江西南昌中学2025-2026学年度高一上学期期末考试数学试题（含答案）

南昌中学2025-2026学年度上学期期末考试
高一数学试卷
一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分．四选一）
1．给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（ ）
A．若任取，则是必然事件
B．若任取，则是不可能事件
C．若任取，则是随机事件
D．若任取，则是必然事件
2．已知，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，则满足的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1，2，3，4，5，6这六个数字当中任选一个数字(两人所选的数字可以相同)，如果所选出的两个数字相差不超过1，则称这两个小朋友“心有灵犀”．两个小朋友“心有灵犀”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分，四选多，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的平均数为13
B．数据的方差为12
C．
D．
10．已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的取值范围是
B．若的值域为，则的取值范围是
C．若，则的单调减区间为
D．若在上单调递减，则的取值范围是
11．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4 B．12 C． D．
三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡的相应位置上）
12．当且时，函数的图象一定经过定点
13．某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为 .
14．已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则 .
四、解答题（本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围．
16．已知幂函数在上单调递减．
(1)求的解析式；
(2)若，，求a的取值范围．
17．某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线；
(2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率；
(3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差．
18．已知函数满足，函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
(3)若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围．
19．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)求比赛进行5局后结束，且甲获得最终胜利的概率.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．B
2．B
3．D
4．C
5．C
6．B
7．D
8．A
9．ACD
10．ABD
11．AD
12．
13．
14．14
15．(1)
(2)
（1）由题意知，1和2是方程的两根，.
由韦达定理可得，解得；
（2）由（1）可知，则不等式对于均成立，
则当时，不等式恒成立；
当时，不等式对于均成立，
等价于，解得，
综上，可得．
16．(1)
(2)
（1）因为幂函数在上单调递减，所以，
解得，所以的解析式为．
（2）由，可得，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1．
所以a的取值范围为．
17．(1)，84分
(2)
(3)78，9.4
（1）由频率分布直方图易知，，解得，
由图知，的频率为．的频率为，
所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为，
则，解得，
所以估计获奖学生的最低分数线为84分．
（2）由图可知，与的频率之比是，
根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为，在内抽取1人，记为，
从这5人中选取2人，则该试验的样本空间为：
则，
记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”，
则，则，
由古典概型概率公式，可得．
（3）样本数据在内的人数为，在内的人数为，
所以，
．
18．(1)
(2)
(3)
（1）因为①，
则②，
故联立上述方程，解得；
（2）由（1）知，，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，所以，而在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以，
所以的取值范围是；
（3）方程等价于，
即，，
令，则方程化为，（），
因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个，
所以，（）有两个不同的正根、，
记，
所以，解得，
所以．
19．(1)
(2)
（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：
甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则，
则，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为.
（2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，比赛进行5局后结束，且甲获得最终胜利的概率为 .
答案第1页，共2页
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