广东省深圳实验学校卓越高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·深圳月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·深圳月考）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·深圳月考）已知，，则p是q的（ ）条件
A．既不充分又不必要 B．充要
C．必要不充分 D．充分不必要
4．（2025高一上·深圳月考）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·深圳月考）设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·深圳月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·深圳月考）已知，在满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·深圳月考）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·深圳月考）已知，，且，则（ ）．
A．ab的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为9 D．的最小值为
10．（2025高一上·深圳月考）下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一函数
B．函数的值域为
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
11．（2025高一上·深圳月考）设函数 ，则（ ）
A．直线是函数的对称轴
B．若函数在上单调递减，则
C．对，不等式总成立
D．当时，
12．（2025高一上·深圳月考）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 ．
13．（2025高一上·深圳月考）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
14．（2025高一上·深圳月考）设奇函数在（0，）是增函数，且，则不等式的解集为
15．（2025高一上·深圳月考）求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）若，求的值．
16．（2025高一上·深圳月考）已知函数．
（1）求函数的定义域：
（2）解不等式．
17．（2025高一上·深圳月考）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）若，求a的取值范围．
18．（2025高一上·深圳月考）已知函数是上的奇函数，函数．
（1）求实数k的值；
（2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
19．（2025高一上·深圳月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．
（2）根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据交集的定义：两个集合的交集是同时属于这两个集合的元素组成的集合，先明确集合A的范围，再筛选出集合B中属于A的元素。
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可.
3．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，得，得，
则，但不能推导出，则p是q的充分不必要条件，
故答案为：D
【分析】先解分式不等式得到q的范围，再通过“小范围推大范围”的逻辑，判断p与q的条件关系。
4．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，在上单调递减，A错误；
B，的定义域是，图象不关于原点对称，B错误；
C，是偶函数，图象关于轴对称，C错误；
D，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，D正确.
故答案为：D
【分析】根据幂函数的对称性（关于原点对称→奇函数）和单调性（( ∞，0)上增），逐一分析选项。
5．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 ，所以f（1）= =﹣1＜0，f（2）= =2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．
故答案为：B．
【分析】由已知利用函数零点的判定定理，得到f（1）＜0，f（2）＞0，即可判断函数f（x）的零点所在的区间.
6．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，所以.
故答案为：A.
【分析】分别分析指数式a、b和对数式c的取值范围（利用指数函数、对数函数的单调性），再比较三者大小。
7．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为，故为上的减函数，
故，故，
故答案为：B.
【分析】由可知是上的减函数，需满足：1. 分段函数的两段各自递减；2. 左段在处的函数值不小于右段在处的函数值。
8．【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：若，则，
而当时，当时，所以无解；
若，则或，
其中有一根为，则由题意知无解，
而当时，当时，所以的值域为，
从而，解得，所以.
综上，的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是处理复合方程 f(f(x))= ，关键在于分情况讨论参数k的正负，结合函数f(x) 的分段定义和值域，来确定方程解的个数。
9．【答案】A,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】解：，，且，
A、，则，即，当且仅当时成立，故A正确；
B、由不等式链，可得，则的最小值为，故B错误；
C、，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
D、，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式链求解即可判断B；利用基本不等式，“1”的妙用求解即可判断C；利用基本不等式，结合指数运算求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：A，函数的定义域要求且，即；函数的定义域要求，即，两者定义域不同，故不表示同一函数，A错误；
B，设，则，代入函数得：，这是开口向下的二次函数，
对称轴为，最大值为：，当时，，故值域为，B正确；
C，设，则，，代入得：，
故，C正确；
D，因为函数的定义域为，所以需满足且，
解得且，即，定义域为，D错误.
故答案为：BC
【分析】分别从函数三要素（定义域、对应关系、值域）、换元法求值域 / 解析式、抽象函数定义域的角度，逐一分析选项。
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，如图所示：
A、由图可知：不是的对称轴，故A错误；
B、由图可知：当时，函数在上单调递减，故B正确；
C、，
，则总成立，故C正确；
D、当时，，，关于直线对称，
则，即成立，当时，，成立，
当时，，，，成立.
综上所述，当时，，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】分情况去绝对值化函数为分段函数，根据解析式作出函数图象，根据图象即可判断AB；，利用作差法，即可判断C；分和讨论，证明，即可判断D.
12．【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，得，则，于是恒过点.
故答案为：
【分析】指数函数（）恒过定点，因此令指数部分为，求出对应的和，即可得到函数图象恒过的定点。
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；二次函数模型
【解析】【解答】解：由，得或，
即函数的定义域为，
令，则，
因为函数为定义域上的单调增函数，
在上递增，
函数单调增区间为，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
故答案为：
【分析】复合函数的单调性遵循 “同增异减”：先确定外层函数（对数函数）的单调性，再分析内层函数（二次函数）的单调区间，同时结合函数的定义域，确定(a，+∞)是单调增区间的子集。
14．【答案】或
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：奇函数在为增函数，且（1），
可得，且，在为增函数，
则不等式，
即为，
可得，（1），解得；
或，，解得．
综上可得所求解集为，，．
故答案为：或.
【分析】先利用奇函数性质化简不等式，再结合函数的单调性与特殊点，分区间讨论x的符号，求解不等式。
15．【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：因为，
所以，即，
所以，
即.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】(1) 利用指数幂的运算法则（分数指数、负指数、零指数）逐步计算；
(2) 用对数的运算性质（完全平方、换底公式）化简求值；
(3) 对已知式平方，逐步推导。
（1）
.
（2）
.
（3）因为，
所以，即，
所以，
即.
16．【答案】（1）解：由题意有：，
所以的定义域为；
（2）解：由，
所以，
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 对数函数的真数需大于 0，据此列不等式求定义域；
(2) 利用对数函数的单调性，将对数不等式转化为真数的不等式求解。
（1）由题意有：，
所以的定义域为；
（2）由，
所以，
所以原不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：函数为奇函数；
证明：，定义域为，
，
是奇函数．
（2）解：函数在上单调递增．
证明：设任意，且，
，
，函数单调递增，，故，
，，
，即，
在上单调递增．
（3）解：是奇函数，
，原不等式化为，即，
在内单调递增，，即，解得，
的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1) 先化简函数，再根据奇函数定义（）验证；
(2) 用单调性定义，任取两自变量作差，判断差的符号得单调性；
(3) 利用奇偶性化不等式为，结合单调性列不等式求解。
（1）函数为奇函数；
证明：，定义域为，
，
是奇函数．
（2）函数在上单调递增．
证明：设任意，且，
，
，函数单调递增，，故，
，，
，即，
在上单调递增．
（3）是奇函数，
，原不等式化为，即，
在内单调递增，，即，解得，
的取值范围为．
18．【答案】（1）解：函数是上的奇函数，
，即，整理得，
对任意成立，，解得．
（2）解：，在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上的值域为，
令，则，函数开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，最小值为；
当时，在对称轴处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递减，最小值为；
．
（3）解：若对任意的，恒成立，即对恒成立；
当时，，成立；
当时，，解得，又，；
当时，，解得，与矛盾，舍去；
的取值范围是．
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1) 由奇函数定义列方程，结合求；
(2) 先求在的值域，换元后将化为二次函数，分区间讨论最小值；
(3) 结合(2)中，分情况解不等式得的范围。
（1）函数是上的奇函数，
，即，整理得，
对任意成立，，解得．
（2），在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上的值域为，
令，则，函数开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，最小值为；
当时，在对称轴处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递减，最小值为；
．
（3）若对任意的，恒成立，即对恒成立；
当时，，成立；
当时，，解得，又，；
当时，，解得，与矛盾，舍去；
的取值范围是．
19．【答案】（1）解：由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
（2）解：（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
【知识点】指数式与对数式的互化；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】(1) 由水温递减且减速变慢，选指数型模型②；代入前 3 组数据列方程求参数，得解析式；
(2) (i) 利用指数函数性质，水温稳定时的极限为室温；(ii) 令解析式等于 60，解指数方程得时间。
（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
（2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
1 / 1广东省深圳实验学校卓越高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·深圳月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据交集的定义：两个集合的交集是同时属于这两个集合的元素组成的集合，先明确集合A的范围，再筛选出集合B中属于A的元素。
2．（2025高一上·深圳月考）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定为.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可.
3．（2025高一上·深圳月考）已知，，则p是q的（ ）条件
A．既不充分又不必要 B．充要
C．必要不充分 D．充分不必要
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，得，得，
则，但不能推导出，则p是q的充分不必要条件，
故答案为：D
【分析】先解分式不等式得到q的范围，再通过“小范围推大范围”的逻辑，判断p与q的条件关系。
4．（2025高一上·深圳月考）幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，在上单调递减，A错误；
B，的定义域是，图象不关于原点对称，B错误；
C，是偶函数，图象关于轴对称，C错误；
D，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，D正确.
故答案为：D
【分析】根据幂函数的对称性（关于原点对称→奇函数）和单调性（( ∞，0)上增），逐一分析选项。
5．（2025高一上·深圳月考）设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 ，所以f（1）= =﹣1＜0，f（2）= =2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．
故答案为：B．
【分析】由已知利用函数零点的判定定理，得到f（1）＜0，f（2）＞0，即可判断函数f（x）的零点所在的区间.
6．（2025高一上·深圳月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，所以.
故答案为：A.
【分析】分别分析指数式a、b和对数式c的取值范围（利用指数函数、对数函数的单调性），再比较三者大小。
7．（2025高一上·深圳月考）已知，在满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为，故为上的减函数，
故，故，
故答案为：B.
【分析】由可知是上的减函数，需满足：1. 分段函数的两段各自递减；2. 左段在处的函数值不小于右段在处的函数值。
8．（2025高一上·深圳月考）已知函数，若方程有且仅有一根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：若，则，
而当时，当时，所以无解；
若，则或，
其中有一根为，则由题意知无解，
而当时，当时，所以的值域为，
从而，解得，所以.
综上，的取值范围是，
故答案为：A.
【分析】这道题的核心是处理复合方程 f(f(x))= ，关键在于分情况讨论参数k的正负，结合函数f(x) 的分段定义和值域，来确定方程解的个数。
9．（2025高一上·深圳月考）已知，，且，则（ ）．
A．ab的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为9 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】解：，，且，
A、，则，即，当且仅当时成立，故A正确；
B、由不等式链，可得，则的最小值为，故B错误；
C、，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
D、，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式链求解即可判断B；利用基本不等式，“1”的妙用求解即可判断C；利用基本不等式，结合指数运算求解即可判断D.
10．（2025高一上·深圳月考）下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一函数
B．函数的值域为
C．若函数，则
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：A，函数的定义域要求且，即；函数的定义域要求，即，两者定义域不同，故不表示同一函数，A错误；
B，设，则，代入函数得：，这是开口向下的二次函数，
对称轴为，最大值为：，当时，，故值域为，B正确；
C，设，则，，代入得：，
故，C正确；
D，因为函数的定义域为，所以需满足且，
解得且，即，定义域为，D错误.
故答案为：BC
【分析】分别从函数三要素（定义域、对应关系、值域）、换元法求值域 / 解析式、抽象函数定义域的角度，逐一分析选项。
11．（2025高一上·深圳月考）设函数 ，则（ ）
A．直线是函数的对称轴
B．若函数在上单调递减，则
C．对，不等式总成立
D．当时，
【答案】B,C,D
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，如图所示：
A、由图可知：不是的对称轴，故A错误；
B、由图可知：当时，函数在上单调递减，故B正确；
C、，
，则总成立，故C正确；
D、当时，，，关于直线对称，
则，即成立，当时，，成立，
当时，，，，成立.
综上所述，当时，，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】分情况去绝对值化函数为分段函数，根据解析式作出函数图象，根据图象即可判断AB；，利用作差法，即可判断C；分和讨论，证明，即可判断D.
12．（2025高一上·深圳月考）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，得，则，于是恒过点.
故答案为：
【分析】指数函数（）恒过定点，因此令指数部分为，求出对应的和，即可得到函数图象恒过的定点。
13．（2025高一上·深圳月考）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性；二次函数模型
【解析】【解答】解：由，得或，
即函数的定义域为，
令，则，
因为函数为定义域上的单调增函数，
在上递增，
函数单调增区间为，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
故答案为：
【分析】复合函数的单调性遵循 “同增异减”：先确定外层函数（对数函数）的单调性，再分析内层函数（二次函数）的单调区间，同时结合函数的定义域，确定(a，+∞)是单调增区间的子集。
14．（2025高一上·深圳月考）设奇函数在（0，）是增函数，且，则不等式的解集为
【答案】或
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：奇函数在为增函数，且（1），
可得，且，在为增函数，
则不等式，
即为，
可得，（1），解得；
或，，解得．
综上可得所求解集为，，．
故答案为：或.
【分析】先利用奇函数性质化简不等式，再结合函数的单调性与特殊点，分区间讨论x的符号，求解不等式。
15．（2025高一上·深圳月考）求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：因为，
所以，即，
所以，
即.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】(1) 利用指数幂的运算法则（分数指数、负指数、零指数）逐步计算；
(2) 用对数的运算性质（完全平方、换底公式）化简求值；
(3) 对已知式平方，逐步推导。
（1）
.
（2）
.
（3）因为，
所以，即，
所以，
即.
16．（2025高一上·深圳月考）已知函数．
（1）求函数的定义域：
（2）解不等式．
【答案】（1）解：由题意有：，
所以的定义域为；
（2）解：由，
所以，
所以原不等式的解集为.
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1) 对数函数的真数需大于 0，据此列不等式求定义域；
(2) 利用对数函数的单调性，将对数不等式转化为真数的不等式求解。
（1）由题意有：，
所以的定义域为；
（2）由，
所以，
所以原不等式的解集为.
17．（2025高一上·深圳月考）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：函数为奇函数；
证明：，定义域为，
，
是奇函数．
（2）解：函数在上单调递增．
证明：设任意，且，
，
，函数单调递增，，故，
，，
，即，
在上单调递增．
（3）解：是奇函数，
，原不等式化为，即，
在内单调递增，，即，解得，
的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1) 先化简函数，再根据奇函数定义（）验证；
(2) 用单调性定义，任取两自变量作差，判断差的符号得单调性；
(3) 利用奇偶性化不等式为，结合单调性列不等式求解。
（1）函数为奇函数；
证明：，定义域为，
，
是奇函数．
（2）函数在上单调递增．
证明：设任意，且，
，
，函数单调递增，，故，
，，
，即，
在上单调递增．
（3）是奇函数，
，原不等式化为，即，
在内单调递增，，即，解得，
的取值范围为．
18．（2025高一上·深圳月考）已知函数是上的奇函数，函数．
（1）求实数k的值；
（2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：函数是上的奇函数，
，即，整理得，
对任意成立，，解得．
（2）解：，在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上的值域为，
令，则，函数开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，最小值为；
当时，在对称轴处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递减，最小值为；
．
（3）解：若对任意的，恒成立，即对恒成立；
当时，，成立；
当时，，解得，又，；
当时，，解得，与矛盾，舍去；
的取值范围是．
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1) 由奇函数定义列方程，结合求；
(2) 先求在的值域，换元后将化为二次函数，分区间讨论最小值；
(3) 结合(2)中，分情况解不等式得的范围。
（1）函数是上的奇函数，
，即，整理得，
对任意成立，，解得．
（2），在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
，
在上的值域为，
令，则，函数开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，最小值为；
当时，在对称轴处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递减，最小值为；
．
（3）若对任意的，恒成立，即对恒成立；
当时，，成立；
当时，，解得，又，；
当时，，解得，与矛盾，舍去；
的取值范围是．
19．（2025高一上·深圳月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式．
（2）根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．
（参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7）
【答案】（1）解：由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
（2）解：（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
【知识点】指数式与对数式的互化；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】(1) 由水温递减且减速变慢，选指数型模型②；代入前 3 组数据列方程求参数，得解析式；
(2) (i) 利用指数函数性质，水温稳定时的极限为室温；(ii) 令解析式等于 60，解指数方程得时间。
（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
（2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
1 / 1
