分数单位是，＜，分数单位变大了。
故答案为：C
【点睛】关键是理解分数单位的含义，掌握分数大小比较方法。
7．D
【分析】根据路程÷速度＝时间，先求出可可和乐乐跑一圈的时间，再求出两人跑一圈时间的最小公倍数即可。
【详解】120÷5＝24（秒）
120÷3＝40（秒）
24和40的最小公倍数是120。
故答案为：D
【点睛】关键是理解速度、时间和路程之间的关系，以及公倍数的求法和应用。
8．B
【分析】将两个分数通分，看哪一个分数大，看的页数就多。
【详解】
所以＜，即小芳看得多。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查分数大小的比较方法，分母相同的分子大的分数大，分子相同的分母大的反而小，分子与分母都不相同的可以通分化成分母相同的分数再比较，也可以化成小数来比较。
9．D
【分析】A.最小的正整数为1，根据假分数的意义可知，假分数≥1，据此分析；
B．依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母都扩大相同的倍数，即可得出无数个符合要求的分数，据此即可判断；
C．利用假分数的定义：假分数都大于或等于1，分子大于或等于分母，直接解答即可；
D．分数单位的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数就是它的分数单位；据此一个分数的分母越大，就表示单位“1”平均分成的份数就越多，所以它的分数单位就越小。
【详解】A．根据假分数的意义可知，假分数≥1，所以原选项说法错误；
B．将和的分子和分母都扩大相同的倍数，即可得出无数个符合要求的分数，所以选项说法错误；
C．根据假分数的定义可知，假分数的分子大于或等于分母，所以选项说法错误；
D．根据分数的意义可知，分数的分母越大，它的分数单位就越小；所以选项说法正确。
故答案为：D
【点睛】此题主要考查分数及其分数单位的意义，假分数的定义，分数和整数的大小关系，分数的基本性质的灵活应用。
10．23
【分析】这包糖增加1颗后是8的倍数，也是12的倍数，比8和12的最小公倍数少1就是糖的颗数。
【详解】8＝2×2×2
12＝2×2×3
8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24
糖的颗数：24－1＝23（颗）
【点睛】本题是最小公倍数的实际问题，当题中所求的数并非正好是已知数的最小公倍数时，可以通过增加或减少一部分的方法，使问题转化成求已知数的最小公倍数问题。
11． 19 114
【分析】根据两个数的最大公因数和最小公倍数的求法可知：最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，所以先把57和38分解质因数，然后据此求出最大公因数和最小公倍数。
【详解】57＝3×19
38＝2×19
57和38的最大公因数是19；
最小公倍数是2×3×19＝114
【点睛】本题考查了求最大公因数和最小公倍数的方法。
12． 16 5
【分析】（1）根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。先看分子的变化，再确定分母的变化。
（2）根据题意，同时加上一个自然数约分后变为，可以理解为从开始（依据分数的基本性质），分子、分母需要同时乘以一个相同的数，乘积大于原分子、分母，通过列举法，从大于11的数开始，即分母乘以12，那么分子也需要乘以12，即为＝，乘积大于原分子、分母，通过列举法进行解答。
【详解】（1）原来分子是3，分子加12后变为3＋12＝15，15÷3＝5，即分子扩大到原来的5倍。要使分数大小不变，分母也应扩大到原来的5倍，原来分母是4，扩大5倍后是4×5＝20。分母要加20－4＝16。
（2）分子、分母同时乘以12，＝＝，结果符合题意。
24－19＝5，60－55＝5即在原有分母、分子的基础上同时加5。
把的分子加12，要使分数大小不变，分母要加16；的分子和分母同时加上一个自然数，得到的新分数约分后是，所加的自然数是5。
【点睛】解题核心在于灵活运用分数的基本性质，分子分母必须同变化才能保持分数值不变，对于第二问，采用逆向思维从目标分数出发，通过扩大倍数寻找符合条件的解，注意验证步骤：分子分母的增量必须相同，且结果约分后确实等于目标分数，列举法解题时要确保扩大的倍数能使新分数大于原分数。
13． 108 972
【分析】求两个数最小公倍数，先把它们分别分解质因数，然后把它们公有的质因数与不同的质因数相乘即可；进而求出它们最大的公倍数。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
最小的公倍数是2×2×3×3＝36
36×3＝108
36×27＝972
这个数最小是108，最大是972。
【点睛】本题考查最小公倍数，明确最小公倍数的求出是解题的关键。
14． 9 54
【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，据此解答即可。
【详解】A＝2×3×3；
B＝3×3×3；
A和B两数的最大公因数是3×3＝9；
A和B两数的最小公倍数是2×3×3×3＝54
【点睛】熟练掌握两个数的最大公因数和最小公倍数的求法是解答本题的关键。
15． 6 60
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】30＝2×3×5
12＝2×2×3
2×3＝6
2×2×3×5＝60
30和12的最大公因数是6，最小公倍数是60。
【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公倍数的求法。
16． 10 180
【分析】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个数独有质因数的连乘积，据此解答。
【详解】a＝2×2×5，
b＝2×3×3×5，
a和b的最大公因数是2×5＝10，最小公倍数是2×2×5×3×3＝180。
【点睛】熟练掌握最大公因数和最小公倍数的求法是解答本题的关键。
17． ＜ ＝ ＞
【分析】（1）分子比分母小的分数叫做真分数；真分数＜1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；假分数≥1；所以真分数＜假分数。
（2）异分母分数比较大小时，先通分成同分母的分数，再根据“分母相同时，分子越大，分数值就越大”比较大小。
（3）把带分数化成假分数，再与比较大小。
【详解】（1）＜1，＞1，所以＜；
（2）＝＝，所以＝；
（3）＝，＞，所以＞。
18．×
【分析】把这本《数学奥秘》的总页数看作单位“1”， 楷楷剩下没看，则楷楷看了1－＝，再根据异分母分数比较大小的方法，比较和的大小求出谁看得多，据此判断。
【详解】1－＝
＝＝
＝
所以楠楠和楷楷看得一样多。
原题说法错误。
故答案为：×
19．√
【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”，由此可知，一个数的最大因数与它最小倍数的和就是这个数的2倍，据此举例解答。
【详解】如5的最大因数是5，5的最小倍数是5。
5＋5＝10；10是5的2倍。
所以一个数的最大因数与它最小倍数的和一定是2的倍数。
原题干说法正确。
故答案为：√
20．√
【分析】两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于两个数的积。据此判断即可。
【详解】5×105＝525
则这两个数的积是525。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确最大公因数、最小公倍数、这两个数的乘积之间的关系是解题的关键。
21．×
【分析】根据分数的基本性质通分后找到比小比大的反例即可。
【详解】＝，＝，＜＜，比小比大的分数还有，所以原题说法错误。
【点睛】本题考查了通分，其实比小比大的分数有无数个。
22．×
【分析】分子比分母小的分数叫做真分数；最简分数是指分子和分母只有公因数1的分数；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；根据分数的基本性质，把两个分数的分子、分母分别乘2、3、4……可以得到无数个在和之间的最简真分数，据此解答即可。
【详解】
所以和之间的最简真分数有：、、、、、……，有无数个最简真分数，本题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查最简真分数、通分，解答本题的关键是掌握最简真分数和通分的概念。
23．小李；小王
【分析】时间÷路程＝每千米用时，根据分数与除法的关系，即分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，表示出结果，比较即可，每千米用时越少速度越快。异分母分数比较大小，先通分再比较。
【详解】小李每千米：19÷3＝＝（分钟）
小王每千米：11÷2＝＝（分钟）
＞
答：比赛前半段，每千米用的时间小李多，小王跑得更快。
24．（1）12分钟；爸爸4圈；妈妈3圈
（2）如果妈妈和我同时起跑，至少多少分钟后我和妈妈在起点再次相遇？12分钟（答案不唯一）
【分析】（1）已知爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟，两人同时起跑，那么两人在起点再次相遇的相隔时间是3和4的公倍数；求至少多少分钟后两人在起点再次相遇，就是求3和4的最小公倍数。再用最小公倍数除以爸爸、妈妈分别跑一圈用的时间，即是两人分别跑的圈数。
（2）结合题目中的信息，提出问题，合理即可。
如提问：如果妈妈和我同时起跑，至少多少分钟后我们在起点再次相遇？
已知妈妈跑一圈用4分钟，我跑一圈用6分钟，同时起跑，那么我们在起点再次相遇的相隔时间是4和6的公倍数；求至少多少分钟后我们在起点再次相遇，就是求4和6的最小公倍数，据此解答。
【详解】（1）3和4的最小公倍数是：3×4＝12
即至少12分钟后两人在起点再次相遇。
12÷3＝4（圈）
12÷4＝3（圈）
答：如果爸爸、妈妈同时起跑，至少12分钟后两人在起点再次相遇。此时爸爸跑了4圈，妈妈跑了3圈。
（2）提问：如果妈妈和我同时起跑，至少多少分钟后我们在起点再次相遇？
4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
即至少12分钟后我们在起点再次相遇。
答：至少12分钟后我们在起点再次相遇。（答案不唯一）
25．小黄
【分析】根据：工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出2人1小时完成的数量，谁的计算结果大谁就做得快；据此解答。
【详解】37÷4＝（个）
26÷3＝（个）
，
＞
答：小黄做得快一些。
【点睛】此题考查了分数与除法的关系，结果可以用分数表示再比较，也可以求出小数再比较。
26．23名
【分析】如果只是3的倍数，而不是4的倍数，那么只转了1次，最后背向老师；如果既是3的倍数，又是4的倍数，那么转了2次，最后面向老师；而没有转动的学生也是面向老师的。
【详解】1~40中3的倍数：
有13个3的倍数；
1~40中4的倍数：
有10个4的倍数；
3和4的最小公倍数是12；
1~40中有12，24，36这3个12的倍数；
转动的人数：（名）
没有转动的人数：（名）
最后面向老师的人数：（名）
答：现在面向老师的同学还有23名。
【点睛】本题将重叠问题、奇偶性问题、最小公倍数相结合，转动奇数次，和原来相反，转动偶数次，和原来相同。
27．30名
【分析】由题可知，分为6组可以，分为5组也可以，可得总人数是6和5的公倍数；先求出6和5的最小公倍数，进而结合总人数不超过45人，即可得到答案。
【详解】6和5的最小公倍数：6×5＝30
30×1＝30（名）
30×2＝60（名）
30＜45＜60
答：这个班有30名同学。
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