四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·安岳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高一上·安岳月考）函数（，且的图象必经过的定点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，解得，，则函数的图象必经过定点.
故答案为：A.
【分析】 令，解得 ，将1代入求函数值，确定指数型函数图象恒过的定点即可.
3．（2025高一上·安岳月考）设，则（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式直接代值计算即可.
4．（2025高一上·安岳月考）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
指数函数在上单调递减，则，即，
故.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，判断a、b、c的大小关系即可.
5．（2025高一上·安岳月考）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，函数是幂函数，且在上是减函数，即充分性成立；
若幂函数在上是减函数 ，则，
解得或，即必要性不成立，
则""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．（2025高一上·安岳月考）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：设，
由题意可得：当，时，，
则当时，，则.
故答案为：D.
【分析】由题意设， 将已知数据代入求得k的值，再计算时的体重即可.
7．（2025高一上·安岳月考）若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：设函数，由题意可得：，恒成立，
则，即，解得或，
故x的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】变换主元，设 设函数， 根据一次函数的性质列不等式求参数的范围即可.
8．（2025高一上·安岳月考）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：函数单调递减，
当时，单调递减，则，解，
当时，单调递减，则，解得，
且当时，，解得，
综上可知， 实数的取值范围.
故答案为：A.
【分析】 由题意可知：函数单调递减，根据分段函数每段单调递减、以及分界点处函数值的大小关系列式求解即可.
9．（2025高一上·安岳月考）下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、由易知，因为，所以，则，故A正确；
B、取，满足且， 但，故B错误；
C、由，可得，则，即，故C正确；
D、取，满足，， 但，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用不等式的性质即可判断AC；取特殊值即可判断BD.
10．（2025高一上·安岳月考）下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称
D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取范围是
【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令，解得，则，故A正确；
B、函数的定义域为，则，即函数的定义域为，故B错误；
C、因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
根据函数图象的平移变换可知：函数的图像关于点对称，故C正确；
D、当时，函数的图象，如图所示：
当时，函数的图象，如图所示：
由图可知：当时，直线与函数的图象有两个公共点，
则实数的取范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】令，解得，再求解即可判断A；根据抽象函数定义域的求法求解即可判断B；根据奇函数的性质可得函数的图像关于点对称，再根据函数图象的平移变换求解即可判断C；分和讨论画出函数的图象，数形结合求解参数的取值范围即可判断D.
11．（2025高一上·安岳月考）下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数的最大值为
B．若，则的值为
C．函数的减区间是
D．已知，，，则的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】复合函数的单调性；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：A、易知，因为函数单调递减，
所以，故A正确；
B、由，可得，
则，故B正确；
C、令，可得，解得，即函数的定义域为，
设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，
因为在定义域上为增函数，所以函数的减区间为，故C错误；
D、，，， 则，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为，故D正确.
故答案为：ABD .
【分析】利用指数函数的单调性求解即可判断A；由题意，利用指、对互化，再结合换底公式以及对数的运算性质求解即可判断B；利用复合函数的单调性求解即可判断C；利用基本不等式求最值即可判断D.
12．（2025高一上·安岳月考）计算= .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
故答案为：10.
【分析】直接根据指数幂的运算求解即可.
13．（2025高一上·安岳月考）已知函数，则 ．
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：，，则，
设，
，
则，即.
故答案为：.
【分析】根据函数的解析式求得，，设，根据求和即可.
14．（2025高一上·安岳月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则满足不等式的x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在区间上是减函数，
则 ，解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】由题意可知：函数在区间上是减函数，根据偶函数的性质，结合函数的单调性和列出关于的不等式组，求的取值范围即可.
15．（2025高一上·安岳月考）已知全集为R，集合 集合 B=.
（1）求集合A，B及A∩B：
（2）若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围.
【答案】（1）解：不等式，即， 解为，即集合；
解对数不等式，即，解得，即集合，
则；
（2）解：不等式，解得，即集合，
因为，所以，则，解得，
则实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解指数、对数不等式求得集合，，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）先解绝对值不等式求得集合C，再由，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解的取值范围即可.
（1）因为，指数函数是单调递增函数.
所以. 解为，即.
因为，对数函数是单调递增函数.
所以，解得，即.
则.
（2）对于集合，可得，即.
因为，所以. 则有.
解第一个不等式，得.
解第二个不等式，得.
所以的取值范围是.
16．（2025高一上·安岳月考）设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分．
（1）求函数在上的解析式；
（2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
（3）写出函数的值域和单调区间．
【答案】解：(1)当时，设函数，
因为函数的图象过点，所以，解得，
则函数，
当时，，，
又因为函数为偶函数，所以，
则，即，；
（2）图象如图所示：
（3）由图可知：函数 的值域为，
单调递增区间为；
单调递减区间为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）当时，设函数，代入求得a，确定函数的解析式，再根据函数为偶函数，求函数在区间上的解析式即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据函数的图象直接写出函数值域，以及函数的单调区间即可.
17．（2025高一上·安岳月考）已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：由题意可知，1和2是方程的两根，
由韦达定理可得，解得，；
（2）解：由（1）知，，，
不等式为，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可知，1和2是方程的两根，利用韦达定理列式求解即可；
（2） 由（1）知，，， 不等式转化为，对分情况讨论，解不等式即可.
（1）由题意可知，的根是1和2，
所以，解得：，；
（2）由（1）知，，，
所以不等式为，即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
18．（2025高一上·安岳月考）已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：令，当时，，
函数，
易知函数在上单调递减，且，，
故当时，函数的值域为；
（2）解：由，可得，
即对于恒成立，
当时，，恒成立；
当时，，易知在上单调递减，，
则，即，
综上所述：.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）令，利用换元法，原函数转化为，结合二次函数单调性求解即可；
（2）由题意可得不等式为，令，利用换元法可得对于恒成立，分离参数可得对于恒成立，利用对勾函数性质计算即可.
（1）令，当时，，
，
由函数在上单调递减，
则，，
故当时，求该函数的值域为；
（2）由可得，
即对于恒成立，
当时，，恒成立；
当时，，
又在上单调递减，故，
故，即；
综上所述：.
19．（2025高一上·安岳月考）已知函数.
（1）判断奇偶性并证明；
（2）利用定义证明在R上单调递增；
（3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：函数为奇函数，
理由如下：定义域为R，
又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则，
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）解：为奇函数，由，得，
因为函数在R上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，，
当时，，即，
所以k的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）确定函数定义域，再通过计算并与比较，判断奇偶性.
（2）按照定义法证明单调性的步骤：取任意两个自变量，作差，对差式变形后判断符号，进而得出单调性；
（3）用函数的奇偶性和单调性将不等式变形，转化为关于的含参不等式存在性问题，通过换元法转化为函数最值问题求解.
（1）函数为奇函数，理由如下：
定义域为R，又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）为奇函数，
由，得，
因为函数在R上单调递增，
所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，
，当时，，即，
所以k的取值范围为
1 / 1四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·安岳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·安岳月考）函数（，且的图象必经过的定点是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·安岳月考）设，则（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（2025高一上·安岳月考）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·安岳月考）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高一上·安岳月考）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·安岳月考）若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·安岳月考）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·安岳月考）下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，，则
10．（2025高一上·安岳月考）下列说法正确的是（ ）
A．若函数，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称
D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取范围是
11．（2025高一上·安岳月考）下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数的最大值为
B．若，则的值为
C．函数的减区间是
D．已知，，，则的最小值为
12．（2025高一上·安岳月考）计算= .
13．（2025高一上·安岳月考）已知函数，则 ．
14．（2025高一上·安岳月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则满足不等式的x的取值范围是 ．
15．（2025高一上·安岳月考）已知全集为R，集合 集合 B=.
（1）求集合A，B及A∩B：
（2）若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围.
16．（2025高一上·安岳月考）设为定义在R上的偶函数，当时，，当时，的图象是顶点为 且过点的抛物线的一部分．
（1）求函数在上的解析式；
（2）在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
（3）写出函数的值域和单调区间．
17．（2025高一上·安岳月考）已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
18．（2025高一上·安岳月考）已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
19．（2025高一上·安岳月考）已知函数.
（1）判断奇偶性并证明；
（2）利用定义证明在R上单调递增；
（3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，解得，，则函数的图象必经过定点.
故答案为：A.
【分析】 令，解得 ，将1代入求函数值，确定指数型函数图象恒过的定点即可.
3．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，
则.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的解析式直接代值计算即可.
4．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
指数函数在上单调递减，则，即，
故.
故答案为：C.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，判断a、b、c的大小关系即可.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，函数是幂函数，且在上是减函数，即充分性成立；
若幂函数在上是减函数 ，则，
解得或，即必要性不成立，
则""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：设，
由题意可得：当，时，，
则当时，，则.
故答案为：D.
【分析】由题意设， 将已知数据代入求得k的值，再计算时的体重即可.
7．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：设函数，由题意可得：，恒成立，
则，即，解得或，
故x的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】变换主元，设 设函数， 根据一次函数的性质列不等式求参数的范围即可.
8．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：函数单调递减，
当时，单调递减，则，解，
当时，单调递减，则，解得，
且当时，，解得，
综上可知， 实数的取值范围.
故答案为：A.
【分析】 由题意可知：函数单调递减，根据分段函数每段单调递减、以及分界点处函数值的大小关系列式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、由易知，因为，所以，则，故A正确；
B、取，满足且， 但，故B错误；
C、由，可得，则，即，故C正确；
D、取，满足，， 但，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用不等式的性质即可判断AC；取特殊值即可判断BD.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、令，解得，则，故A正确；
B、函数的定义域为，则，即函数的定义域为，故B错误；
C、因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，
根据函数图象的平移变换可知：函数的图像关于点对称，故C正确；
D、当时，函数的图象，如图所示：
当时，函数的图象，如图所示：
由图可知：当时，直线与函数的图象有两个公共点，
则实数的取范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】令，解得，再求解即可判断A；根据抽象函数定义域的求法求解即可判断B；根据奇函数的性质可得函数的图像关于点对称，再根据函数图象的平移变换求解即可判断C；分和讨论画出函数的图象，数形结合求解参数的取值范围即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】复合函数的单调性；指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：A、易知，因为函数单调递减，
所以，故A正确；
B、由，可得，
则，故B正确；
C、令，可得，解得，即函数的定义域为，
设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，
因为在定义域上为增函数，所以函数的减区间为，故C错误；
D、，，， 则，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为，故D正确.
故答案为：ABD .
【分析】利用指数函数的单调性求解即可判断A；由题意，利用指、对互化，再结合换底公式以及对数的运算性质求解即可判断B；利用复合函数的单调性求解即可判断C；利用基本不等式求最值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
故答案为：10.
【分析】直接根据指数幂的运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：，，则，
设，
，
则，即.
故答案为：.
【分析】根据函数的解析式求得，，设，根据求和即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在区间上是减函数，
则 ，解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】由题意可知：函数在区间上是减函数，根据偶函数的性质，结合函数的单调性和列出关于的不等式组，求的取值范围即可.
15．【答案】（1）解：不等式，即， 解为，即集合；
解对数不等式，即，解得，即集合，
则；
（2）解：不等式，解得，即集合，
因为，所以，则，解得，
则实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解指数、对数不等式求得集合，，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）先解绝对值不等式求得集合C，再由，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解的取值范围即可.
（1）因为，指数函数是单调递增函数.
所以. 解为，即.
因为，对数函数是单调递增函数.
所以，解得，即.
则.
（2）对于集合，可得，即.
因为，所以. 则有.
解第一个不等式，得.
解第二个不等式，得.
所以的取值范围是.
16．【答案】解：(1)当时，设函数，
因为函数的图象过点，所以，解得，
则函数，
当时，，，
又因为函数为偶函数，所以，
则，即，；
（2）图象如图所示：
（3）由图可知：函数 的值域为，
单调递增区间为；
单调递减区间为.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【分析】（1）当时，设函数，代入求得a，确定函数的解析式，再根据函数为偶函数，求函数在区间上的解析式即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）根据函数的图象直接写出函数值域，以及函数的单调区间即可.
17．【答案】（1）解：由题意可知，1和2是方程的两根，
由韦达定理可得，解得，；
（2）解：由（1）知，，，
不等式为，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意可知，1和2是方程的两根，利用韦达定理列式求解即可；
（2） 由（1）知，，， 不等式转化为，对分情况讨论，解不等式即可.
（1）由题意可知，的根是1和2，
所以，解得：，；
（2）由（1）知，，，
所以不等式为，即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：令，当时，，
函数，
易知函数在上单调递减，且，，
故当时，函数的值域为；
（2）解：由，可得，
即对于恒成立，
当时，，恒成立；
当时，，易知在上单调递减，，
则，即，
综上所述：.
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）令，利用换元法，原函数转化为，结合二次函数单调性求解即可；
（2）由题意可得不等式为，令，利用换元法可得对于恒成立，分离参数可得对于恒成立，利用对勾函数性质计算即可.
（1）令，当时，，
，
由函数在上单调递减，
则，，
故当时，求该函数的值域为；
（2）由可得，
即对于恒成立，
当时，，恒成立；
当时，，
又在上单调递减，故，
故，即；
综上所述：.
19．【答案】（1）解：函数为奇函数，
理由如下：定义域为R，
又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则，
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）解：为奇函数，由，得，
因为函数在R上单调递增，所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，，
当时，，即，
所以k的取值范围为
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）确定函数定义域，再通过计算并与比较，判断奇偶性.
（2）按照定义法证明单调性的步骤：取任意两个自变量，作差，对差式变形后判断符号，进而得出单调性；
（3）用函数的奇偶性和单调性将不等式变形，转化为关于的含参不等式存在性问题，通过换元法转化为函数最值问题求解.
（1）函数为奇函数，理由如下：
定义域为R，又，
所以为奇函数；
（2）证明：由（1）知，，
任取，且，
则
因为，则
所以，即，
所以在R上单调递增.
（3）为奇函数，
由，得，
因为函数在R上单调递增，
所以，即，
由题意，存在实数，使得成立，则只需，
令，则，
，当时，，即，
所以k的取值范围为
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