广东省深圳市高级中学2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题
1．（2025高一上·福田月考）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图知，阴影部分所表示的集合为，
又因为，，
所以图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】由图可知阴影部分所表示的集合为，再结合已知条件，从而利用交集和补集的运算法则，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
2．（2025高一上·福田月考）若，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，，
得，，
则，
所以角是第四象限角.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，变形得出，再利用三角函数值在各象限的符号，从而判断出角所在象限.
3．（2025高一上·福田月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知解得且，
故的定义域是.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是根据函数表达式的结构，从根号下非负和分母不为零两个基本要求出发，联立不等式组求解定义域，通过对对数不等式和分式条件的分步处理，最终得到自变量的取值范围。
4．（2025高一上·福田月考）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】根据新函数的定义，从而代入得出的值.
5．（2025高一上·福田月考）已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，
则，所以，
因为扇形的面积，
将上式代入，得，
当且仅当时，有最大值1．
故答案为：A．
【分析】由扇形的周长公式和扇形的面积公式，从而得出，再结合二次函数求最值的方法，从而得出该扇形的面积的最大值.
6．（2025高一上·福田月考）已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，所以，解得，
当时，函数在上单调递增，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，符合题意，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题先利用幂函数的定义求出参数m的值，再根据函数在(0，+∞)上的单调性确定唯一解，进而计算f(2)。
7．（2025高一上·福田月考）命题“，”的否定为假命题，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：命题“，”为真命题，
若，，符合题意；
若，则，
解得；
综上所述：k的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和全称命题与特称命题的真假性相反，可知命题“，”为真命题，再分和两种情况结合一元二次不等式恒成立问题求解方法，利用二次函数的开口方向和判别式法，从而得出实数k的取值范围.
8．（2025高一上·福田月考）2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（ ）年（参考数据：，，）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．8.9
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设世界人口达到90亿至少需要年，
由题意，得
，
因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，
故答案为：B
【分析】本题是典型的复利增长模型，核心是建立指数不等式，再通过对数运算将其转化为线性不等式求解，最终确定满足条件的最小年份。
9．（2025高一上·福田月考）已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，得，
设命题：，
设命题成立的一个充分不必要条件为集合，
则且，
所以和都是的充分不必要条件.
故答案为：BD.
【分析】解一元二次不等式得出命题p，再根据充分不必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
10．（2025高一上·福田月考）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对任意，都有，
则在上单调递增，所以是在上单调递增的奇函数.
A、函数定义域为，，不是奇函数，A错误；
B、与在上都为增函数，故在上为增函数，，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；
C、，易知在上单调递减，C错误；
D、函数定义域为，函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增，，所以是奇函数，D正确.
故答案为：BD
【分析】本题的核心是先根据条件判断函数在 (0，+∞) 上单调递增，再结合奇函数的定义，逐一验证每个选项的单调性与奇偶性，最终筛选出符合条件的函数。
11．（2025高一上·福田月考）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A．在区间上有且仅有4条对称轴
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
【答案】C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A：，，.
当时，在区间上有且仅有3条对称轴；
当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；
B：周期，由，则，，
又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；
C：由函数，令，，则，，
函数在区间上有且仅有个零点，即有且仅有个整数符合，
由，得，则，，，即，，故C正确；
D：，，又，，所以在区间上单调递增，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题先通过函数在区间 (0，π) 上的零点个数确定ω的取值范围，再以此为基础，分别分析对称轴数量、最小正周期和单调性等性质，从而对每个选项进行判断。
12．（2025高一上·福田月考） .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】本题是指数与对数的混合运算，核心是分别运用负指数幂、零指数幂的运算规则，以及对数的加法性质，逐步化简求值。
13．（2025高一上·福田月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．
【答案】1.5
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：设函数，易得函数为严格增函数，
因为，，
所以下一个有根区间是，
那么下一个取的点是．
故答案为：
【分析】本题的核心是利用二分法的迭代逻辑，先通过函数值的符号确定有根区间，再取新区间的中点作为下一个迭代点。
14．（2025高一上·福田月考）函数的值域是 .
【答案】
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设 ，
则，
因为 ，所以，
由于 ，不等式等价于，
，
解得 或 。
故答案为：.
【分析】本题的核心是通过反表示法（将 用 表示），结合指数函数 的性质，解不等式求出 的取值范围，从而得到函数的值域.
15．（2025高一上·福田月考）已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）先化简，再求值：.
【答案】（1）解：是第二象限角，所以，又，
，则.
（2）解：
由（1）知，
∴原式.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的平方关系 求 ，再由 是第二象限角确定符号；再用商数关系 求 。
(2)先用诱导公式化简表达式，再代入第(1)问的结果求值。
（1）是第二象限角，所以，又，
，则.
（2）
由（1）知，
∴原式.
16．（2025高一上·福田月考）已知为实数，，．
（1）当时，求的取值集合；
（2）当时，求的取值集合.
【答案】（1）解：因为，
则当时，；当时，，
又因为，
所以，此时，满足．
则当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，A不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，
由，得，
所以，
综上所述，的取值集合为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，利用一元二次方程求解方法求出集合，再根据借助数轴得出实数的值.
（2）分、、且三种情况，从而求出集合和集合，再根据借助数轴得出实数的值.
（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，， 不成立；
当时，，， 成立；
当且时，，，由 ，得，所以．
综上，的取值集合为．
17．（2025高一上·福田月考）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积.
（1）求关于的函数；
（2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？
【答案】（1）解：由题意，可知，，
所以，
又因为，
所以，
则.
（2）解：法一：由，
得，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，取得等号，
则小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
法二：
当且仅当时，即当时等号成立，此时，
则小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意和矩形的面积公式，从而建立方程，进而得出关于的函数.
（2）利用两种方法求解.
方法一：利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而解一元二次不等式得出小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
方法二：利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
（1）由题意可知，，
所以，又，所以，
所以.
（2）法一：由，得，
解得，或（舍去），所以，
当且仅当时，取得等号.
故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
法二：，
当且仅当，即时等号成立，
此时，
故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
18．（2025高一上·福田月考）已知函数为奇函数，其函数图象经过点.
（1）求，的值；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意知的定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，，
则，
所以，
对恒成立，
则，
所以.
因为函数的图象经过点，
所以，
解得，
则，.
（2）证明：由（1）知，
令，
则
，
因为，
所以，，，
则，
所以，
则函数在区间上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，函数单调递增，
则.
若命题为真命题，则，
解得，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义和代入法，从而得出和的值.
（2）由（1）知函数的解析式，再由单调函数的定义，从而证出函数在区间上单调递增.
（3）将题意转化为“，，由（2）求出，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）解：由题知的定义域为，因为函数为奇函数，
所以，，即，
所以，对恒成立，所以，故.
因为函数的图象经过点，即，解得，
所以，.
（2）证明：由（1）知.
令，则
.
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，函数单调递增，故.
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
19．（2025高一上·福田月考）现定义了一种新运算“”：对于任意实数x，y，都有（且）．
（1）当时，计算；
（2）证明：，，；都有；
（3）设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时， ；
（2）证明： 因为，
，
所以；
（3）解：由新运算可知，
，
令，易知函数在上单调递减，
因为在上的值域为，所以，
又因为，所以在上单调递增，则，即，
整理得，即，
将代入，得，
同理得，
则，是函数在上的两个不同的零点，
即，解得，即，
故实数的取值范围为．
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；对数的性质与运算法则；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1） 将代入， 根据新定义，结合对数的运算求值即可；
（2）根据新定义，结合对数的运算性质证明即可；
（3）根据新定义化简函数可得，再由题意，结合对数型复合函数的单调性可得在上单调递增，则，推出，是函数在上的两个不同的零点，列式求解即可得a的取值范围.
（1）当时，．
（2）因为，
，
所以．
（3）由新运算可知，
．
令，则在上单调递减，
由于在上的值域为，所以，
则，
所以在上单调递增，则即
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，．
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则
解得，所以，
故实数的取值范围为．
1 / 1广东省深圳市高级中学2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题
1．（2025高一上·福田月考）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·福田月考）若，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2025高一上·福田月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·福田月考）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2025高一上·福田月考）已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025高一上·福田月考）已知是常数，幂函数在上单调递减，则（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（2025高一上·福田月考）命题“，”的否定为假命题，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·福田月考）2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（ ）年（参考数据：，，）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．8.9
9．（2025高一上·福田月考）已知：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·福田月考）下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高一上·福田月考）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则（ ）
A．在区间上有且仅有4条对称轴
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
12．（2025高一上·福田月考） .
13．（2025高一上·福田月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ．
14．（2025高一上·福田月考）函数的值域是 .
15．（2025高一上·福田月考）已知是第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）先化简，再求值：.
16．（2025高一上·福田月考）已知为实数，，．
（1）当时，求的取值集合；
（2）当时，求的取值集合.
17．（2025高一上·福田月考）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积.
（1）求关于的函数；
（2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？
18．（2025高一上·福田月考）已知函数为奇函数，其函数图象经过点.
（1）求，的值；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围.
19．（2025高一上·福田月考）现定义了一种新运算“”：对于任意实数x，y，都有（且）．
（1）当时，计算；
（2）证明：，，；都有；
（3）设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由图知，阴影部分所表示的集合为，
又因为，，
所以图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】由图可知阴影部分所表示的集合为，再结合已知条件，从而利用交集和补集的运算法则，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
2．【答案】D
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，，
得，，
则，
所以角是第四象限角.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和同角三角函数基本关系式，变形得出，再利用三角函数值在各象限的符号，从而判断出角所在象限.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意可知解得且，
故的定义域是.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是根据函数表达式的结构，从根号下非负和分母不为零两个基本要求出发，联立不等式组求解定义域，通过对对数不等式和分式条件的分步处理，最终得到自变量的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】根据新函数的定义，从而代入得出的值.
5．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，
则，所以，
因为扇形的面积，
将上式代入，得，
当且仅当时，有最大值1．
故答案为：A．
【分析】由扇形的周长公式和扇形的面积公式，从而得出，再结合二次函数求最值的方法，从而得出该扇形的面积的最大值.
6．【答案】A
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数是幂函数，所以，解得，
当时，函数在上单调递增，不符合题意；
当时，函数在上单调递减，符合题意，
所以.
故答案为：A.
【分析】本题先利用幂函数的定义求出参数m的值，再根据函数在(0，+∞)上的单调性确定唯一解，进而计算f(2)。
7．【答案】C
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：命题“，”为真命题，
若，，符合题意；
若，则，
解得；
综上所述：k的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和全称命题与特称命题的真假性相反，可知命题“，”为真命题，再分和两种情况结合一元二次不等式恒成立问题求解方法，利用二次函数的开口方向和判别式法，从而得出实数k的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：设世界人口达到90亿至少需要年，
由题意，得
，
因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，
故答案为：B
【分析】本题是典型的复利增长模型，核心是建立指数不等式，再通过对数运算将其转化为线性不等式求解，最终确定满足条件的最小年份。
9．【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，得，
设命题：，
设命题成立的一个充分不必要条件为集合，
则且，
所以和都是的充分不必要条件.
故答案为：BD.
【分析】解一元二次不等式得出命题p，再根据充分不必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对任意，都有，
则在上单调递增，所以是在上单调递增的奇函数.
A、函数定义域为，，不是奇函数，A错误；
B、与在上都为增函数，故在上为增函数，，所以是在上单调递增的奇函数，B正确；
C、，易知在上单调递减，C错误；
D、函数定义域为，函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，所以在上单调递增，，所以是奇函数，D正确.
故答案为：BD
【分析】本题的核心是先根据条件判断函数在 (0，+∞) 上单调递增，再结合奇函数的定义，逐一验证每个选项的单调性与奇偶性，最终筛选出符合条件的函数。
11．【答案】C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A：，，.
当时，在区间上有且仅有3条对称轴；
当时，在区间上有且仅有4条对称轴，故A错误；
B：周期，由，则，，
又，所以的最小正周期不可能是，故B错误；
C：由函数，令，，则，，
函数在区间上有且仅有个零点，即有且仅有个整数符合，
由，得，则，，，即，，故C正确；
D：，，又，，所以在区间上单调递增，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】本题先通过函数在区间 (0，π) 上的零点个数确定ω的取值范围，再以此为基础，分别分析对称轴数量、最小正周期和单调性等性质，从而对每个选项进行判断。
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】本题是指数与对数的混合运算，核心是分别运用负指数幂、零指数幂的运算规则，以及对数的加法性质，逐步化简求值。
13．【答案】1.5
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：设函数，易得函数为严格增函数，
因为，，
所以下一个有根区间是，
那么下一个取的点是．
故答案为：
【分析】本题的核心是利用二分法的迭代逻辑，先通过函数值的符号确定有根区间，再取新区间的中点作为下一个迭代点。
14．【答案】
【知识点】函数的值域；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设 ，
则，
因为 ，所以，
由于 ，不等式等价于，
，
解得 或 。
故答案为：.
【分析】本题的核心是通过反表示法（将 用 表示），结合指数函数 的性质，解不等式求出 的取值范围，从而得到函数的值域.
15．【答案】（1）解：是第二象限角，所以，又，
，则.
（2）解：
由（1）知，
∴原式.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】(1)利用同角三角函数的平方关系 求 ，再由 是第二象限角确定符号；再用商数关系 求 。
(2)先用诱导公式化简表达式，再代入第(1)问的结果求值。
（1）是第二象限角，所以，又，
，则.
（2）
由（1）知，
∴原式.
16．【答案】（1）解：因为，
则当时，；当时，，
又因为，
所以，此时，满足．
则当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，A不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，
由，得，
所以，
综上所述，的取值集合为．
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，利用一元二次方程求解方法求出集合，再根据借助数轴得出实数的值.
（2）分、、且三种情况，从而求出集合和集合，再根据借助数轴得出实数的值.
（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，， 不成立；
当时，，， 成立；
当且时，，，由 ，得，所以．
综上，的取值集合为．
17．【答案】（1）解：由题意，可知，，
所以，
又因为，
所以，
则.
（2）解：法一：由，
得，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，取得等号，
则小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
法二：
当且仅当时，即当时等号成立，此时，
则小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意和矩形的面积公式，从而建立方程，进而得出关于的函数.
（2）利用两种方法求解.
方法一：利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而解一元二次不等式得出小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
方法二：利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
（1）由题意可知，，
所以，又，所以，
所以.
（2）法一：由，得，
解得，或（舍去），所以，
当且仅当时，取得等号.
故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
法二：，
当且仅当，即时等号成立，
此时，
故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求.
18．【答案】（1）解：由题意知的定义域为，
因为函数为奇函数，
所以，，
则，
所以，
对恒成立，
则，
所以.
因为函数的图象经过点，
所以，
解得，
则，.
（2）证明：由（1）知，
令，
则
，
因为，
所以，，，
则，
所以，
则函数在区间上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，函数单调递增，
则.
若命题为真命题，则，
解得，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义和代入法，从而得出和的值.
（2）由（1）知函数的解析式，再由单调函数的定义，从而证出函数在区间上单调递增.
（3）将题意转化为“，，由（2）求出，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
（1）解：由题知的定义域为，因为函数为奇函数，
所以，，即，
所以，对恒成立，所以，故.
因为函数的图象经过点，即，解得，
所以，.
（2）证明：由（1）知.
令，则
.
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间上单调递增.
（3）解：由（2）知，当时，函数单调递增，故.
若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当时， ；
（2）证明： 因为，
，
所以；
（3）解：由新运算可知，
，
令，易知函数在上单调递减，
因为在上的值域为，所以，
又因为，所以在上单调递增，则，即，
整理得，即，
将代入，得，
同理得，
则，是函数在上的两个不同的零点，
即，解得，即，
故实数的取值范围为．
【知识点】函数的值域；复合函数的单调性；对数的性质与运算法则；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1） 将代入， 根据新定义，结合对数的运算求值即可；
（2）根据新定义，结合对数的运算性质证明即可；
（3）根据新定义化简函数可得，再由题意，结合对数型复合函数的单调性可得在上单调递增，则，推出，是函数在上的两个不同的零点，列式求解即可得a的取值范围.
（1）当时，．
（2）因为，
，
所以．
（3）由新运算可知，
．
令，则在上单调递减，
由于在上的值域为，所以，
则，
所以在上单调递增，则即
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，．
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则
解得，所以，
故实数的取值范围为．
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