广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试（12月）数学试题
1．（2025高二上·惠来月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．或
2．（2025高二上·惠来月考）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·惠来月考）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二上·惠来月考）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·惠来月考）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与独立 C．与对立 D．
6．（2025高二上·惠来月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线的准线上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
7．（2025高二上·惠来月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·惠来月考）一般地，设是一个函数，，记，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数.设为自然数，为（十进制）的各数位上数字之和，则（ ）
A．19 B．11 C．8 D．5
9．（2025高二上·惠来月考）为使成为一个圆的方程，的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高二上·惠来月考）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．
C．
D．
11．（2025高二上·惠来月考）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体所得的截面图形为正六边形
C．点的轨迹长度为
D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
12．（2025高二上·惠来月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ．
13．（2025高二上·惠来月考）如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为 m.
14．（2025高二上·惠来月考）已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是 ．
15．（2025高二上·惠来月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；
（2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差.
参考公式：其中为总样本平均数.
16．（2025高二上·惠来月考）已知点和以点为圆心的圆.
（1）求出以为直径，点为圆心的圆的方程；
（2）设圆与圆相交于，两点，直线，是圆的切线吗 为什么
（3）求直线的方程.
17．（2025高二上·惠来月考）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
①；②；③
内角，，的对边分别为，，，已知__________.
（1）若，，求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
18．（2025高二上·惠来月考）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
（1）取线段中点M，连接，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（2025高二上·惠来月考）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直.
（1）求的标准方程；
（2）点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】解一元二次不等式求得集合B，再根据集合交集的定义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，可知，
所以，且椭圆C的焦点在x轴上，
则椭圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】根据椭圆上的点代入法、椭圆的长轴和短轴关系式和焦点的位置关系，从而得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：当时，，
解得或，
当时，与重合，不符合；
当时，与不重合，符合，
则“”是“”的充要条件．
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行斜率相等，纵截距不等，再根据检验法，从而分类讨论得出满足要求的a的值，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解： 空间四边形中 ，因为，为中点，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量基本定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果，
则随机试验结果的样本空间，
又因为，.
对于A，因为，所以与互斥，故选项A正确；
对于B，因为，，，
所以，
则与不独立，故选项B错误；
对于C，因为，，
所以与不对立，故选项C错误；
对于D，因为，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】由互斥事件的定义、对立事件的定义和独立事件的定义，则判断出选项A、选项B和选项C；再利用古典概率公式，从而得出事件B的概率，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
6．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
因为，所以点到准线的距离为6，即点的横坐标为4，不妨设点在第一象限，
则点的坐标为，
因为坐标原点关于准线的对称点的坐标为，所以，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，求出关于准线的对称点的坐标，由，结合，利用两点间的距离公式求解即可.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图所示：
易知双曲线的焦点分别为，
由，可得点 的坐标为，
则直线 斜率为， 直线 斜率为，
设， 则，两式相减得，
整理得，即，
则
故答案为：C.
【分析】易知双曲线的焦点坐标，由，求得点P的坐标，再求直线和直线的斜率，设，利用点差法求，据此求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，各位数字之和位19，
，各位数字之和位11，
，各位数字之和位5，
，各位数字之和位8，
，各位数字之和位11，
从开始，结果依次为：，
第150次迭代，从开始，操作148次，
则余1，
所以对应第二个值5，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合n次迭代的方法，从开始计算，从而找到规律，再利用求余的方法，从而得出的值.
9．【答案】C,D
【知识点】正弦函数的性质；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：要使表示一个圆，
则，化简得，
则或，
解得或，
故的取值可能为，.
故答案为：CD.
【分析】根据二元二次方程表示圆，，结合正弦函数的性质求解判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解： 向量，
A、若，则，即，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，当且仅当，
即时等号成立，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式，结合三角恒等变换求解即可判断A；根据向量模长公式求解即可判断B；根据向量数量积坐标公式，结合三角恒等变换求解即可判断C；将平方得到，结合B选项以及余弦函数的性质求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，.
设平面的法向量为，则，
令，可得，因为，所以平面，故A正确；
B、取的中点，连接，如图所示：
结合题意可知，则四点共面且四点共面，两个平面都过点P，六点共面，
易知，
则平面截正方体所得的截面为正六边形，故B正确；
C、由上知平面，设垂足为，以为圆心为半径在平面上作圆，
由题意可知Q轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体，
根据正方体的中心对称性可知平分，故半径，
则点Q的轨迹长度为，故C错误；
D、由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点的这一空间几何体的球的半径最大值，
结合A项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心在上，
该球与平面切于点S，与平面、平面、平面都相切，
设球心为，则球半径为，易知，
，则球的半径的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法，求出平面的法向量，根据，证明线面垂直即可判断A；取的中点，连接，找到平面截正方体所得的截面即可判断B；作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度即可判断C；由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值即可判断D.
12．【答案】15
【知识点】共线（平行）向量；直线与平面垂直的性质；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】解：因为，依题意，必有，
则存在唯一的实数，使，
所以，
则，
解得：，
则.
故答案为：15.
【分析】由可得，再利用空间向量共线的充要条件，从而列方程组计算得出a，b，的值，进而得出的值.
13．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：以圆拱拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
设圆的方程为：(其中为圆的半径)，
因为拱顶离水面2m，水面宽12m，所以，代入圆的方程中求得，
则圆的方程为：，当水面下降1m后，
设代入圆的方程中得：.
故答案为：.
【分析】以圆拱拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意可以求出找到一个点的坐标，求出圆的方程，再求出当水面下降1m后，水面宽的大小即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为是中点，
所以是的中位线，
则，
可得，，
又因为，
所以，，
则，
所以，双曲线的离心率是.
故答案为：.
【分析】利用三角形的中位线定理、锐角三角函数的正弦定义与余弦的定义，再结合已知条件，从而求出的关系式，再利用双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率.
15．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为可得，解得，
样本成绩的平均数约为，
由于区间，，的频率分别为，
，的频率为，则中位数位于内，
设中位数为x，则，解得x＝75，即中位数为75；
（2）解：由频率分布直方图可知：成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
则总平均数，
总方差.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为列式求出的值，再根据平均数、中位数的计算公式计算即可；
（2） 由频率分布直方图，求出和的市民人数，再根据参考公式计算求解即可.
（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得，
样本成绩的平均数约为．
由于区间，，的频率分别为．
因为，
的频率为，故中位数位于内，
设中位数为x，则，解得x＝75.
（2）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以总平均数，
总方差.
16．【答案】（1）解：由圆，可得，，
易知的坐标为，
则圆的方程为，即；
（2）解：是切线，理由如下：
因为是圆的直径，则，
即，所以直线，是圆的切线；
（3）解：由，可得①，
，②，
①②两式作差可得，
即公共弦的方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由圆方程可得点的坐标，再利用两点距离公式、中点坐标公式计算即可 ；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，及切线的性质判定即可；
（3）化圆的标准方程为一般式，两圆的方程作差求公共弦所在直线方程即可.
（1）易知，，
的坐标为，
所以圆的方程为，
即；
（2）是切线，理由如下：
因为是圆的直径，则，
即，所以直线，是圆的切线；
（3）由，
，
两圆方程作差有，
即公共弦的方程为.
17．【答案】（1）解：选①、在中，，由正弦定理可得，
则，即，
整理得，因为，所以，又因为，所以；
选②、由，可得，
因为，所以，又因为，所以；
选③、，整理可得，则，
因为，所以；
根据余弦定理，可得，
即，整理得，解得或（舍去），
则；
（2）解：由，得，，
因为，则，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，即取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及三角函数的恒等变形求得；
选②，根据向量的数量积及三角形面积公式可得，求得；
选③，整理化简得，利用余弦定理求得，
再根据余弦定理化简求解即可；
（2）由正弦定理得，，再根据恒等变形得，结合正弦型函数性质求解即可．
（1）选①在中，由及正弦定理，得，
则，即，
整理得：，又，
因此，又，
所以.
选②由，得，
因为，所以，又，
所以.
选③由，得到，
所以，
又，所以.
根据余弦定理，
得.
即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，
得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
18．【答案】（1）证明： 在四棱锥中，取中点N，连接，如图所示：
因为为 的中点，且，，所以，，
则四边形为平行四边形，，
又因为平面，不在平面内，所以平面；
（2）解：取 的中点O，连接，
由为等边三角形，可得，
而平面平面，平面平面，平面，则平面，
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：令，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
平面的法向量为，则，
化简得，又，解得，即，
故线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 在四棱锥中，取中点N，连接， 利用中位线性质证出四边形为平行四边形，即可证明平面；
（2）取 的中点O，连接，由题意，推出直线两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式求解即可．
（1）在四棱锥中，取中点N，连接，
由为 的中点，且，，
得，，
则四边形为平行四边形，所以，
而平面，不在平面内，
所以平面.
（2）取 的中点O，连接，
由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面.
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）令，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
平面的法向量为，
于是，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
因为，③
所以，，
则双曲线的方程为.
（2）解：设，
则，，，
设，，
所以，，
因为，
所以，
则，
同理可得，
所以，
则直线的方程为，
联立双曲线的方程，可得，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
则
同理可得，，
则，
所以是定值，定值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦距的定义求出c的值，再利用双曲线的渐近线与直线垂直，则两直线斜率之积等于-1，从而求出a、b的关系式，再利用得出a，b的值，从而得出双曲线C的标准方程.
（2）设直线的方程与双曲线方程联立，从而得到韦达定理式，再利用点M在曲线上满足，从而消元，分别得到，，再将韦达定理式代入得出是定值，并求出此定值.
（1）因为，所以，
因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
又，③
解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则，，
设，，
所以，，
因为，所以，所以，
同理可得，所以，
直线的方程为，
联立双曲线的方程可得，
所以，所以，所以，
因为，即，所以
同理，
，
所以是定值，定值为.
1 / 1广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段考试（12月）数学试题
1．（2025高二上·惠来月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：C.
【分析】解一元二次不等式求得集合B，再根据集合交集的定义求解即可.
2．（2025高二上·惠来月考）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，可知，
所以，且椭圆C的焦点在x轴上，
则椭圆的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】根据椭圆上的点代入法、椭圆的长轴和短轴关系式和焦点的位置关系，从而得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
3．（2025高二上·惠来月考）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：当时，，
解得或，
当时，与重合，不符合；
当时，与不重合，符合，
则“”是“”的充要条件．
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行斜率相等，纵截距不等，再根据检验法，从而分类讨论得出满足要求的a的值，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．（2025高二上·惠来月考）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解： 空间四边形中 ，因为，为中点，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量基本定理求解即可.
5．（2025高二上·惠来月考）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与独立 C．与对立 D．
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果，
则随机试验结果的样本空间，
又因为，.
对于A，因为，所以与互斥，故选项A正确；
对于B，因为，，，
所以，
则与不独立，故选项B错误；
对于C，因为，，
所以与不对立，故选项C错误；
对于D，因为，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】由互斥事件的定义、对立事件的定义和独立事件的定义，则判断出选项A、选项B和选项C；再利用古典概率公式，从而得出事件B的概率，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
6．（2025高二上·惠来月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线的准线上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，准线方程为，
因为，所以点到准线的距离为6，即点的横坐标为4，不妨设点在第一象限，
则点的坐标为，
因为坐标原点关于准线的对称点的坐标为，所以，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点和准线方程，求出关于准线的对称点的坐标，由，结合，利用两点间的距离公式求解即可.
7．（2025高二上·惠来月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：如图所示：
易知双曲线的焦点分别为，
由，可得点 的坐标为，
则直线 斜率为， 直线 斜率为，
设， 则，两式相减得，
整理得，即，
则
故答案为：C.
【分析】易知双曲线的焦点坐标，由，求得点P的坐标，再求直线和直线的斜率，设，利用点差法求，据此求解即可.
8．（2025高二上·惠来月考）一般地，设是一个函数，，记，称函数为的次迭代，并称为的迭代指数.设为自然数，为（十进制）的各数位上数字之和，则（ ）
A．19 B．11 C．8 D．5
【答案】D
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：因为，各位数字之和位19，
，各位数字之和位11，
，各位数字之和位5，
，各位数字之和位8，
，各位数字之和位11，
从开始，结果依次为：，
第150次迭代，从开始，操作148次，
则余1，
所以对应第二个值5，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合n次迭代的方法，从开始计算，从而找到规律，再利用求余的方法，从而得出的值.
9．（2025高二上·惠来月考）为使成为一个圆的方程，的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】正弦函数的性质；二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：要使表示一个圆，
则，化简得，
则或，
解得或，
故的取值可能为，.
故答案为：CD.
【分析】根据二元二次方程表示圆，，结合正弦函数的性质求解判断即可.
10．（2025高二上·惠来月考）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解： 向量，
A、若，则，即，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，当且仅当，
即时等号成立，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式，结合三角恒等变换求解即可判断A；根据向量模长公式求解即可判断B；根据向量数量积坐标公式，结合三角恒等变换求解即可判断C；将平方得到，结合B选项以及余弦函数的性质求解即可判断D.
11．（2025高二上·惠来月考）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体所得的截面图形为正六边形
C．点的轨迹长度为
D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，.
设平面的法向量为，则，
令，可得，因为，所以平面，故A正确；
B、取的中点，连接，如图所示：
结合题意可知，则四点共面且四点共面，两个平面都过点P，六点共面，
易知，
则平面截正方体所得的截面为正六边形，故B正确；
C、由上知平面，设垂足为，以为圆心为半径在平面上作圆，
由题意可知Q轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体，
根据正方体的中心对称性可知平分，故半径，
则点Q的轨迹长度为，故C错误；
D、由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点的这一空间几何体的球的半径最大值，
结合A项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心在上，
该球与平面切于点S，与平面、平面、平面都相切，
设球心为，则球半径为，易知，
，则球的半径的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法，求出平面的法向量，根据，证明线面垂直即可判断A；取的中点，连接，找到平面截正方体所得的截面即可判断B；作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度即可判断C；由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值即可判断D.
12．（2025高二上·惠来月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则 ．
【答案】15
【知识点】共线（平行）向量；直线与平面垂直的性质；直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】解：因为，依题意，必有，
则存在唯一的实数，使，
所以，
则，
解得：，
则.
故答案为：15.
【分析】由可得，再利用空间向量共线的充要条件，从而列方程组计算得出a，b，的值，进而得出的值.
13．（2025高二上·惠来月考）如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为 m.
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：以圆拱拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
设圆的方程为：(其中为圆的半径)，
因为拱顶离水面2m，水面宽12m，所以，代入圆的方程中求得，
则圆的方程为：，当水面下降1m后，
设代入圆的方程中得：.
故答案为：.
【分析】以圆拱拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据题意可以求出找到一个点的坐标，求出圆的方程，再求出当水面下降1m后，水面宽的大小即可.
14．（2025高二上·惠来月考）已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为是中点，
所以是的中位线，
则，
可得，，
又因为，
所以，，
则，
所以，双曲线的离心率是.
故答案为：.
【分析】利用三角形的中位线定理、锐角三角函数的正弦定义与余弦的定义，再结合已知条件，从而求出的关系式，再利用双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率.
15．（2025高二上·惠来月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；
（2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差.
参考公式：其中为总样本平均数.
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为可得，解得，
样本成绩的平均数约为，
由于区间，，的频率分别为，
，的频率为，则中位数位于内，
设中位数为x，则，解得x＝75，即中位数为75；
（2）解：由频率分布直方图可知：成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
则总平均数，
总方差.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为列式求出的值，再根据平均数、中位数的计算公式计算即可；
（2） 由频率分布直方图，求出和的市民人数，再根据参考公式计算求解即可.
（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得，
样本成绩的平均数约为．
由于区间，，的频率分别为．
因为，
的频率为，故中位数位于内，
设中位数为x，则，解得x＝75.
（2）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以总平均数，
总方差.
16．（2025高二上·惠来月考）已知点和以点为圆心的圆.
（1）求出以为直径，点为圆心的圆的方程；
（2）设圆与圆相交于，两点，直线，是圆的切线吗 为什么
（3）求直线的方程.
【答案】（1）解：由圆，可得，，
易知的坐标为，
则圆的方程为，即；
（2）解：是切线，理由如下：
因为是圆的直径，则，
即，所以直线，是圆的切线；
（3）解：由，可得①，
，②，
①②两式作差可得，
即公共弦的方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由圆方程可得点的坐标，再利用两点距离公式、中点坐标公式计算即可 ；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，及切线的性质判定即可；
（3）化圆的标准方程为一般式，两圆的方程作差求公共弦所在直线方程即可.
（1）易知，，
的坐标为，
所以圆的方程为，
即；
（2）是切线，理由如下：
因为是圆的直径，则，
即，所以直线，是圆的切线；
（3）由，
，
两圆方程作差有，
即公共弦的方程为.
17．（2025高二上·惠来月考）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
①；②；③
内角，，的对边分别为，，，已知__________.
（1）若，，求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】（1）解：选①、在中，，由正弦定理可得，
则，即，
整理得，因为，所以，又因为，所以；
选②、由，可得，
因为，所以，又因为，所以；
选③、，整理可得，则，
因为，所以；
根据余弦定理，可得，
即，整理得，解得或（舍去），
则；
（2）解：由，得，，
因为，则，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，即取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理，结合三角形内角和定理以及三角函数的恒等变形求得；
选②，根据向量的数量积及三角形面积公式可得，求得；
选③，整理化简得，利用余弦定理求得，
再根据余弦定理化简求解即可；
（2）由正弦定理得，，再根据恒等变形得，结合正弦型函数性质求解即可．
（1）选①在中，由及正弦定理，得，
则，即，
整理得：，又，
因此，又，
所以.
选②由，得，
因为，所以，又，
所以.
选③由，得到，
所以，
又，所以.
根据余弦定理，
得.
即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，
得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
18．（2025高二上·惠来月考）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.
（1）取线段中点M，连接，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明： 在四棱锥中，取中点N，连接，如图所示：
因为为 的中点，且，，所以，，
则四边形为平行四边形，，
又因为平面，不在平面内，所以平面；
（2）解：取 的中点O，连接，
由为等边三角形，可得，
而平面平面，平面平面，平面，则平面，
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，取，可得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：令，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
平面的法向量为，则，
化简得，又，解得，即，
故线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 在四棱锥中，取中点N，连接， 利用中位线性质证出四边形为平行四边形，即可证明平面；
（2）取 的中点O，连接，由题意，推出直线两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式求解即可．
（1）在四棱锥中，取中点N，连接，
由为 的中点，且，，
得，，
则四边形为平行四边形，所以，
而平面，不在平面内，
所以平面.
（2）取 的中点O，连接，
由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面.
由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线两两垂直，
以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）令，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
平面的法向量为，
于是，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
19．（2025高二上·惠来月考）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线：垂直.
（1）求的标准方程；
（2）点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
因为，③
所以，，
则双曲线的方程为.
（2）解：设，
则，，，
设，，
所以，，
因为，
所以，
则，
同理可得，
所以，
则直线的方程为，
联立双曲线的方程，可得，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
则
同理可得，，
则，
所以是定值，定值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦距的定义求出c的值，再利用双曲线的渐近线与直线垂直，则两直线斜率之积等于-1，从而求出a、b的关系式，再利用得出a，b的值，从而得出双曲线C的标准方程.
（2）设直线的方程与双曲线方程联立，从而得到韦达定理式，再利用点M在曲线上满足，从而消元，分别得到，，再将韦达定理式代入得出是定值，并求出此定值.
（1）因为，所以，
因为双曲线的渐近线与直线：垂直，
所以，②
又，③
解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则，，
设，，
所以，，
因为，所以，所以，
同理可得，所以，
直线的方程为，
联立双曲线的方程可得，
所以，所以，所以，
因为，即，所以
同理，
，
所以是定值，定值为.
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