江西省南昌市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（含答案）

2025-2026学年高一年级上学期学科期末素养训练
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众人、VR全景云包厢观众500人线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第80百分位数比中位数多（ ）
A． B． C． D．
7．溶液酸碱度是通过计算的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，某新式茶饮店推出的“竹香青柠”气泡水，经检测其氢离子浓度为摩尔/升，则该气泡水的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（ ）
A．矩形有四条边 B．，
C．，， D．“，”的否定
10．一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
11．若函数且函数有4个零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．方程恰有9个不相等的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知是定义在上的偶函数，当时，，则 .
13．学校社团开放日设置了4个体验项目：手工篆刻、即兴戏剧、AI编程、非遗糖画，每位同学需随机抽取2个不同项目参与，且每个项目组合被抽中的概率相等，则李同学恰好抽中“手工篆刻”的概率为 ．
14．已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则 ，的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（1）求函数的定义域；
（2）求值：.
16．已知函数

(1)在答题卡中相应的位置画出的图象；
(2)若在上的值域为，求的取值范围.
17．某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差．
附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据
的方差为．
18．某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立．
(1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率；
(2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率；
(3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率．
19．已知函数，，
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若在上不单调，求的单调区间；
(3)定义，，，的区间长度均为，若，，证明：在上的单调递增区间的区间长度之和为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．A
2．B
3．C
4．A
5．B
6．C
7．A
8．D
9．AB
10．ABC
11．ACD
12．16
13．
14． 3 ##
15．（1）；（2）.
（1）函数有意义，则，解得或，
所以所求函数定义域为.
（2）.
16．
（1）画出的图像，如图所示.

（2），，.
因为在上的值域为，
所以结合图象可得，即的取值范围为.
17．(1)
(2)
(3)21
（1）由题意可得，
解得．
（2）估计这300名顾客的单次消费金额的平均数为．
（3）因为第一组的频率为，第二组的频率为，
所以第一组与第二组所有顾客单次消费金额的平均数为，
为第一组数据所占比例，即，同理，
所以估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差．
18．(1)
(2)
(3)
（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B,
设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C,
则.
（2）设第次线上抽奖中奖为事件，
设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D，
则.
（3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中，
则.
19．（1）由题意知，恒成立，即恒成立，即恒成立.
当时，，即；
当时，，即，
而当时，的取值范围是，所以，即.
综上，可得.
（2）由（1）知，当时，是单调函数，不符合题意，则.
令，得，即，
则或
因为，所以，
所以.
故，
则的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（3）证明：因为，所以与不在同一个单调区间内.
若，则，即，
即，在上的单调递增区间为，其区间长度为.
若，则，即，
即，在上的单调递增区间为，其区间长度为.
若，，则，即，即，
在上的单调递增区间为和，其区间长度之和为.
综上，在上的单调递增区间的区间长度之和为
答案第1页，共2页
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