天津市第九十八中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·天津月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，因为集合，所以．
故答案为：D.
【分析】解不等式先求集合A，再利用集合并集定义直接求解即可.
2．（2025高一上·天津月考）命题“，”的否定是（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可.
3．（2025高一上·天津月考）函数的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，对称轴为直线，且函数在上单调递减，则当时，.
故答案为：A.
【分析】先化函数为顶点式，再根据函数的单调性求最小值即可.
4．（2025高一上·天津月考）下列命题中真命题是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．不等式的解集为
D．若函数的定义域为[0，3]，则函数的定义域为[0，1]
【答案】D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
B、当时，恒成立；当时， 要使不等式恒成立，
则，解得，综上，的取值范围是，故B错误；
C、不等式，即，解得或，则不等式的解集为或，故C错误；
D、若函数的定义域为，则，解得，即的定义域为 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，结合同一函数的概念即可判断A；分和讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可判断B；根据一元二次不等式的解法求解即可判断C；根据抽象函数的定义域求法求解即可判断D.
5．（2025高一上·天津月考）已知满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递减，
由函数在上是减函数，
可得，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数在上单调递减，根据分段函数单调性，结合二次函数以及一次函数的单调性和分界点处函数值的大小关系列式求解即可得实数a的取值范围.
6．（2025高一上·天津月考）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
，
因为，，所以，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】 由题意可得：函数的单调性 ，利用函数的奇偶性以及对数运算化a为，再利用对数函数及指数函数的单调性判断大小即可.
7．（2025高一上·天津月考）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，当时，，故A不符合；
B、，故B不符合；
C、，当且仅当，即时等号成立，故C符合；
D、令，易知在上单调递增，
则，当且仅当时等号成立，故D不符合．
故答案为：C．
【分析】由时，即可判断A；利用配方法，可得即可判断B；利用基本不等式求解即可判断C；利用换元法，令，则，结合对勾函数的图象与性质求解即可判断D．
8．（2025高一上·天津月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：依题意，是偶函数，且在区间单调递减，
由得，
所以，所以或，所以或，
所以的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】结合函数的奇偶性、单调性，及对数运算来求解.用偶函数性质将转化为，结合单调性将函数不等式转化为对数不等式，解对数不等式得到的取值范围.
9．（2025高一上·天津月考）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意可知：在上单调递增，且，
不等式，则或，
当时，或，由，解得或，
则，解得；
当时，或，由，解得，
则，解得或，
综上可知，不等式的解集为.
故答案为：C．
【分析】由题意可得在上单调递增，且，将分式不等式转化为或，结合函数的单调性解不等式即可．
10．（2025高一上·天津月考）若，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 若，且，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据“1”的灵活运用，结合基本不等式运算求解.
11．（2025高一上·天津月考）请将，，，三个数，由大到小排列，得 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，，，则.
故答案为：.
【分析】先根据指数幂及对数的运算分别求得的值，比较大小即可.
12．（2025高一上·天津月考）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，
则，即，
整理可得，则，解得.
故答案为：.
【分析】由题意可得，代入结合指数幂、对数的运算化简求值即可.
13．（2025高一上·天津月考）已知函数则的解集为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
由图可知：的图象关于直线对称，且在上单调递减，
令，则为偶函数，且在上单调递减，
则，
，解得，
即的解集为．
故答案为：.
【分析】作出函数的图象，由图可知函数的对称轴和单调性，令，结合图象利用在上单调递减、为偶函数可得，解不等式即可得解集．
14．（2025高一上·天津月考）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：）
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比，
提升后分别为，信道带宽，信噪比，
由题意可得，，
易知，
则，
故C大约增加了.
故答案为：.
【分析】设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比，提升后分别为，信道带宽，信噪比，由题意表示和，根据， 利用对数运算性质化简求值即可.
15．（2025高一上·天津月考）函数，对任意的时，都有，则 ，函数的最小值是 .
【答案】－1；－36
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，可得，
易知的两个零点为，，
因为，所以，也是的两个零点，
则，即，整理可得；
因为，所以，
令，则或，即，
对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值.
故答案为：.
【分析】易知，是的两个零点，由，可得，也是的两个零点，由求得；再由，函数化为，令，通过换元，将函数转化为二次函数的最值问题求解即可.
16．（2025高一上·天津月考）已知二次函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】解：易知二次函数的图象开口向上，对称轴为，
因为函数在区间上单调递减，所以，解得，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【分析】易知二次函数的图象开口向上，求函数的对称轴，由题意可得，求解即可得实数的取值范围.
17．（2025高一上·天津月考）已知，.
（1）若“，使得”为真命题，求的取值范围；
（2）是否存在实数使“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：若“，使得”为真命题，则，
即或，即或，解得，
故的取值范围为；
（2）解：假设存在实数使“”是“”的必要不充分条件，即集合是的真子集，
则，且等号不同时成立，解得，
故存在实数使“”是“”的必要不充分条件，且.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）由题意可得，据此列式求参数的取值范围即可；
（2）问题转化为是的真子集，根据集合的包含关系列式求参数的取值范围即可.
（1）“，使得”为真命题，即.
所以或，
所以或，
所以.
故的取值范围为.
（2）存在实数使“”是“”的必要不充分条件，
转化为是的真子集，
由且等号不同时成立.
故存在实数使“”是“”的必要不充分条件，且.
18．（2025高一上·天津月考）设集合，集合，集合．
（1）求；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）解：，且，
当，不等式等价于，解得或；
当，不等式等价于，无解，
则集合，，
由，可得，解得，即集合，
故；
（2）解：当时，，
因为，所以，所以，
令，，
因为在上单调递增，所以，
则函数的值域为.
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）分和讨论，解不等式求得集合A，再根据集合补集运算求，解绝对值不等式求得集合B，最后根据集合的交集运算求解即可；
（2）当时，，先求其值域，再根据对数函数的单调性求解即可.
（1）因为，且，
当，原不等式等价于，解得或，
当，原不等式等价于，无解，
所以，，
因为，所以，即，
所以，
所以.
（2）当时，，
因为，所以，所以，
所以，令，
又在上单调递增，
所以，
所以函数的值域为.
1 / 1天津市第九十八中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·天津月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．R
2．（2025高一上·天津月考）命题“，”的否定是（ ）
A．“，” B．“，”
C．“，” D．“，”
3．（2025高一上·天津月考）函数的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4．（2025高一上·天津月考）下列命题中真命题是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．不等式的解集为
D．若函数的定义域为[0，3]，则函数的定义域为[0，1]
5．（2025高一上·天津月考）已知满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·天津月考）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·天津月考）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·天津月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·天津月考）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025高一上·天津月考）若，且，则的最小值为 ．
11．（2025高一上·天津月考）请将，，，三个数，由大到小排列，得 .
12．（2025高一上·天津月考）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .
13．（2025高一上·天津月考）已知函数则的解集为 ．
14．（2025高一上·天津月考）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：）
15．（2025高一上·天津月考）函数，对任意的时，都有，则 ，函数的最小值是 .
16．（2025高一上·天津月考）已知二次函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
17．（2025高一上·天津月考）已知，.
（1）若“，使得”为真命题，求的取值范围；
（2）是否存在实数使“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
18．（2025高一上·天津月考）设集合，集合，集合．
（1）求；
（2）当时，求函数的值域．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，因为集合，所以．
故答案为：D.
【分析】解不等式先求集合A，再利用集合并集定义直接求解即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，对称轴为直线，且函数在上单调递减，则当时，.
故答案为：A.
【分析】先化函数为顶点式，再根据函数的单调性求最小值即可.
4．【答案】D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
B、当时，恒成立；当时， 要使不等式恒成立，
则，解得，综上，的取值范围是，故B错误；
C、不等式，即，解得或，则不等式的解集为或，故C错误；
D、若函数的定义域为，则，解得，即的定义域为 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，结合同一函数的概念即可判断A；分和讨论，结合一元二次不等式恒成立求解即可判断B；根据一元二次不等式的解法求解即可判断C；根据抽象函数的定义域求法求解即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递减，
由函数在上是减函数，
可得，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】由题意可得函数在上单调递减，根据分段函数单调性，结合二次函数以及一次函数的单调性和分界点处函数值的大小关系列式求解即可得实数a的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
，
因为，，所以，
所以，
则.
故答案为：C.
【分析】 由题意可得：函数的单调性 ，利用函数的奇偶性以及对数运算化a为，再利用对数函数及指数函数的单调性判断大小即可.
7．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，当时，，故A不符合；
B、，故B不符合；
C、，当且仅当，即时等号成立，故C符合；
D、令，易知在上单调递增，
则，当且仅当时等号成立，故D不符合．
故答案为：C．
【分析】由时，即可判断A；利用配方法，可得即可判断B；利用基本不等式求解即可判断C；利用换元法，令，则，结合对勾函数的图象与性质求解即可判断D．
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：依题意，是偶函数，且在区间单调递减，
由得，
所以，所以或，所以或，
所以的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】结合函数的奇偶性、单调性，及对数运算来求解.用偶函数性质将转化为，结合单调性将函数不等式转化为对数不等式，解对数不等式得到的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意可知：在上单调递增，且，
不等式，则或，
当时，或，由，解得或，
则，解得；
当时，或，由，解得，
则，解得或，
综上可知，不等式的解集为.
故答案为：C．
【分析】由题意可得在上单调递增，且，将分式不等式转化为或，结合函数的单调性解不等式即可．
10．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： 若，且，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据“1”的灵活运用，结合基本不等式运算求解.
11．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，，，则.
故答案为：.
【分析】先根据指数幂及对数的运算分别求得的值，比较大小即可.
12．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为函数的图象关于直线对称，所以，
则，即，
整理可得，则，解得.
故答案为：.
【分析】由题意可得，代入结合指数幂、对数的运算化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
由图可知：的图象关于直线对称，且在上单调递减，
令，则为偶函数，且在上单调递减，
则，
，解得，
即的解集为．
故答案为：.
【分析】作出函数的图象，由图可知函数的对称轴和单调性，令，结合图象利用在上单调递减、为偶函数可得，解不等式即可得解集．
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比，
提升后分别为，信道带宽，信噪比，
由题意可得，，
易知，
则，
故C大约增加了.
故答案为：.
【分析】设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比，提升后分别为，信道带宽，信噪比，由题意表示和，根据， 利用对数运算性质化简求值即可.
15．【答案】－1；－36
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，可得，
易知的两个零点为，，
因为，所以，也是的两个零点，
则，即，整理可得；
因为，所以，
令，则或，即，
对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值.
故答案为：.
【分析】易知，是的两个零点，由，可得，也是的两个零点，由求得；再由，函数化为，令，通过换元，将函数转化为二次函数的最值问题求解即可.
16．【答案】解：易知二次函数的图象开口向上，对称轴为，
因为函数在区间上单调递减，所以，解得，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【分析】易知二次函数的图象开口向上，求函数的对称轴，由题意可得，求解即可得实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：若“，使得”为真命题，则，
即或，即或，解得，
故的取值范围为；
（2）解：假设存在实数使“”是“”的必要不充分条件，即集合是的真子集，
则，且等号不同时成立，解得，
故存在实数使“”是“”的必要不充分条件，且.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）由题意可得，据此列式求参数的取值范围即可；
（2）问题转化为是的真子集，根据集合的包含关系列式求参数的取值范围即可.
（1）“，使得”为真命题，即.
所以或，
所以或，
所以.
故的取值范围为.
（2）存在实数使“”是“”的必要不充分条件，
转化为是的真子集，
由且等号不同时成立.
故存在实数使“”是“”的必要不充分条件，且.
18．【答案】（1）解：，且，
当，不等式等价于，解得或；
当，不等式等价于，无解，
则集合，，
由，可得，解得，即集合，
故；
（2）解：当时，，
因为，所以，所以，
令，，
因为在上单调递增，所以，
则函数的值域为.
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）分和讨论，解不等式求得集合A，再根据集合补集运算求，解绝对值不等式求得集合B，最后根据集合的交集运算求解即可；
（2）当时，，先求其值域，再根据对数函数的单调性求解即可.
（1）因为，且，
当，原不等式等价于，解得或，
当，原不等式等价于，无解，
所以，，
因为，所以，即，
所以，
所以.
（2）当时，，
因为，所以，所以，
所以，令，
又在上单调递增，
所以，
所以函数的值域为.
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