26.1.2根据实际问列二次函数关系式题课文练习（解析版）
文档属性
| 名称 | 26.1.2根据实际问列二次函数关系式题课文练习（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 127.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-11-05 22:27:26 | ||
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文档简介
26.1.2根据实际问列二次函数关系式题
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
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A．y=x+1
B．y=x﹣1
C．y=x2﹣x+1
D．y=x2﹣x﹣1
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠
( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
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A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥
( http: / / www.21cnjy.com )，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
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A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电
( http: / / www.21cnjy.com )热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=2a（x﹣1）
B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2）
D．y=a（1﹣x）2
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ）
A．y=20（1﹣x）2
B．y=20+2x
C．y=20（1+x）2
D．y=20+20x2+20x
6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a
B．y=a（x﹣1）2
C．y=a（1﹣x）2
D．y=a（1+x）2
7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y=x2
B．y=（12﹣x2）
C．y=（12﹣x） x
D．y=2（12﹣x）
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=60（1﹣x）2
B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2
D．y=60（1+x）2
二．填空题（共6小题）
9．如图，在一幅长50cm
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10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： _________ ．
11．某企业今年第一月新产品的研发资金
( http: / / www.21cnjy.com )为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= _________ ．
12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 _________ ．
13．某厂今年一月份新产品的研发资
( http: / / www.21cnjy.com )金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= _________ ．
14．如图，李大爷要借助院墙围成一
( http: / / www.21cnjy.com )个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x
m，矩形的面积为y
m2，则y与x之间的函数表达式为 _________ ．
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三．解答题（共8小题）
15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周
( http: / / www.21cnjy.com )长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
18．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
19．已知在△ABC中，∠
( http: / / www.21cnjy.com )B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
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21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
26.1.2根据实际问列二次函数关系式题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
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A．
y=x+1
B．y=x﹣1
C．y=x2﹣x+1
D．
y=x2﹣x﹣1
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
动点型．
分析：
易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
解答：
解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC=BE：CF，
∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．
∴AB CF=EC BE，
即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．
化简得：y=x2﹣x+1．
故选C．
点评：
本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．
2．如图，四边形ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
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A．
y=
B．y=
C．y=
D．
y=
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
压轴题．
分析：
四边形ABCD图形不规则，根据
( http: / / www.21cnjy.com )已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
解答：
解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a=，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a2
=x2．
故选：C．
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点评：
本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
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A．
y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．
y=x2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
压轴题．
分析：
由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
解答：
解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
点评：
根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，
( http: / / www.21cnjy.com )对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．
y=2a（x﹣1）
B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2）
D．
y=a（1﹣x）2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
原价为a，第一次降价后的价
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解答：
解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y=a（1﹣x）2．
故选D．
点评：
本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ）
A．
y=20（1﹣x）2
B．y=20+2x
C．y=20（1+x）2
D．
y=20+20x2+20x
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．
解答：
解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，
∴一年后产品是：20（1+x），
∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．
故选：C．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键．
6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．
y=x2+a
B．y=a（x﹣1）2
C．
y=a（1﹣x）2
D．
y=a（1+x）2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
解答：
解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故选D．
点评：
在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．
y=x2
B．y=（12﹣x2）
C．y=（12﹣x） x
D．
y=2（12﹣x）
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
几何图形问题．
分析：
先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．
解答：
解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y=（12﹣x） x．
故选C．
点评：
考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．
y=60（1﹣x）2
B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2
D．
y=60（1+x）2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．
解答：
解：二年后的价格是为：
60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．
故选A．
点评：
本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是 y=4x2+160x+1500 ．
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考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
解答：
解：由题意可得：
y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题．
10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一
( http: / / www.21cnjy.com )个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： y=﹣x2+25x ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
解答：
解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，
则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．
故答案为y=﹣x2+25x．
点评：
本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
11．某企业今年第一月新产品的研发资
( http: / / www.21cnjy.com )金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= 100（1+x）2 ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
由一月份新产品的研发资金为10
( http: / / www.21cnjy.com )0元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
解答：
解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
点评：
此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 8x﹣x2 ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．
解答：
解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，
∴另一边长为8﹣x，
∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．
故答案为：S=8x﹣x2．
点评：
此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．
13．某厂今年一月份新产品的研
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考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
计算题．
分析：
由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
解答：
解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×（1+x），
∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．
故填空答案：a（1+x）2．
点评：
此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x
m，矩形的面积为y
m2，则y与x之间的函数表达式为 ．
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考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据题意可得y=（24﹣x）x，继而可得出y与x之间的函数关系式．
解答：
解：由题意得：y=（24﹣x）x=﹣x2+12x，
故答案为：y=﹣x2+12x．
点评：
此题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．
三．解答题（共8小题）
15．某公司的生产利润原来是a元，经过
( http: / / www.21cnjy.com )连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
解答：
解：依题意，
得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，
是二次函数，二次项系数为：a、一次项系数为2a和常数项为a．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的
( http: / / www.21cnjy.com )周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可．
（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解．
解答：
解：（1）y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120
=240x2+180x+45；
（2）由题意可列方程为
240x2+180x+45=195，
整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．
点评：
本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．
17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
本题为增长率问题，一
( http: / / www.21cnjy.com )般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出y=100（1+x）2．
解答：
解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，
∴二月份的利润是100（1+x），
∴三月份的利润是100（1+x）2，
因此y=100（1+x）2．
点评：
本题考查一元二次方程的应用，解决此类三次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
18．某公园门票每张是80元，据统计每
( http: / / www.21cnjy.com )天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据已知得出门票价格为x（x≤80）元时，进而表示出进园人数得出即可．
解答：
解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
点评：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每天进园人数是解题关键．
19．已知在△ABC中，∠B=30°，
( http: / / www.21cnjy.com )AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=BC AD，将相关数值代入即可．
解答：
解：如图，作△ABC的高AD．
在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AD=AB=x，
∴S=△ABC的面积=BC AD=（12﹣x） x=﹣x2+3x，
∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣x2+3x（x＞0）．
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点评：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的
( http: / / www.21cnjy.com )速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
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考点：
根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题：
计算题；压轴题；动点型．
分析：
（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ CPsin∠BCD=CQ CPsin∠B=×（6﹣3t）×（10﹣2t）×=t2﹣t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，
=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．
解答：
解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC﹣BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48，
答：a的值是48．
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB==10．
又∵D为AB的中点，
∴CD=AB=5，
∵sinB==，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得：AC BC=AB CE，
6×8=10CE，
解得：CE=，
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过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB=，
∴PK=PB sinB，
∴S△PBQ=BQ×PK=BQ BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
=×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，
=t2﹣t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，
=﹣t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S=CQ PCsin∠BCD=×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴，
∴=，
∴PH=8﹣1.6t，
∴S=CQ PH=CQ PH=×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）
=t2﹣t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S=t2﹣t+24（0＜t≤1）
或S=﹣t+12（1＜t≤2.5），
或S=﹣t+12（2.5＜t≤3），
或S=t2﹣t+48．（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，
当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，
∴=，
∴t=2.5，
当P在DC上时，若∠PQC=90°，
sinA=sin∠CPQ，
=，
=，或=，
t=，或t=2.5，
∵1＜t＜4，
∴t=，t=2.5，符合题意，
∴当t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．
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点评：
本题主要考查对锐角三角函数的定义，根
( http: / / www.21cnjy.com )据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
首先表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积公式求出即可．
解答：
解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，
∴另一边长为：（﹣x）m，
故x（﹣x）=60，
则L=+2x，（0＜x＜）．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，表示出另一边长是解题关键．
22．某商品每件成本40元，以单价5
( http: / / www.21cnjy.com )5元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
首先根据题意得出当定价为x元时
( http: / / www.21cnjy.com )，每件降价（55﹣x）元，此时销售量为[100+10（55﹣x）]件，根据利润=销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可．
解答：
解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，
则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，
即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．
点评：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示销售量是解题的关键．
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
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A．y=x+1
B．y=x﹣1
C．y=x2﹣x+1
D．y=x2﹣x﹣1
2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠
( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
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A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥
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A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电
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A．y=2a（x﹣1）
B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2）
D．y=a（1﹣x）2
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ）
A．y=20（1﹣x）2
B．y=20+2x
C．y=20（1+x）2
D．y=20+20x2+20x
6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y=x2+a
B．y=a（x﹣1）2
C．y=a（1﹣x）2
D．y=a（1+x）2
7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y=x2
B．y=（12﹣x2）
C．y=（12﹣x） x
D．y=2（12﹣x）
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=60（1﹣x）2
B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2
D．y=60（1+x）2
二．填空题（共6小题）
9．如图，在一幅长50cm
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10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： _________ ．
11．某企业今年第一月新产品的研发资金
( http: / / www.21cnjy.com )为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= _________ ．
12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 _________ ．
13．某厂今年一月份新产品的研发资
( http: / / www.21cnjy.com )金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= _________ ．
14．如图，李大爷要借助院墙围成一
( http: / / www.21cnjy.com )个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x
m，矩形的面积为y
m2，则y与x之间的函数表达式为 _________ ．
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三．解答题（共8小题）
15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周
( http: / / www.21cnjy.com )长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
18．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
19．已知在△ABC中，∠
( http: / / www.21cnjy.com )B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
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21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
26.1.2根据实际问列二次函数关系式题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（ ）
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A．
y=x+1
B．y=x﹣1
C．y=x2﹣x+1
D．
y=x2﹣x﹣1
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
动点型．
分析：
易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．
解答：
解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC=BE：CF，
∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．
∴AB CF=EC BE，
即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．
化简得：y=x2﹣x+1．
故选C．
点评：
本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．
2．如图，四边形ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
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A．
y=
B．y=
C．y=
D．
y=
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
压轴题．
分析：
四边形ABCD图形不规则，根据
( http: / / www.21cnjy.com )已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
解答：
解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a=，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a2
=x2．
故选：C．
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点评：
本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
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A．
y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．
y=x2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
压轴题．
分析：
由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．
解答：
解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
点评：
根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，
( http: / / www.21cnjy.com )对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．
y=2a（x﹣1）
B．y=2a（1﹣x）
C．y=a（1﹣x2）
D．
y=a（1﹣x）2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
原价为a，第一次降价后的价
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解答：
解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．
则函数解析式是y=a（1﹣x）2．
故选D．
点评：
本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ）
A．
y=20（1﹣x）2
B．y=20+2x
C．y=20（1+x）2
D．
y=20+20x2+20x
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．
解答：
解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，
∴一年后产品是：20（1+x），
∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．
故选：C．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键．
6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．
y=x2+a
B．y=a（x﹣1）2
C．
y=a（1﹣x）2
D．
y=a（1+x）2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
解答：
解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故选D．
点评：
在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．
y=x2
B．y=（12﹣x2）
C．y=（12﹣x） x
D．
y=2（12﹣x）
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
几何图形问题．
分析：
先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．
解答：
解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y=（12﹣x） x．
故选C．
点评：
考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．
8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．
y=60（1﹣x）2
B．y=60（1﹣x2）
C．y=60﹣x2
D．
y=60（1+x）2
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．
解答：
解：二年后的价格是为：
60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，
则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．
故选A．
点评：
本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是 y=4x2+160x+1500 ．
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考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．
解答：
解：由题意可得：
y=（50+2x）（30+2x）
=4x2+160x+1500．
故答案为：y=4x2+160x+1500．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题．
10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一
( http: / / www.21cnjy.com )个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： y=﹣x2+25x ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．
解答：
解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，
则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．
故答案为y=﹣x2+25x．
点评：
本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
11．某企业今年第一月新产品的研发资
( http: / / www.21cnjy.com )金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= 100（1+x）2 ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
由一月份新产品的研发资金为10
( http: / / www.21cnjy.com )0元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
解答：
解：∵一月份新产品的研发资金为100元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
点评：
此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是 8x﹣x2 ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．
解答：
解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，
∴另一边长为8﹣x，
∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．
故答案为：S=8x﹣x2．
点评：
此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．
13．某厂今年一月份新产品的研
( http: / / www.21cnjy.com )发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2 ．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
专题：
计算题．
分析：
由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
解答：
解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×（1+x），
∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．
故填空答案：a（1+x）2．
点评：
此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x
m，矩形的面积为y
m2，则y与x之间的函数表达式为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据题意可得y=（24﹣x）x，继而可得出y与x之间的函数关系式．
解答：
解：由题意得：y=（24﹣x）x=﹣x2+12x，
故答案为：y=﹣x2+12x．
点评：
此题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．
三．解答题（共8小题）
15．某公司的生产利润原来是a元，经过
( http: / / www.21cnjy.com )连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
解答：
解：依题意，
得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，
是二次函数，二次项系数为：a、一次项系数为2a和常数项为a．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．
16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的
( http: / / www.21cnjy.com )周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式．
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．
专题：
几何图形问题；压轴题．
分析：
（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可．
（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解．
解答：
解：（1）y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120
=240x2+180x+45；
（2）由题意可列方程为
240x2+180x+45=195，
整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．
点评：
本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．
17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
本题为增长率问题，一
( http: / / www.21cnjy.com )般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出y=100（1+x）2．
解答：
解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，
∴二月份的利润是100（1+x），
∴三月份的利润是100（1+x）2，
因此y=100（1+x）2．
点评：
本题考查一元二次方程的应用，解决此类三次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
18．某公园门票每张是80元，据统计每
( http: / / www.21cnjy.com )天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y是x的二次函数吗？
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
根据已知得出门票价格为x（x≤80）元时，进而表示出进园人数得出即可．
解答：
解：根据题意可得：
y=x[200+6（80﹣x）]
=﹣6x2+680x．
点评：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每天进园人数是解题关键．
19．已知在△ABC中，∠B=30°，
( http: / / www.21cnjy.com )AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=BC AD，将相关数值代入即可．
解答：
解：如图，作△ABC的高AD．
在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AD=AB=x，
∴S=△ABC的面积=BC AD=（12﹣x） x=﹣x2+3x，
∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣x2+3x（x＞0）．
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点评：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的
( http: / / www.21cnjy.com )速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
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考点：
根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题：
计算题；压轴题；动点型．
分析：
（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ CPsin∠BCD=CQ CPsin∠B=×（6﹣3t）×（10﹣2t）×=t2﹣t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，
=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．
解答：
解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，
∴AC+BC=14，
又∵AC﹣BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48，
答：a的值是48．
（2）∵∠ACB=90°，
∴AB==10．
又∵D为AB的中点，
∴CD=AB=5，
∵sinB==，
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得：AC BC=AB CE，
6×8=10CE，
解得：CE=，
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过P作PK⊥BQ于K，
∵sinB=，
∴PK=PB sinB，
∴S△PBQ=BQ×PK=BQ BPsinB，
（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
=×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，
=t2﹣t+24，
（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC BC﹣AP CE﹣BQ BPsinB，
=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，
=﹣t+12；
（III）当2.5＜t≤3时，
S=CQ PCsin∠BCD=×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；
（IIII）当3＜t＜4时，
∵△PHC∽△BCA，
∴，
∴=，
∴PH=8﹣1.6t，
∴S=CQ PH=CQ PH=×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）
=t2﹣t+48．
答：S与t之间的函数关系式是：
S=t2﹣t+24（0＜t≤1）
或S=﹣t+12（1＜t≤2.5），
或S=﹣t+12（2.5＜t≤3），
或S=t2﹣t+48．（3＜t＜4）．
②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，
当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，
∴=，
∴t=2.5，
当P在DC上时，若∠PQC=90°，
sinA=sin∠CPQ，
=，
=，或=，
t=，或t=2.5，
∵1＜t＜4，
∴t=，t=2.5，符合题意，
∴当t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．
答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．
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( http: / / www.21cnjy.com )
点评：
本题主要考查对锐角三角函数的定义，根
( http: / / www.21cnjy.com )据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
首先表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积公式求出即可．
解答：
解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，
∴另一边长为：（﹣x）m，
故x（﹣x）=60，
则L=+2x，（0＜x＜）．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，表示出另一边长是解题关键．
22．某商品每件成本40元，以单价5
( http: / / www.21cnjy.com )5元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
考点：
根据实际问题列二次函数关系式．
分析：
首先根据题意得出当定价为x元时
( http: / / www.21cnjy.com )，每件降价（55﹣x）元，此时销售量为[100+10（55﹣x）]件，根据利润=销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可．
解答：
解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，
则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，
即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．
点评：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示销售量是解题的关键．