广东省江门市棠下中学2025-2026学年高二上学期12月阶段考试数学试题
1．（2025高二上·江门月考）直线l：的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设直线倾斜角为，
又直线l：，即，
所以，则．
故答案为：D．
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系，，得，可解．
2．（2025高二上·江门月考）直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：直线化为斜截式，易知直线的斜率为，
则直线的一个方向向量为.
故答案为：C.
【分析】化直线的一般式为斜截式，求得直线的斜率，即可得直线的方向向量.
3．（2025高二上·江门月考）若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，则，
其渐近线方程为，
依题意，解得．
故答案为：A．
【分析】由双曲线方程得渐近线方程 为 ，可得关于的方程，得解．
4．（2025高二上·江门月考）已知点，则点A到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意得，，
则与同方向的单位向量为，又，
于是，点A到直线的距离是：.
故答案为：B.
【分析】先求出直线方向向量的单位向量，再利用点到直线距离的向量公式，结合向量的模长与数量积计算距离。
5．（2025高二上·江门月考）直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：方法1：点O到直线的距离，
又，所以.
方法2：根据图象可知，所以.
故答案为：D.
【分析】方法1：先求点O到直线的距离，代入点到直线距离公式求得，再代入弦长公式求得，代入面积公式可解；
方法2：根据图像观察或者联立直线方程和圆的方程可解交点坐标，代入得.
6．（2025高二上·江门月考）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：，可得，
当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意，
当时，即时，，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】联立双曲线与直线的方程，，消元得，讨论该方程是否为一元二次方程， 当时 ，利用列式求解即可.
7．（2025高二上·江门月考）某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ）
A．规则一，规则二 B．规则一，规则三
C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三
【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的；
对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑，
则随机取出个球的所有可能的情况有
（红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种，
其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平；
对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有
（红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种，
其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的.
因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.
故答案为：B.
【分析】先计算规则一：每人发球的概率都是；再计算规则二：一一列出取出个球的所有可能的情况共种，同色的情况有种，可得甲发球的可能性为；同理计算规则三，得两人发球的可能性均为.
8．（2025高二上·江门月考）已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：由，则，
设的平均数为，所以.
所以，
而，
因为互不相等，所以.
故答案为：C.
【分析】代入平均数、方差计算公式计算比较即可.
9．（2025高二上·江门月考）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ）
A．实数的取值范围是
B．若椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则周长为
D．若，则的面积为
【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；解三角形
【解析】【解答】A、因为方程表示椭圆，所以且，该选项错误，不合题意；
B、椭圆的焦点在轴上，则，即，
又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，该选项正确，符合题意；
C、若，则椭圆，焦点在轴上，
所以，，，所以，，
所以周长为，根据椭圆的定义及性质，
可得，，所以周长为，该选项正确，符合题意；
D、若，则椭圆，焦点在轴上，
所以，，，所以，，
根据椭圆的定义及性质，可得，，
又，在中，根据余弦定理可得，
，
即，
所以，
解得，与矛盾，
所以不存在，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC
【分析】根据椭圆标准方程的要求，且，即可判断A；椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义及得，即可判断B；先求出椭圆方程，，再结合椭圆的定义和性质，得周长为8，即可判断C；先求出椭圆方程，，由基本不等式得，结合椭圆的定义和余弦定理，得，即可判断D.
10．（2025高二上·江门月考）设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C．点到轴的距离为 D．四边形的面积为15
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：A、由题意，，如图，过向作垂线，垂足为，，，
因为，则，得，该选项错误，不合题意；
B、由，得，且，
又，
，，所以双曲线的离心率，该选项正确，符合题意；
C、的面积，
，则点到轴的距离为，该选项正确，符合题意；
D、的面积，则四边形的面积为，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】过向作垂线，垂足为，易知、、，可求出，得a=2，可判断A ；，可得，，代入离心率公式可判断B；由等面积法可得，可判断C；的面积，则四边形的面积为，可判断D.
11．（2025高二上·江门月考）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当点为棱的中点时，直线与直线平行
C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
【答案】A,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，
∴，，，，，，，
因分别为的中点，则，，则，，
设与所成的角为，则，该选项正确，符合题意；
B、，，则，，故不存在实数使得，该选项错误，不合题意；
C、∵，∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧，
球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，
故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，该选项错误，不合题意；
D、易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，
∴球心到直线的距离，
∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，
圆的半径，∴此时截面面积，该选项正确，符合题意.
故答案为：AD.
【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用异面直线所成角公式可判断A选项；写出点坐标， 则，，故不存在实数使得 得直线与直线不平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹， 球心到平面的距离为，可得圆弧的半径， 动轨迹圆弧，其长度为， 判断C选项； 易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，得球心到直线的距离， 此时截面为面积最小的圆， 判断D选项.
12．（2025高二上·江门月考）已知椭圆的焦距为6，则k的值为 .
【答案】11或29
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由已知，得，
当焦点在轴上时，，解得，
当焦点在轴上时，或，解得，
综上，11或29.
故答案为：11或29.
【分析】焦点在轴上进行讨论，当焦点在轴上时，，解得，当焦点在轴上时，或，解得.
13．（2025高二上·江门月考）有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则为 .
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为该组数据共6个，且，
所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6，
则，解得．
故答案为：．
【分析】根据百分位数的定义先求出，取从小到大第3个数，代入平均数公式可.
14．（2025高二上·江门月考）18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为，
圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径，
因圆与圆有且仅有一个公共点，
则或，
即或（无解），得，
故的值为.
故答案为：
【分析】先求出椭圆的蒙日圆方程，写出两个圆的圆心与半径，再根据圆与圆的位置关系即或（无解），可得m.
15．（2025高二上·江门月考）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点；
（2）渐近线方程为，且经过点.
【答案】（1）解：设所求双曲线方程为.
，，，
所以，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）解：由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为.
因为在双曲线上，即，
所以双曲线的标准方程为
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式并结合a，b，c关系得，将点M代入可得方程组解得.
（2）由渐近线方程可设方程为，再将定点代入得可解.
（1）设所求双曲线方程为.
，，所以，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为.
因为在双曲线上，即，
所以双曲线的标准方程为
16．（2025高二上·江门月考）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
【答案】（1）解：因为圆的圆心，半径，
又因为，
所以直线的斜率，
则直线，即直线，
所以圆心到的距离，
则.
（2）解：因为弦被平分，
所以，
又因为，
所以，
则直线，即直线.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）根据直线的倾斜角和直线的斜率的关系式，再利用点斜式方程和转化的方法，从而得出直线的方程，再根据弦长公式得出的值.
（2）根据弦被平分得出，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线AB的斜率，再利用点斜式方程和转化的方法，从而得出直线的方程.
（1）圆的圆心，半径，
因为，所以直线的斜率，
所以，即，
所以圆心到的距离，
所以；
（2）因为弦被平分，所以，
又因为，所以，
所以，即.
17．（2025高二上·江门月考）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
；
（2）解：为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数，
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为，
所以每天应该进苹果；
（3）解：由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可；
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．（2025高二上·江门月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求面APB与面PBC所成角的正弦值；
（3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.
【答案】（1）证明：因为，，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
所以，则，
且平面平面，平面，平面平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，可得，则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，
设平面的法向量为，，
由，取，
，
又由图可知二面角是钝角，
所以二面角的正弦值为；
（3）解：设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，解得，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，长度符合勾股定理，可得，结合面面垂直的性质定理的平面；
（2）建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解即可.；
（3）设，确定的坐标，代入空间向量线面夹角公式可解.
（1）因为，，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
所以，则，
且平面平面，平面，平面平面，
所以平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，可得，则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，
设平面的法向量为，，
由，取，
，
又由图可知二面角是钝角，
所以二面角的正弦值为；
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，解得，
所以.
19．（2025高二上·江门月考）已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
（3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
【答案】（1）解：由离心率为，可得，即，
将代入椭圆方程，可得，
则椭圆方程为；
（2）解：由题意可得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，则，
，
，
故直线和的斜率之积为定值；
（3）解：设直线的方程为，，
联立，消去整理得，
，则，
由韦达定理可得：，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率可得，再根据点在椭圆上求得，即可得椭圆方程；
（2）由题意可得在椭圆上，设，得，利用斜率公式求得，从而得到， 即可得直线和的斜率之积为定值；
（3）联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用基本不等式求面积的最值和直线的方程．
（1），，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
（2）依题意得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
（3）设直线的方程为，，
由消去，整理得，
，则，
则，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
1 / 1广东省江门市棠下中学2025-2026学年高二上学期12月阶段考试数学试题
1．（2025高二上·江门月考）直线l：的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．120° D．135°
2．（2025高二上·江门月考）直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·江门月考）若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．8 D．16
4．（2025高二上·江门月考）已知点，则点A到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·江门月考）直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2025高二上·江门月考）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·江门月考）某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ）
A．规则一，规则二 B．规则一，规则三
C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三
8．（2025高二上·江门月考）已知互不相等的数据的平均数为，方差为，数据的方差为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
9．（2025高二上·江门月考）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ）
A．实数的取值范围是
B．若椭圆的焦点在轴上，则
C．若，则周长为
D．若，则的面积为
10．（2025高二上·江门月考）设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C．点到轴的距离为 D．四边形的面积为15
11．（2025高二上·江门月考）在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当点为棱的中点时，直线与直线平行
C．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D．过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
12．（2025高二上·江门月考）已知椭圆的焦距为6，则k的值为 .
13．（2025高二上·江门月考）有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则为 .
14．（2025高二上·江门月考）18世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理；椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为
15．（2025高二上·江门月考）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且经过点；
（2）渐近线方程为，且经过点.
16．（2025高二上·江门月考）圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
17．（2025高二上·江门月考）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
18．（2025高二上·江门月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.
（1）求证：平面ABCD；
（2）求面APB与面PBC所成角的正弦值；
（3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.
19．（2025高二上·江门月考）已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
（3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设直线倾斜角为，
又直线l：，即，
所以，则．
故答案为：D．
【分析】由直线倾斜角与斜率的关系，，得，可解．
2．【答案】C
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：直线化为斜截式，易知直线的斜率为，
则直线的一个方向向量为.
故答案为：C.
【分析】化直线的一般式为斜截式，求得直线的斜率，即可得直线的方向向量.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，则，
其渐近线方程为，
依题意，解得．
故答案为：A．
【分析】由双曲线方程得渐近线方程 为 ，可得关于的方程，得解．
4．【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意得，，
则与同方向的单位向量为，又，
于是，点A到直线的距离是：.
故答案为：B.
【分析】先求出直线方向向量的单位向量，再利用点到直线距离的向量公式，结合向量的模长与数量积计算距离。
5．【答案】D
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：方法1：点O到直线的距离，
又，所以.
方法2：根据图象可知，所以.
故答案为：D.
【分析】方法1：先求点O到直线的距离，代入点到直线距离公式求得，再代入弦长公式求得，代入面积公式可解；
方法2：根据图像观察或者联立直线方程和圆的方程可解交点坐标，代入得.
6．【答案】B
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：，可得，
当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意，
当时，即时，，
即，解得.
故答案为：B.
【分析】联立双曲线与直线的方程，，消元得，讨论该方程是否为一元二次方程， 当时 ，利用列式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的；
对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑，
则随机取出个球的所有可能的情况有
（红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种，
其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平；
对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有
（红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种，
其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的.
因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.
故答案为：B.
【分析】先计算规则一：每人发球的概率都是；再计算规则二：一一列出取出个球的所有可能的情况共种，同色的情况有种，可得甲发球的可能性为；同理计算规则三，得两人发球的可能性均为.
8．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：由，则，
设的平均数为，所以.
所以，
而，
因为互不相等，所以.
故答案为：C.
【分析】代入平均数、方差计算公式计算比较即可.
9．【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；解三角形
【解析】【解答】A、因为方程表示椭圆，所以且，该选项错误，不合题意；
B、椭圆的焦点在轴上，则，即，
又为椭圆上的点，根据椭圆定义，可得，该选项正确，符合题意；
C、若，则椭圆，焦点在轴上，
所以，，，所以，，
所以周长为，根据椭圆的定义及性质，
可得，，所以周长为，该选项正确，符合题意；
D、若，则椭圆，焦点在轴上，
所以，，，所以，，
根据椭圆的定义及性质，可得，，
又，在中，根据余弦定理可得，
，
即，
所以，
解得，与矛盾，
所以不存在，该选项错误，不合题意.
故答案为：BC
【分析】根据椭圆标准方程的要求，且，即可判断A；椭圆的焦点在轴上，根据椭圆的定义及得，即可判断B；先求出椭圆方程，，再结合椭圆的定义和性质，得周长为8，即可判断C；先求出椭圆方程，，由基本不等式得，结合椭圆的定义和余弦定理，得，即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：A、由题意，，如图，过向作垂线，垂足为，，，
因为，则，得，该选项错误，不合题意；
B、由，得，且，
又，
，，所以双曲线的离心率，该选项正确，符合题意；
C、的面积，
，则点到轴的距离为，该选项正确，符合题意；
D、的面积，则四边形的面积为，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】过向作垂线，垂足为，易知、、，可求出，得a=2，可判断A ；，可得，，代入离心率公式可判断B；由等面积法可得，可判断C；的面积，则四边形的面积为，可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系，
∴，，，，，，，
因分别为的中点，则，，则，，
设与所成的角为，则，该选项正确，符合题意；
B、，，则，，故不存在实数使得，该选项错误，不合题意；
C、∵，∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧，
球心到平面的距离为，∴圆弧的半径，
故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，该选项错误，不合题意；
D、易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，
∴球心到直线的距离，
∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆，
圆的半径，∴此时截面面积，该选项正确，符合题意.
故答案为：AD.
【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用异面直线所成角公式可判断A选项；写出点坐标， 则，，故不存在实数使得 得直线与直线不平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹， 球心到平面的距离为，可得圆弧的半径， 动轨迹圆弧，其长度为， 判断C选项； 易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量，得球心到直线的距离， 此时截面为面积最小的圆， 判断D选项.
12．【答案】11或29
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由已知，得，
当焦点在轴上时，，解得，
当焦点在轴上时，或，解得，
综上，11或29.
故答案为：11或29.
【分析】焦点在轴上进行讨论，当焦点在轴上时，，解得，当焦点在轴上时，或，解得.
13．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为该组数据共6个，且，
所以这组数据的分位数为从小到大第3个数，即6，
则，解得．
故答案为：．
【分析】根据百分位数的定义先求出，取从小到大第3个数，代入平均数公式可.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由题意可知，椭圆的蒙日圆方程为，
圆的圆心，半径；
圆的圆心，半径，
因圆与圆有且仅有一个公共点，
则或，
即或（无解），得，
故的值为.
故答案为：
【分析】先求出椭圆的蒙日圆方程，写出两个圆的圆心与半径，再根据圆与圆的位置关系即或（无解），可得m.
15．【答案】（1）解：设所求双曲线方程为.
，，，
所以，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）解：由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为.
因为在双曲线上，即，
所以双曲线的标准方程为
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式并结合a，b，c关系得，将点M代入可得方程组解得.
（2）由渐近线方程可设方程为，再将定点代入得可解.
（1）设所求双曲线方程为.
，，所以，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为.
因为在双曲线上，即，
所以双曲线的标准方程为
16．【答案】（1）解：因为圆的圆心，半径，
又因为，
所以直线的斜率，
则直线，即直线，
所以圆心到的距离，
则.
（2）解：因为弦被平分，
所以，
又因为，
所以，
则直线，即直线.
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）根据直线的倾斜角和直线的斜率的关系式，再利用点斜式方程和转化的方法，从而得出直线的方程，再根据弦长公式得出的值.
（2）根据弦被平分得出，再利用两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线AB的斜率，再利用点斜式方程和转化的方法，从而得出直线的方程.
（1）圆的圆心，半径，
因为，所以直线的斜率，
所以，即，
所以圆心到的距离，
所以；
（2）因为弦被平分，所以，
又因为，所以，
所以，即.
17．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得，
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以该苹果日销售量的平均值为：
；
（2）解：为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数，
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为，
所以每天应该进苹果；
（3）解：由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值；
（2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可；
（3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，根据古典概型概率公式求解即可.
（1）由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得．
则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数．
依题意，日销售量不超过的频率为，
则该店苹果日销售量的分位数在，
所以日销售量的分位数为．
所以，每天应该进苹果．
（3）由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，
任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.
18．【答案】（1）证明：因为，，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
所以，则，
且平面平面，平面，平面平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，可得，则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，
设平面的法向量为，，
由，取，
，
又由图可知二面角是钝角，
所以二面角的正弦值为；
（3）解：设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，解得，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，长度符合勾股定理，可得，结合面面垂直的性质定理的平面；
（2）建系，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解即可.；
（3）设，确定的坐标，代入空间向量线面夹角公式可解.
（1）因为，，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
所以，则，
且平面平面，平面，平面平面，
所以平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，可得，则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取，
设平面的法向量为，，
由，取，
，
又由图可知二面角是钝角，
所以二面角的正弦值为；
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，解得，
所以.
19．【答案】（1）解：由离心率为，可得，即，
将代入椭圆方程，可得，
则椭圆方程为；
（2）解：由题意可得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，则，
，
，
故直线和的斜率之积为定值；
（3）解：设直线的方程为，，
联立，消去整理得，
，则，
由韦达定理可得：，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率可得，再根据点在椭圆上求得，即可得椭圆方程；
（2）由题意可得在椭圆上，设，得，利用斜率公式求得，从而得到， 即可得直线和的斜率之积为定值；
（3）联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用基本不等式求面积的最值和直线的方程．
（1），，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
（2）依题意得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
（3）设直线的方程为，，
由消去，整理得，
，则，
则，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
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