26.2.1二次函数y=ax2的图像与性质课文练习含答案解析

26.2.1二次函数y=ax2的图像与性质
一．选择题（共8小题）
1.已知反比例函数y=（a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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2．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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3．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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4．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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5．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）
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A．
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B．
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C．
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D．
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6．函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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7．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　）
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A．
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B．
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C．
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D．
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二．填空题（共6小题）
9．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有　_________　．
（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3），（4）y=﹣x2．
10．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），
则抛物线的对称轴是　_________　；若y＞2，则自变量x的取值范围是　_________　．
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11．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　_________　．
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12.如图，边长为2的正方形ABCD的中
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13．如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　_________　．
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14．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　_________　．
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三．解答题（共6小题）
15．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
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16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）这个二次函数的解析式是y=　_________　；
（2）当x=　_________　时，y=3；
（3）根据图象回答：当x　_________　时，y＞0．
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17．分别在同一直角坐标系内，描点画出y=x2+3与y=x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
18．函数y=2（x﹣1）2+k（k＞0）的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？请作图说明．
19．在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=﹣x2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
20．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
26.2.1二次函数y=ax2的图像与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知反比例函数y=（a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是（　　）
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；反比例函数的性质．
分析：
根据反比例函数的增减性判断出a＞0，再根据二次函数的性质判定即可．
解答：
解：∵反比例函数y=（a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∴二次函数y=ax2﹣ax图象开口向上，
对称轴为直线x=﹣=．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的图象，反比例函数的性质，熟记性质并判断出a＞0是解题的关键．
2．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；正比例函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
解答：
解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
点评：
函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
3．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
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B．
( http: / / www.21cnjy.com )C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
分a＞0和a＜0两种情况讨论二次函数和反比例函数图象所在的象限，然后选择答案即可．
解答：
解：a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1），
y=位于第一、三象限，没有选项图象符合，
a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1），
y=位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选：B．
点评：
本题考查了二次函数图象与反比例函数图象，熟练掌握系数与函数图象的关系是解题的关键．
4．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：
本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
解答：
解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b经过二、四象限，故A可排除；
B、二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b经过一、二、四象限，故B可排除；
C、二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b经过一、三，故C可排除；
正确的只有D．
故选：D．
点评：
此题主要考查了一次函数图象与二次函
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5．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）
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A．
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B．
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C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．
解答：
解：由图可知，m＜﹣1，n=1，
∴m+n＜0，
∴一次函数y=mx+n经过第一、二、四象限，且与y轴相交于点（0，1），
反比例函数y=的图象位于第二、四象限；
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．
6．函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．
解答：
解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，
a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选：D．
点评：
本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．
7．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．
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B．
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C．
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D．
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考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象．
专题：
数形结合．
分析：
先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确．
解答：
解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选：B．
点评：
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　）
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A．
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B．
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C
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D．
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考点：
二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
先根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
解答：
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=分布在第一、三象限．
故选：D．
点评：
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
二．填空题（共6小题）
9．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有　（1）（4）　．
（1）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3），（4）y=﹣x2．
考点：
二次函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．
分析：
分别根据一次函数、正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．
解答：
解：（1）y=﹣x+1，y随x增大而减小，正确；
（2）y=2x，y随x增大而增大，错误；
（3），在每一个分支，y随x增大而增大，错误；
（4）y=﹣x2，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小，正确．
故答案为：（1）（4）．
点评：
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．
10．如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），
则抛物线的对称轴是　x=　；若y＞2，则自变量x的取值范围是　0＜x＜1　．
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考点：
二次函数的图象；二次函数的性质．
专题：
图表型．
分析：
二次函数的图象与x轴交于（a，0）（b，0），则对称轴为；求得对称轴后即可求得图象经过的另一点为（1，2），据此可以确定自变量的取值范围．
解答：
解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），
∵对称轴为x==；
∵抛物线与y轴的交点坐标分别为（0，2），对称轴为x=，
∴抛物线还经过点（1，2），
∴y＞2，则自变量x的取值范围是
0＜x＜1，
故答案为：x=，0＜x＜1．
点评：
本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，解题的关键是知道如何根据抛物线与x轴的交点坐标求对称轴．
11．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　﹣3＜x＜1　．
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考点：
二次函数的图象．
专题：
压轴题．
分析：
根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．
解答：
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
点评：
此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=﹣x2+bx+c的完整图象．
12．如图，边长为2的正方形ABCD的中心
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考点：
二次函数的图象；正方形的性质．
分析：
根据图示及抛物线、正方形的性质不难判断出阴影部分的面积即为正方形面积的一半，从而得出答案．
解答：
解：根据图示及抛物线、正方形的性质，
S阴影=S正方形=×2×2=2．
故答案为：2．
点评：
本题主要考查了抛物线及正方形的性质，需要根据图是进行判断，难度适中．
13．如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　2π　．
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考点：
二次函数的图象．
分析：
根据C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．
解答：
解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴面积为：π×22=2π．
故答案为：2π．
点评：
此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．
14.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是　﹣1＜x＜3　．
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考点：
二次函数的图象．
专题：
压轴题．
分析：
由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3．观察图象可知y＞0时x的取值范围．
解答：
解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，
根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），
观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．
点评：
此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=ax2+bx+c的完整图象．
三．解答题（共6小题）
15．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
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考点：
二次函数的图象；二次函数的性质．
分析：
（1）直接把点（0，3）代入抛物线解析式求m，确定抛物线解析式，根据解析式确定抛物线的顶点坐标，对称轴，开口方向，与x轴及y轴的交点，画出图象．
（2）、（3）、（4）可以通过（1）的图象及计算得到．
解答：
解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
X
﹣1
0
1
2
3
y
0
3
4
3
0
图象如右．
（2）由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
（4）由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
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点评：
考查从图象中读取信息的能力．考查二次函数的性质及图象画法．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示：
（1）这个二次函数的解析式是y=　x2﹣2x　；
（2）当x=　3或﹣1　时，y=3；
（3）根据图象回答：当x　＜0或＞2　时，y＞0．
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考点：
二次函数的图象．
分析：
（1）易知顶点为（1，﹣1）；那么可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣1再把（0，0）代入求a．
（2）把y=3代入抛物线解析式即可．
（3）函数值大于0，指x轴上方的函数图象所对应的x的取值．
解答：
解：（1）由图可知顶点坐标为（1，﹣1），设y=a（x﹣1）2﹣1，
把点（0，0）代入，得0=a﹣1，即a=1，
所以y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．
（2）当y=3时，x2﹣2x=3，解得x=3或x=﹣1．
（3）由图可知，抛物线与x轴两交点为（0，0），（2，0），开口向上，
所以当x＜0或x＞2时，y＞0．
点评：
本题考查用待定系数法求二次函数解析式；会根据所给的函数值得到相应的自变量的值及取值．
17．分别在同一直角坐标系内，描点画出y=x2+3与y=x2的二次函数的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
考点：
二次函数的图象．
分析：
根据抛物线的解析式求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标．则可画出图象．
解答：
解：抛物线y=x2+3的开口方向向上，顶点坐标是（0，3），对称轴是y轴，且经过点（3，6）和（﹣3，6）
抛物线y=x2的开口方向向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴，且经过点（3，3）和（﹣3，3）
则它们的图象如图所示：
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点评：
本题考查了二次函数的图象．熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
18．函数y=2（x﹣1）2+k（k＞0）的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？请作图说明．
考点：
二次函数的图象．
分析：
建立平面直角坐标系，然后作出函数y=2x2的图象，再确定出函数y=2（x﹣1）2+k的顶点位置，然后作出图形解答即可．
解答：
解：如图，函数y=2（x﹣1）2+k（k＞0）的图象由函数y=2x2的图象向右平移一个单位，向上平移k个单位得到．
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点评：
本题考查了二次函数图象，从顶点的变化考虑函数图象的关系更简便．
19．在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=﹣x2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
考点：
二次函数的图象．
分析：
根据二次函数图象，可得二次函数的性质．
解答：
解：如图：
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（1）y=x2+1与y=﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
y=x2+1与y=﹣x2﹣1的不同点是：y=x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y=x2+1
当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
y=﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
点评：
本题考查了二次函数的图象，利用了二次函数图象与性质，a＞0图象开口向上，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴右侧，y随x的增大而增大；a＜0图象开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．
20．在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=﹣3x2的图象，并比较两者的异同．
考点：
二次函数的图象．
分析：
根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可．
解答：
解：如图所示：
两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同．
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点评：
此题主要考查了二次函数的图象，根据已知函数解析式画出图象是解题关键．