26.2.3求二次函数关系式课文练习（解析版）

26.2.3求二次函数关系式
一．选择题（共8小题）
1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（　　）
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A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0
D．a＞0，b＞0，c＜0
2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（　　）
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A．a＞0，c＞0
B．a＜0，c＞0
C．a＞0，c＜0
D．a＜0，c＜0
3．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（　　）
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A．a＞1
B．a＜1
C．a＞0
D．a＜0
4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（　　）
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A．a＞0
B．b＞0
C．c＜0
D．b2﹣4ac＞0
5．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（　　）
A．±1
B．0
C．1
D．﹣1
6．（已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（　　）
A．﹣1
B．1
C．±1
D．
7．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（　　）
A．y=（x+1）2+1
B．y=（x+1）2﹣1
C．y=（x﹣1）2+1
D．y=（x﹣1）2﹣1
8．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+1）2
B．y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2
D．y=（x﹣1）2﹣2
二．填空题（共6小题）
9．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是　_________　．
10．如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m=　_________　．
11．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在
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12．已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是　_________　．
13．抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为　_________　．
14．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为　_________　．
三．解答题（共8小题）
15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
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16．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
17．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
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18．已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式．
19．已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点
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21．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
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22．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
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26.2.3求二次函数关系式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（　　）
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A．
a＜0，b＞0，c＞0
B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0
D．
a＞0，b＞0，c＜0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答案即可．
解答：
解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴﹣＞0，
∵a＞0，
∴b＜0；
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＜0，c＜0．
故选：C．
点评：
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（　　）
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A．
a＞0，c＞0
B．a＜0，c＞0
C．a＞0，c＜0
D．
a＜0，c＜0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此解决问题．
解答：
解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，c＜0．
故选：C．
点评：
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
3．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（　　）
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A．
a＞1
B．a＜1
C．a＞0
D．
a＜0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
由图示知，该抛物线的开口方向向下，则系数a﹣1＜0，据此可求a的取值范围．
解答：
解：如图，
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抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故选：B．
点评：
本题考查了二次函数的图象与系数的关
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4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（　　）
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A．
a＞0
B．b＞0
C．c＜0
D．
b2﹣4ac＞0
考点：
二次函数图象与系数的关系．
分析：
首先根据开口方向确
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解答：
解：由图象的开口向上可得a开口向上，由x=﹣＞0，可得b＜0，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c＜0，
由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，所以B不正确．
故选：B．
点评：
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．
5．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（　　）
A．
±1
B．0
C．1
D．
﹣1
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．
专题：
计算题．
分析：
根据二次函数图象上点的坐标特征得到﹣m2+1=0，解得m1=1，m2=﹣1，然后根据二次函数的定义确定m的值．
解答：
解：把（0，0）代入y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1得﹣m2+1=0，解得m1=1，m2=﹣1，
而m﹣1≠0，
所以m=﹣1．
故选D．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．
6．已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（　　）
A．
﹣1
B．1
C．±1
D．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
专题：
计算题．
分析：
根据二次函数图象上点的坐标特征，把点（﹣2，4）代入y=ax2中得到a的方程，然后解方程即可．
解答：
解：∵点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴a （﹣2）2=4，
∴a=1．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（　　）
A．
y=（x+1）2+1
B．y=（x+1）2﹣1
C．y=（x﹣1）2+1
D．
y=（x﹣1）2﹣1
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
先得到抛物线y=x2的顶点坐标
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解答：
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，﹣1），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x﹣1）2﹣1．
故选：D．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A．
y=（x+1）2
B．y=（x﹣3）2
C．y=（x﹣1）2+2
D．
y=（x﹣1）2﹣2
考点：
二次函数图象与几何变换．
专题：
几何变换．
分析：
先根据二次函数的性质得到抛
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解答：
解：抛物线y=（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．
故选A．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
二．填空题（共6小题）
9．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是　（3，﹣3）　．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
分析：
根据二次函数的对称性求解即可．
解答：
解：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性．
10．如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m=　﹣1　．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．
分析：
把原点坐标代入函数解析式求解即可得到m的值，再根据二次项系数不等于0求出m≠1．
解答：
解：∵二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1=0，
解得m=±1，
∵函数为二次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
所以，m=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0．
11．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a　＜　b．（填“＞”“＜”或“=”）．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
分析：
根据二次函数图象上点的坐标特征计算出自变量为﹣2和﹣3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
解答：
解：∵点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象，
∴a=x2+2x+m=4﹣4+m=4，b=x2+2x+m=9﹣6+m=3+m，
∴a＜b．
故答案为＜．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是　﹣5或3　．
考点：
二次函数图象上点的坐标特征．
分析：
把函数值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可．
解答：
解：y=8时，x2+2x﹣7=8，
整理得，x2+2x﹣15=0，
解得x1=﹣5，x2=3，
所以，对应的自变量x的值是﹣5或3．
故答案为：﹣5或3．
点评：
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键．
13．抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为　y=（x+2）2+2　．
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，2），则平移后顶点坐标为（﹣2，2），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．
解答：
解：∵y=x2+2顶点坐标为（0，2），
∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，2），
∴所得新抛物线的表达式为y=（x+2）2+2．
故答案为：y=（x+2）2+2．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．
14．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为　y=3（x﹣2）2+2　．
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
解答：
解：∵原抛物线解析式为y=3x2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），
∴平移后的抛物线的表达式为：y=3（x﹣2）2+2．
故答案为：y=3（x﹣2）2+2．
点评：
本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
三．解答题（共8小题）
15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
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考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
（1）把点A代入平移后的抛物线y=a（x﹣3）2﹣1来求a的值；
（2）根据平移前、后的函数解析式，然后求出B、P、M三点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△BPM的面积．
解答：
解：（1）把点A（2，1）代入y=a（x﹣3）2﹣1，得
1=a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1=a﹣1，
解得
a=2．
则平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y=2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x=0，则y=1．
故B（0，1），
∴BM=
∴S△BPM=BM yP=××1=．
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点评：
本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
16．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点坐标．
考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析：
（1）把原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点分别代入函数解析式，求得a、b、c的数值得出函数解析式即可；
（2）把函数解析式化为顶点式，得出顶点坐标即可．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣2x2﹣3x．
（2）y=﹣2x2﹣3x
=y=﹣2（x+）2+，
抛物线的顶点坐标为（﹣，）．
点评：
此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标．
17．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
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考点：
待定系数法求二次函数解析式．
分析：
（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；
（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式．
解答：
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴OC=AB=5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：
a=﹣，b=；
所以这个二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+5．
点评：
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识．
18．已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式．
考点：
待定系数法求二次函数解析式．
分析：
根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再把（0，1），代入求解即可．
解答：
解：∵抛物线的顶点坐标是（8，9），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2+9，
把（0，1），代入得1=64a+9，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣8）2+9．
点评：
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．
19．已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
考点：
待定系数法求二次函数解析式．
分析：
（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可．
解答：
解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC=×1×6=3．
点评：
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．
20．如图，已知二次函数的图象与x
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考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．
专题：
计算题．
分析：
根据二次函数的对称轴为直线x=2，设
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解答：
解：设二次函数解析式为y=a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为y=2（x﹣2）2﹣2=2x2﹣8x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（2，﹣2）．
点评：
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．
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考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）利用顶点坐标公式表示
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解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣，）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD===2．
点评：
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
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考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．
专题：
压轴题．
分析：
（1）由于抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，
∴，
解之得：a=﹣1，b=3，
∴y=﹣x2+3x+4；
（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得
m+1=﹣m2+3m+4，
∴m=3或m=﹣1，
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1或x=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
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点评：
此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标