2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标：6.1平面向量的概念（含答案）

6.1　平面向量的概念
一．选择题
1.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)
A.若四边形ABCD是平行四边形,则
B.若|a|=|b|且a∥b,则a=b
C.若,则A,B,C三点共线
D.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
2.在同一平面内,把所有单位向量的起点固定在同一点,则其终点形成的轨迹是(　　)
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
3.如图,在3×4的格点图(规定小方格的边长为1)中,若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　)
A.12个
B.18个
C.24个
D.36个
4.如图,在等边三角形ABC中,点P,Q,R分别是线段AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(多选题)下列条件中,能使a∥b成立的有(　　)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a与b方向相反
D.|a|=0或|b|=0
6.设a0,b0是两个单位向量,则下列结论正确的是(　　)
A.a0=b0 B.a0=-b0
C.|a0|+|b0|=2 D.a0∥b0
7.如图,在梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(　　)
A. B.
C. D.
8.已知点D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为(　　)
A. B.
C.1 D.2
二．填空题
9.如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿西偏南　　　　　方向行走了　　　　　 km.
10.已知||=1,||=2,若∠ABC=90°,则||=　　　　　.
11.将向量用具有同一起点M的有向线段表示,当是平行向量,且||=2||=2时,||=　　　　　.
12.若四边形ABCD满足,且||=||,则四边形ABCD是　　　　　　(填四边形ABCD的形状).
13.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=　　　　　.
14.如图所示,已知四边形ABCD是矩形,O为对角线AC与BD的交点,设点集M={O,A,B,C,D},向量的集合T={|P,Q∈M,且P,Q不重合},则集合T有　　　　　个元素.
三．解答题
15.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中的向量中:
(1)分别找出与相等的向量;
(2)找出与共线的向量;
(3)找出与模相等的向量;
(4)向量是否相等
16.已知一架飞机从A地沿北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地,再从B地沿南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地,最后从C地沿西南方向飞行1 000 km到达D地.作出向量,并求出向量的模和方向.
17.在平行四边形ABCD中,点E,F分别是CD,AB的中点,如图所示.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:.
6.1　平面向量的概念
一．选择题
1.AC
解析:当四边形ABCD是平行四边形时,向量的方向相同,长度相等,因此有,故选项A中说法正确;两个向量的模相等且平行,但这两个向量的方向不一定相同,故选项B中说法错误;选项C中说法显然正确;0与任一向量平行,但零向量的方向是任意的,故选项D中说法错误.
2.A
解析:平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
3.C
解析:由题意可知,每个小正方形的边长均为1,则其对角线长为,每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.
4.B
解析:向量相等要求模相等且方向相同,因此都是和相等的向量.
5.ACD
解析:若a=b,则a与b长度相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的长度相等,方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,故若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量都平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
6.C
解析:因为a0,b0是单位向量,所以|a0|=1,|b0|=1.
所以|a0|+|b0|=2.故选C.
7.D
解析:根据相等向量的定义,分析可得,选项A,B中的等式不成立;选项C中,方向相反,故不成立;选项D中,方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故成立.
8.C
解析:因为四边形ABPC是平行四边形,且点D为对角线BC与AP的交点,所以点D为AP的中点,所以的值为1.
二．填空题
9.60°　2
解析:由已知图形可知,的几何意义是从A点沿西偏南60°方向,行走了2 km.
10.
解析:在Rt△ABC中,由勾股定理可知,BC=,故||=.
11.3或1
解析:当同向时,||=||+||=3;
当反向时,||=||-||=1.
12.矩形
解析:∵,∴AD∥BC,且||=||,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又由||=||,知该平行四边形的对角线相等,故四边形ABCD是矩形.
13.0
解析:平行向量又叫共线向量,因为A,B,C是不共线的三点,所以不共线,而与不共线向量都共线的向量只能是零向量.
14.12
解析:根据题意知,由点O,A,B,C,D可以构成20个向量,且它们有12个向量各不相等,由元素的互异性知T中有12个元素.
三．解答题
15.
解:(1).
(2)与共线的向量有.
(3)与模相等的向量有.
(4)向量不相等,因为它们的方向不相同.
16.
解:以A为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.
据题设,B点在第一象限,C点在x轴正半轴上,D点在第四象限,向量如图所示,
由已知可得,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.
又∠ACD=45°,
CD=1 000 km,
所以△ADC为等腰直角三角形,
所以AD=1 000 km,∠CAD=45°.
故向量的模为1 000 km,方向为东南方向.
17.
(1)解:与向量共线的向量有.
(2)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,且AB=CD.又点E,F分别是CD,AB的中点,所以ED∥BF,且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,故.