广东省多校2025-2026学年高二上学期高中阶段联考（12月）数学试题
1．（2025高二上·广东月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·广东月考）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·广东月考）已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
4．（2025高二上·广东月考）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：
得分 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 10 6 3 2 2 2
设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·广东月考）已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·广东月考）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·广东月考）如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·广东月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·广东月考）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．的最大值为1
10．（2025高二上·广东月考）已知三棱锥，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，下列说法正确的是（ ）
A．E，F，G，H四点共面
B．平面EFGH
C．设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，则
D．若，则
11．（2025高二上·广东月考）如图，已知过原点的直线与函数的图象交于两点，设的横坐标分别为，分别过作轴的平行线与函数的图象交于两点.若轴，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高二上·广东月考）如图是一个古典概型的样本空间和事件和其中，则 ； .
13．（2025高二上·广东月考）过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为 ．
14．（2025高二上·广东月考）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是 .
15．（2025高二上·广东月考）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：
（1）在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
（2）求李明最终通过面试的概率.
16．（2025高二上·广东月考）为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
频数 20 30 30 10 10
（1）求频率分布直方图中的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.
17．（2025高二上·广东月考）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上.
（1）求圆的方程；
（2）过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程；
（3）求直线：被圆截得的弦长最小时的方程.
18．（2025高二上·广东月考）如图，正四棱柱中，，点在上且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2025高二上·广东月考）已知函数为R上的奇函数.当时，（a，c为常数），.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的图象关于点中心对称，设函数，，
（ⅰ）求证：函数为周期函数；
（ⅱ）求的值域.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：因为直线，
所以，则直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式方程，从而求出直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角．
2．【答案】A
【知识点】平面内中点坐标公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，得是直角三角形，且 .
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式，得.
故答案为：A.
【分析】利用是直角三角形，则线段的中点为外接圆的圆心，再利用中点坐标公式得出外接圆的圆心坐标.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：当时，直线，，，即，则充分性成立；
若，则，解得或，即必要性不成立，
则是的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直的判定，结合充分、必要条件的概念判断即可.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由图知，众数是；
因为中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，
所以中位数是；
因为平均数是；
∴．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和图中数据，再利用中位数、众数和平均数求解方法，从而比较出三者的大小.
5．【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱、圆锥的底面半径为，
由题意可得，解得，
则圆锥的体积为.
故答案为：C.
【分析】设圆柱、圆锥的底面半径为，根据圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求的底面半径，再根据圆锥的体积公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在上单调递增，故A不符合；
B、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在 上单调递增函数，故B不符合；
C、为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C符合；
D、易知为偶函数，且在上为周期函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据函数的奇偶性、基本初等函数的单调性以及复合函数的单调性判断即可.
7．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，
设，所成的角为，
则．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标，利用向量的坐标求解方法，从而得出，的坐标，再根据数量积求向量的夹角公式，从而得出，所成角的余弦值.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
，由正弦定理（其中为的外接圆的半径），
可得，解得，
则的外接圆的面积为．
故答案为：B.
【分析】先利用余弦的两角和、差公式化简求得，结合正弦定理求得外接圆的半径，最后利用圆的面积公式求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 函数，
A、易知，故A正确；
B、，则直线不是函数的对称轴，故B错误；
C、，则是函数的零点，故C正确；
D、易知函数的最大值为2，故D错误.
故答案为：BD.
【分析】根据正弦函数的最小正周期公式求解即可判断A；代入验证，结合正弦函数的性质，即可判断BC；根据正弦函数值域即可判断D.
10．【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量基本定理；共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：由题意可知，如图所示：
对于A，因为，
同理可得，，所以，
则，
所以四边形是平行四边形，
则E，F，G，H四点共面，故A正确；
对于B，由选项A知，，
则，所以
又因为平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为为的中点，分别为的中点，
所以，故C错误；
对于D，由选项A知，四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是矩形，
则，所以，
则，即；
所以；即；
则，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和四点共面判断方法，则判断出选项A；利用线面平行的判定定理，则判断出选项B；利用空间向量基本定理判断出选项C；利用平行四边形的结构特征和矩形的结构特征，从而得出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和平面向量基本定理，则判断出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：AB、设，直线，
由题意可知：，，
则，故A正确；B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设，直线，由题意表示坐标，利用指数函数的图象与性质，结合对数运算求解判断即可.
12．【答案】 ；
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：依题意，，
.
故答案为：；.
【分析】根据已知条件对立事件求概率公式，结合古典概率公式，从而得出和的值.
13．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：设，
因为为中点，所以，解得，
联立，解得，
则直线，即.
故答案为：.
【分析】设，利用中点坐标公式求得，联立直线方程得到方程组，解得点坐标，再根据直线的点斜式求直线方程即可.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆可转化为：，
则圆心为C(2，1)，半径为.
设A关于直线的对称点B的坐标为(a，b)，
则，
的最小值是.
故答案为：.
【分析】先利用图形的对称性求出点A关于直线的对称点B的坐标，再利用几何法求最值的方法，从而可得的最小值.
15．【答案】（1）解：由题意，样本空间为.
则样本点的填写如图所示，
（2）解：由已知条件，可知李明未通过面试的概率为，
所以李明通过面试的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合树状图，从而在树状图中填写样本点，并写出样本空间.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而计算出李明未通过面试的概率；再由对立事件求概率公式，从而求出李明最终通过面试的概率.
（1）由题意，样本空间为.
样本点的填写如图所示，
（2）可知李明未通过面试的概率为，
所以李明通过面试的概率为
16．【答案】（1）解：由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）解：从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
则这2件产品均来自同一组的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，列式求得，再根据平均数的计算公式进行计算，并比较大小即可；
（2）先根据分层抽样确定每层抽取的件数，并标记，再利用列举法，结合古典概型概率计算公式求解即可.
（1）由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
故所求为.
17．【答案】（1）解：由题意，可设圆的方程为：，
整理得，其圆心，
因为圆心在直线上，
所以，
解得：，
所以圆的方程为：.
（2）解：因为过圆外一点向圆引两条切线切点为、，
所以是以为直径的圆与圆的交点，
则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；
又因为，，
则以为直径的圆的方程为：，
整理得：，
则以为直径的圆的方程为，
联立，
则，
所以，经过两切点的直线方程为.
（3）解：由直线：，
可得：，
令，
解得，
则直线过定点，
所以，当时，
直线：被圆截得的弦长最小，
因为，
所以，
则，
所以，直线的方程为：.
【知识点】圆的一般方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）由题意，可设圆的方程为：，从而求出圆心坐标，再代入直线方程，从而得出圆的方程.
（2）利用过圆外一点向圆引两条切线切点为、，从而可得是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程，从而求出以为直径的圆的方程，再与圆的方程联立得出经过两切点的直线方程.
（3）先将直线方程变形求出直线的恒过的点的坐标，再利用几何法求最值的方法，则当时，直线：被圆截得的弦长最小，再利用两点求斜率公式得出此时的直线的斜率，从而得出此时直线的方程.
（1）由题可设圆的方程为：，
整理得，其圆心，
因为圆心在直线上，所以，解得：，
所以圆的方程为：.
（2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；
由于，，所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，即以为直径的圆的方程为，
联立，则，
所以经过两切点的直线方程为.
（3）由直线：可得：，
令，解得，则直线过定点，
则当时，直线：被圆截得的弦长最小，
由于，所以，即，
则直线的方程为：.
18．【答案】（1）证明：如图，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，
则.
（2）解：由，可得，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，解得，，
则，
因为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出，进而证出.
（2）利用可得点E的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个法向量，再利用向量的坐标和数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
所以，
所以，即.
（2）由可得，
，，
设平面的法向量为，
则，取，解得，，
则，
又，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：因为函数为R上的奇函数，
所以，
当时，，，
可得，解得，，
则当时，，
所以，当时，函数为单调增函数，
则，所以，
又因为是增函数，所以；
因为是奇函数，
则当时，函数为单调增函数，
所以，则，
综上所述，当时，函数的值域为.
（2）（ⅰ）证明：因为函数为R上的奇函数，
所以，
又因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，
由，可得，
则2是函数的一个周期，所以，函数为周期函数.
（ⅱ）解：由（1）可得，
当时，，
此时；
当时，，则，
所以是奇函数，则，
此时，
因为2是函数的一个周期，
则当时，；
当时，，
综上所述，当时，，
则函数的值域为.
【知识点】函数的值域；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先根据奇函数的性质和题中条件，从而求出当时的函数的解析式，再由二次函数的性质以及奇函数的对称性求出函数在时的值域，利用复合函数的单调性求出函数的值域.
（2）（ⅰ）由函数的奇偶性和关于点中心对称的求解方法，从而得出，再结合和函数的周期性定义，从而证出函数为周期函数.
（ⅱ）根据函数在时的解析式得出函数解析式，利用二次函数以及奇偶性得出函数在时的解析式，从而求出函数在给定区间上的值域，再利用函数的周期性得出函数在R上的值域.
（1）因函数为R上的奇函数，则，
当时，，，可得，解得，
，，
故当时，，
则当时，函数为单调增函数，则，
即，又是增函数，故；
因是奇函数，故当时，函数为单调增函数，
则，故.
综上，当时，函数的值域为.
（2）（ⅰ）因函数为R上的奇函数，则，
又函数的图象关于点中心对称，则，
故得，
由可得，
即2是函数的一个周期，故函数为周期函数；
（ⅱ）由（1）已得当时，，
此时，
当时，，则，
是奇函数，故，
此时，
因为2是函数的一个周期，故当时，；
当时，，
综上，当时，，即的值域为.
1 / 1广东省多校2025-2026学年高二上学期高中阶段联考（12月）数学试题
1．（2025高二上·广东月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：因为直线，
所以，则直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式方程，从而求出直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得出直线的倾斜角．
2．（2025高二上·广东月考）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内中点坐标公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，得是直角三角形，且 .
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式，得.
故答案为：A.
【分析】利用是直角三角形，则线段的中点为外接圆的圆心，再利用中点坐标公式得出外接圆的圆心坐标.
3．（2025高二上·广东月考）已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：当时，直线，，，即，则充分性成立；
若，则，解得或，即必要性不成立，
则是的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直的判定，结合充分、必要条件的概念判断即可.
4．（2025高二上·广东月考）为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：
得分 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 10 6 3 2 2 2
设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由图知，众数是；
因为中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，
所以中位数是；
因为平均数是；
∴．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件和图中数据，再利用中位数、众数和平均数求解方法，从而比较出三者的大小.
5．（2025高二上·广东月考）已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱、圆锥的底面半径为，
由题意可得，解得，
则圆锥的体积为.
故答案为：C.
【分析】设圆柱、圆锥的底面半径为，根据圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求的底面半径，再根据圆锥的体积公式求解即可.
6．（2025高二上·广东月考）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在上单调递增，故A不符合；
B、令，易知在上单调递增，在定义域上单调递增，则在 上单调递增函数，故B不符合；
C、为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C符合；
D、易知为偶函数，且在上为周期函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据函数的奇偶性、基本初等函数的单调性以及复合函数的单调性判断即可.
7．（2025高二上·广东月考）如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，
设，所成的角为，
则．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标，利用向量的坐标求解方法，从而得出，的坐标，再根据数量积求向量的夹角公式，从而得出，所成角的余弦值.
8．（2025高二上·广东月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
可得，即，
，由正弦定理（其中为的外接圆的半径），
可得，解得，
则的外接圆的面积为．
故答案为：B.
【分析】先利用余弦的两角和、差公式化简求得，结合正弦定理求得外接圆的半径，最后利用圆的面积公式求解即可.
9．（2025高二上·广东月考）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．的最大值为1
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 函数，
A、易知，故A正确；
B、，则直线不是函数的对称轴，故B错误；
C、，则是函数的零点，故C正确；
D、易知函数的最大值为2，故D错误.
故答案为：BD.
【分析】根据正弦函数的最小正周期公式求解即可判断A；代入验证，结合正弦函数的性质，即可判断BC；根据正弦函数值域即可判断D.
10．（2025高二上·广东月考）已知三棱锥，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，下列说法正确的是（ ）
A．E，F，G，H四点共面
B．平面EFGH
C．设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，则
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量基本定理；共面向量定理；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：由题意可知，如图所示：
对于A，因为，
同理可得，，所以，
则，
所以四边形是平行四边形，
则E，F，G，H四点共面，故A正确；
对于B，由选项A知，，
则，所以
又因为平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为为的中点，分别为的中点，
所以，故C错误；
对于D，由选项A知，四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是矩形，
则，所以，
则，即；
所以；即；
则，
所以，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和四点共面判断方法，则判断出选项A；利用线面平行的判定定理，则判断出选项B；利用空间向量基本定理判断出选项C；利用平行四边形的结构特征和矩形的结构特征，从而得出，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和平面向量基本定理，则判断出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2025高二上·广东月考）如图，已知过原点的直线与函数的图象交于两点，设的横坐标分别为，分别过作轴的平行线与函数的图象交于两点.若轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：AB、设，直线，
由题意可知：，，
则，故A正确；B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】设，直线，由题意表示坐标，利用指数函数的图象与性质，结合对数运算求解判断即可.
12．（2025高二上·广东月考）如图是一个古典概型的样本空间和事件和其中，则 ； .
【答案】 ；
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：依题意，，
.
故答案为：；.
【分析】根据已知条件对立事件求概率公式，结合古典概率公式，从而得出和的值.
13．（2025高二上·广东月考）过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为 ．
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：设，
因为为中点，所以，解得，
联立，解得，
则直线，即.
故答案为：.
【分析】设，利用中点坐标公式求得，联立直线方程得到方程组，解得点坐标，再根据直线的点斜式求直线方程即可.
14．（2025高二上·广东月考）已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将圆可转化为：，
则圆心为C(2，1)，半径为.
设A关于直线的对称点B的坐标为(a，b)，
则，
的最小值是.
故答案为：.
【分析】先利用图形的对称性求出点A关于直线的对称点B的坐标，再利用几何法求最值的方法，从而可得的最小值.
15．（2025高二上·广东月考）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：
（1）在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
（2）求李明最终通过面试的概率.
【答案】（1）解：由题意，样本空间为.
则样本点的填写如图所示，
（2）解：由已知条件，可知李明未通过面试的概率为，
所以李明通过面试的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合树状图，从而在树状图中填写样本点，并写出样本空间.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而计算出李明未通过面试的概率；再由对立事件求概率公式，从而求出李明最终通过面试的概率.
（1）由题意，样本空间为.
样本点的填写如图所示，
（2）可知李明未通过面试的概率为，
所以李明通过面试的概率为
16．（2025高二上·广东月考）为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
频数 20 30 30 10 10
（1）求频率分布直方图中的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
（2）现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.
【答案】（1）解：由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）解：从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
则这2件产品均来自同一组的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为1，列式求得，再根据平均数的计算公式进行计算，并比较大小即可；
（2）先根据分层抽样确定每层抽取的件数，并标记，再利用列举法，结合古典概型概率计算公式求解即可.
（1）由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
故所求为.
17．（2025高二上·广东月考）已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上.
（1）求圆的方程；
（2）过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程；
（3）求直线：被圆截得的弦长最小时的方程.
【答案】（1）解：由题意，可设圆的方程为：，
整理得，其圆心，
因为圆心在直线上，
所以，
解得：，
所以圆的方程为：.
（2）解：因为过圆外一点向圆引两条切线切点为、，
所以是以为直径的圆与圆的交点，
则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；
又因为，，
则以为直径的圆的方程为：，
整理得：，
则以为直径的圆的方程为，
联立，
则，
所以，经过两切点的直线方程为.
（3）解：由直线：，
可得：，
令，
解得，
则直线过定点，
所以，当时，
直线：被圆截得的弦长最小，
因为，
所以，
则，
所以，直线的方程为：.
【知识点】圆的一般方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）由题意，可设圆的方程为：，从而求出圆心坐标，再代入直线方程，从而得出圆的方程.
（2）利用过圆外一点向圆引两条切线切点为、，从而可得是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程，从而求出以为直径的圆的方程，再与圆的方程联立得出经过两切点的直线方程.
（3）先将直线方程变形求出直线的恒过的点的坐标，再利用几何法求最值的方法，则当时，直线：被圆截得的弦长最小，再利用两点求斜率公式得出此时的直线的斜率，从而得出此时直线的方程.
（1）由题可设圆的方程为：，
整理得，其圆心，
因为圆心在直线上，所以，解得：，
所以圆的方程为：.
（2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；
由于，，所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，即以为直径的圆的方程为，
联立，则，
所以经过两切点的直线方程为.
（3）由直线：可得：，
令，解得，则直线过定点，
则当时，直线：被圆截得的弦长最小，
由于，所以，即，
则直线的方程为：.
18．（2025高二上·广东月考）如图，正四棱柱中，，点在上且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，
则.
（2）解：由，可得，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，解得，，
则，
因为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出，进而证出.
（2）利用可得点E的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个法向量，再利用向量的坐标和数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
所以，
所以，即.
（2）由可得，
，，
设平面的法向量为，
则，取，解得，，
则，
又，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．（2025高二上·广东月考）已知函数为R上的奇函数.当时，（a，c为常数），.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的图象关于点中心对称，设函数，，
（ⅰ）求证：函数为周期函数；
（ⅱ）求的值域.
【答案】（1）解：因为函数为R上的奇函数，
所以，
当时，，，
可得，解得，，
则当时，，
所以，当时，函数为单调增函数，
则，所以，
又因为是增函数，所以；
因为是奇函数，
则当时，函数为单调增函数，
所以，则，
综上所述，当时，函数的值域为.
（2）（ⅰ）证明：因为函数为R上的奇函数，
所以，
又因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，
由，可得，
则2是函数的一个周期，所以，函数为周期函数.
（ⅱ）解：由（1）可得，
当时，，
此时；
当时，，则，
所以是奇函数，则，
此时，
因为2是函数的一个周期，
则当时，；
当时，，
综上所述，当时，，
则函数的值域为.
【知识点】函数的值域；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）先根据奇函数的性质和题中条件，从而求出当时的函数的解析式，再由二次函数的性质以及奇函数的对称性求出函数在时的值域，利用复合函数的单调性求出函数的值域.
（2）（ⅰ）由函数的奇偶性和关于点中心对称的求解方法，从而得出，再结合和函数的周期性定义，从而证出函数为周期函数.
（ⅱ）根据函数在时的解析式得出函数解析式，利用二次函数以及奇偶性得出函数在时的解析式，从而求出函数在给定区间上的值域，再利用函数的周期性得出函数在R上的值域.
（1）因函数为R上的奇函数，则，
当时，，，可得，解得，
，，
故当时，，
则当时，函数为单调增函数，则，
即，又是增函数，故；
因是奇函数，故当时，函数为单调增函数，
则，故.
综上，当时，函数的值域为.
（2）（ⅰ）因函数为R上的奇函数，则，
又函数的图象关于点中心对称，则，
故得，
由可得，
即2是函数的一个周期，故函数为周期函数；
（ⅱ）由（1）已得当时，，
此时，
当时，，则，
是奇函数，故，
此时，
因为2是函数的一个周期，故当时，；
当时，，
综上，当时，，即的值域为.
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