湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学测试卷
1．（2026高三上·泸溪期末）设函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高三上·泸溪期末）对于函数，若存在区间使得则称函数为“同域函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
①；②；③；④.
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是
A．①②③ B．①② C．②③ D．①②④
4．（2026高三上·泸溪期末）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（ ）
是公比为的等比数列.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2026高三上·泸溪期末）在 中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，则角C的大小是（ ）
A． 或 B． C． D．
6．（2026高三上·泸溪期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：
①三棱锥的体积的最大值为；
②的最小值为；
③点到直线的距离的最小值为．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026高三上·泸溪期末）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高三上·泸溪期末）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C关于原点对称
C．点P的纵坐标的取值范围为
D．直线与曲线C有且仅有两个公共点
10．（2026高三上·泸溪期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2026高三上·泸溪期末）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A． B．
C． D．的面积等于的面积
12．（2026高三上·泸溪期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面BCD，，且，则鳖臑外接球的表面积为 .
13．（2026高三上·泸溪期末）若函数存在两个极值点，且，则 ．
14．（2026高三上·泸溪期末）称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 ．
①若为函数，则；②是函数；
③是函数；④是函数；
⑤若为函数，则．
15．（2026高三上·泸溪期末）已知定义在区间上的函数，，若，存在一个正实数，满足，则称是的“－伴侣函数”，其中的最小值称为“伴侣指数”．
（1）已知，判断函数是否为的“－伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由．
（2）求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）已知，若函数是的“4－伴侣函数”，求实数的取值范围．
16．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线．判断与是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数．
17．（2026高三上·泸溪期末）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若，求的极值；
（2）若，求；
（3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明：.
18．（2026高三上·泸溪期末）已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4．
（1）求的值；
（2）为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．
19．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，，集合．
（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；
（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象如下：
因为函数，
且函数有6个零点等价于有6个解，
等价于或共有6个解
等价于函数与共有6个交点，
又因为，由图可得与有三个交点，
所以与有三个交点，
则直线应位于之间，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】先作出函数的图象，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则将原问题转化为函数与共有6个交点，从而等价于与的图象有三个交点，再结合图象得出非零实数m的取值范围.
2．【答案】C
【知识点】函数的值；导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，可得
∴，
则.
故答案为：C.
【分析】将函数两边同时求导，得，从而代入解方程得出的值，从而得出函数的解析式，再由代入法求出的值.
3．【答案】A
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域
【解析】【解答】解：①当 ，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；
②当，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；
③当，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；
④因为，判断该函数是否有同域区间，则判断该函数和函数y=x是否有两个交点，
根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．
故答案为：①②③．
【分析】利用已知条件和“同城区间”、“同域函数”的定义，从而逐项判断找出存在“同域区间”的“同域函数”的序号.
4．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；函数极限
【解析】【解答】解：由题意，知：，
，
因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
对于①，因为，所以，故①正确；
对于②，因为，故②正确；
对于③，因为，
当时，，所以，故③正确；
对于④，因为，
此时，
所以是公比为的等比数列，故④错误.
故答案为：C.
【分析】由题意知：，，利用等比数列的定义和等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式，再利用代入法抛判断出序号①和序号②；利用等比数列前n项和公式和数列求极限的方法，则判断出序号③；利用数列的通项公式和数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用等比数列的定义，则判断出序号④，从而找出说法正确的序号个数.
5．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵ ，
∴cosA ，
由0＜A＜π，可得A ，
∵ ，∴sinBsinC=
∴ ，即
解得tan2C= ，又
∴2C= 或 ，即C= 或
故答案为：A
【分析】由已知利用余弦定理，得到，可得A ，再利用正弦定理，得到，整理化简得到tan2C= ，即可求出角C的大小 .
6．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在直三棱柱中，平面.
对于①：因为点在棱上，所以，
又因为，，，，点在棱上，
所以，，
则，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；
对于②：如图，将翻折到与矩形共面时连接交于点，
此时取得最小值，
因为，，所以，
则，
所以的最小值为，故②错误；
对于③：如图，建立空间直角坐标系，
设，，，，，
所以，，
则点到直线的距离为：
，
当时，；
当时，，，，
所以，
则当取最大值，且当时，
所以，当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和直三棱柱的结构特征以及锥体的体积公式，则判断序号①；将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，再利用勾股定理求出的最小值，则可判断②；先建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积公式求出点到直线的距离，根据函数求最值的方法，则判断出序号③，从而找出正确结论的序号个数.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为，定义域为R，
令，
则，
所以，
则关于中心对称，
当时，由函数的解析式，可知单调递增，
由函数的图象的对称性，
则当时，单调递增，
所以在上是增函数，
又因为在上是增函数，
所以在上是增函数，
又因为，
所以
则，
所以，
由函数的单调性，
可得：，
解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由函数图象的对称性和单调性，再结合，从而得出，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为，
所以，
易知切线的斜率存在，
又因为曲线在与处的切线互相垂直，
所以，
因为，
不妨设，，
则，，
此时，，
如图，设，，，
则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为），
由图可知，，
易得．
取，得，
经检验，当时，无法使的值取到，和.
故答案为：C．
【分析】根据题意，可得，再利用正弦型函数求值域的方法，从而得出中必有一个为1，另一个为，由此可得，，从而得出，再结合函数的图象，从而可得等腰直角三角形，再利用等腰三角形的结构特征得到，从而对取值得出实数a可能的取值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线的关系；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，设曲线上任一点为，
则，
又因为点关于x轴对称的点为，
代入，得到，不一定成立，故选项A错误；
对于选项B，设曲线上任一点为，
则，
因为点关于原点对称的点为，
代入，得到，成立，故选项B正确；
对于选项C，由，
得到，
看成关于的方程，则，整理得到，
解得，故选项C正确；
对于选项D，由，消，得到，
解得或，
当时，；当时，，
所以直线与曲线C有且仅有两个公共点或，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和图形的对称性，则判断出选项A和选项B；利用判别式法得出点P的纵坐标的取值范围，则判断出选项C；联立直线方程与曲线方程，从而得出直线与曲线C的公共点个数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的周期性；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：每隔两项奇数，出现一项偶数，
则各项为，
所以，
，故A错误；
因为，故B正确；
因为，且，
所以
，
故C正确；
因为
，
所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据数列的周期性得到的值，再利用数列的周期性得到的值，则判断出选项A；根据数列的特征进行分组求和，则判断出选项B；利用已知条件和递推公式，从而求和判断出选项C；根据，从而得到，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A：由几何性质，可知，且，
可得，
所以，故A正确：
对于选项B：设直线的方程为，，
联立方程，消去y可得，
则，所以，
由已知条件，知同号，所以.
则，
可得，
因为，所以，
同理可得，则，故B正确；
对于选项C：因为，
可得，
当且仅当时，，故C错误；
对于选项D：设，由，
可知直线关于直线对称，
所以，
因为，
所以，
则，
所以
，
所以的面积等于的面积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合抛物线的定义和几何性质，则判断出选项A；设直线的方程为，再联立直线方程和抛物线方程，则根据韦达定理可得，则判断出选项B；利用三角函数定义，整理可得，则，从而判断出选项C；利用已知条件和三角形的面积公式，整理可得，，再结合题意得出的面积等于的面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，取的中点为，连接，
因为平面BCD，平面，
所以，，
又因为的中点为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，则，
所以为三棱锥外接球的球心，
又因为，所以，
则，
所以，三棱锥外接球半径为，
则其外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】取的中点为，连接，利用线面垂直的定义得出线线垂直，再利用等边三角形三线合一得出线线垂直，根据线线垂直和线面垂直的推导关系，从而得出点为三棱锥外接球的球心，再利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积.
13．【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，定义域为，
所以，则，，
又因为，所以．
又因为，所以，则，
所以．
故答案为：.
【分析】先求导得到，由极值点的必要条件得到，，结合，解方程从而得出a的值.
14．【答案】②⑤
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于①：对，
对任意的，取，满足，
若，则，
所以，
由，得，且是唯一的，
所以为函数，
但，故①错误；
对于②：因为，
其图象可看作由 的图象向右平移个单位，向下平移2个单位得到，
则的图象关于点中心对称，
所以，对定义域内任意有成立，
函数的定义域为，
值域，
函数在上均为单调函数，
对定义域内任意，取也在定义域内，都有，
若满足，则，
由值域知，则 ，
所以，又因为在上均为单调函数，
则满足的是存在且唯一的，
所以是函数，故②正确；
对于③：因为，定义域为，
取，由，得，
则，解得或，
所以不是唯一的，则不是函数，故③错误；
对于④：因为，取，
由，得，
则，
当时均成立，则不是唯一的，
所以不是函数，故④错误；
对于⑤：若为函数，显然，
则满足的是唯一的 ，
由，
得 ，，
则，
一定可得两根，，
显然，
由函数定义，知，
所以，
则恒成立，所以，
解得．故⑤正确.
故答案为：②⑤.
【分析】利用举例法结合已知条件说明命题不成立，则判断出序号①；根据函数定义的证出函数为函数，则判断出序号②；取时，满足的不是唯一的，再根据函数定义，则判断出函数不是函数，从而判断出序号③；取，满足的有无穷多解，再利用“函数”的定义，则判断出函数不是函数，则判断出序号④；由函数定义得，解一元二次方程得出两根，显然，再求导得出恒成立，从而得出实数的取值范围，则判断出序号⑤，进而找出真命题的序号.
15．【答案】（1）解：假设是的“－伴侣函数”，
则，，
即，
则，，
因为且，所以，
因此，则，（注意等号能否取到）
因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3．
（2）证明：设，，，，，
，
记，则，
记，则，
所以，
因此是的“－伴侣函数”，
则在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）解：由题意，知，，
则，
不妨假设，
则，
所以且，
则函数递增，函数递减，
所以，，
则，，
又因为，
所以，
则．
令，
则，
令，
易知在上单调递减，
则，所以，
则在上单调递减，
所以，因此，
令，
则，
令，
易知在上单调递减，且，，
则，，所以，
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
则，
由，得，
则，因此，
又因为，
所以，
则实数的取值范围为．
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）假设是的“－伴侣函数”，从而得到关于的不等式，进而解不等式求出的取值范围，从而判断出函数是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3．
（2）设出解析式，利用和新定义结合放缩法，从而证出，记，则，从而证出在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）根据已知条件得到函数单调递增，函数单调递减，再利用函数与导数的关系得到关于的不等式，再构造函数，求出函数的最值，进而得出实数a的取值范围．
（1）假设是的“－伴侣函数”，
则，，即，
则，．
（点拨：因为，所以）
因为且，所以，因此，因此，（注意等号能否取到）
因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3．
（2）设，，，，
，
．
记，则，（放缩法的应用）
记，则，即，
因此是的“－伴侣函数”，即在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）由题知，，
即，不妨假设，
则，
则且，
所以函数递增，函数递减，
故，，
则，，又，
故，
所以．
令，则，
（技巧：将的分子写成两项之积的形式，以便确定的正负）
令，易知在上单调递减，则，
故，（提示：当时，，）
则在上单调递减，则，因此．
令，则，
令，易知在上单调递减，且，，
则，，即，（零点存在定理的应用）
当时，，即，则在上单调递增，
当时，，即，则在上单调递减，
则．
由，得，则，
因此．
又，所以，即实数的取值范围为．
16．【答案】解：（1）∵，
∴，
①当时，在上恒成立，
则是上的减函数，故不存在极值；
②当时，由，得，
当时，，则在区间上是减函数；
当时，，则在区间上是增函数，
∴当时有极小值，无极大值．
（2）∵，
∴（且），
令，
①当时，，
∴即恒成立，
则函数单调递增区间是，；
②当时，方程有两个不等的负根，
易知且，则恒成立，
所以，函数单调递增区间是，；
③当时，
方程有两个不等的正根，，
又因为，所以，函数单调递增区间是，；
单调递减区间是，．
（3）假设存在公切线，与、分别切于点，，
因为，，
则公切线：，即，
同时，公切线：，即，
∴，消去，得，
是否存在公切线等价转化为方程在是否有解，
令，①，
由（2）得在，上单调递增，
则，，
所以存在，使得，
又因为，
所以必有，使得，
则方程①只有两解，
所以与是存在两条公切线．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先利用函数，求出函数，再利用求导的方法求出导函数，再由导数的正负判断出函数的单调性，从而得出函数的极值．
（2）先利用函数得出函数，利用求导公式求出，再根据的解的情况分类讨论，则由导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间
（3）根据公切线定义把问题转化为方程在是否有解，先设存在公切线，与、分别切于点，，从而求出两函数图象的切线方程，再由它们是同一条直线得出的关系，再消元得出一元方程，再引入新函数证出新函数在上有两个不等实根，从而得出与存在两条公切线．
17．【答案】（1）解：由题意，得，
则为减函数，
令，得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（2）解：因为，所以，
则，
所以，则，
设，注意到，
所以，则为的极大值点，
由，令，解得，
检验可得，当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以成立，
综上所述，.
（3）证明：由（2）得，
则，，
所以，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
因为，所以，，……，，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
因为，
又因为，所以，则，
所以，则，
所以，则，
又因为，所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；数列的函数特性
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数单调性，从而得到的极值
（2）利用已知条件和放缩法，从而得到，再构造函数，注意到，从而得出为的极大值点，再求导结合，从而检验求出的值.
（3）先求出，求导判断其单调性，则，从而求出，再构造，得到，利用作差法求出，则，从而得出，则，再利用，从而证出不等式成立.
（1）由题意得，
则，为减函数，
令得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值；
（2）因为，所以，
从而，
所以，即，
设，注意到，
所以，即为的极大值点，
由，令，解得，
检验，当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以成立，
综上，；
（3）由（2）得，从而，，
则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，，……，，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
因为，又，所以，
所以，
所以，即，
所以，故，
又，所以，即，证毕.
18．【答案】（1）解：由题意，知，
将代入抛物线方程，得，，
则，
所以，过且垂直于轴的直线截所得线段长为，
由，可知.
（2）解：直线恒过定点，定点坐标为.
理由如下：
设，
由题意可知，直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线的方程为，
与联立得，
因为直线为切线，所以，
又因为，所以，解得，
所以直线，即，
同理可得，直线的方程为，
又因为点在上，
所以，
则直线的方程为：，即，
所以，直线恒过定点．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线方程求出焦点坐标，再由已知条件结合代入法，从而得到，则，进而得出p的值.
（2）设直线的方程为，再将直线MA的方程与联立，再根据判别式法求出，，同理可得，再利用点在直线和直线MB上，则由代入法得出直线的方程，最后变形得出直线AB所过的定点坐标.
（1）由题意知，，将代入抛物线方程得，，
故，故过且垂直于轴的直线截所得线段长为，
由可知；
（2）直线恒过定点，定点坐标为，理由如下：
设，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线的方程为，与联立得，
由于直线为切线．
故，又，
则，解得，
所以直线，即，
同理直线的方程为，
又点在上，所以，
从而直线的方程为：，即，
故直线恒过定点．
19．【答案】（1）解：由，
因为对称轴为，
所以，集合中有且仅有个整数，
则集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则，
解得，
若，即当时，集合，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：若，即当时，
集合，，
因为，所以，
则，
解得；
若，即当时，集合，
则
设集合，
因为，所以，如图所示，
则，
所以，
得，
所以，
可得，
所以，
则，
又因为，
所以，
则，
综上所述，的取值范围是．
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件解不等式，则，分、、三种情况得到集合，再利用二次函数的对称轴分析出，再根据集合中有且仅有3个整数，则个整数只可能是，再由集合列出不等式组，从而解不等式组得出实数的取值范围.
（2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，再根据列出不等式组，再利用不等式的基本性质，从而求出的取值范围．
（1）由，
由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则解得，
若即时，集合，
则解得，
综上所述实数的取值范围是；
（2）若即时，集合，，
因为，所以即解得，
若即时，集合，
则
设集合，因为，即，如图所示，
则即得，
所以可得，所以，所以
又因为，
所以即.
综上所述的取值范围是．
1 / 1湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025-2026学年高三上学期期末数学测试卷
1．（2026高三上·泸溪期末）设函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象如下：
因为函数，
且函数有6个零点等价于有6个解，
等价于或共有6个解
等价于函数与共有6个交点，
又因为，由图可得与有三个交点，
所以与有三个交点，
则直线应位于之间，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】先作出函数的图象，再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则将原问题转化为函数与共有6个交点，从而等价于与的图象有三个交点，再结合图象得出非零实数m的取值范围.
2．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值；导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，可得
∴，
则.
故答案为：C.
【分析】将函数两边同时求导，得，从而代入解方程得出的值，从而得出函数的解析式，再由代入法求出的值.
3．（2026高三上·泸溪期末）对于函数，若存在区间使得则称函数为“同域函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
①；②；③；④.
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是
A．①②③ B．①② C．②③ D．①②④
【答案】A
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的值域
【解析】【解答】解：①当 ，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；
②当，x∈[-1，0]时，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域区间；
③当，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；
④因为，判断该函数是否有同域区间，则判断该函数和函数y=x是否有两个交点，
根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．
故答案为：①②③．
【分析】利用已知条件和“同城区间”、“同域函数”的定义，从而逐项判断找出存在“同域区间”的“同域函数”的序号.
4．（2026高三上·泸溪期末）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，若，下列说法中正确的个数是（ ）
是公比为的等比数列.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；函数极限
【解析】【解答】解：由题意，知：，
，
因为数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
对于①，因为，所以，故①正确；
对于②，因为，故②正确；
对于③，因为，
当时，，所以，故③正确；
对于④，因为，
此时，
所以是公比为的等比数列，故④错误.
故答案为：C.
【分析】由题意知：，，利用等比数列的定义和等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式，再利用代入法抛判断出序号①和序号②；利用等比数列前n项和公式和数列求极限的方法，则判断出序号③；利用数列的通项公式和数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用等比数列的定义，则判断出序号④，从而找出说法正确的序号个数.
5．（2026高三上·泸溪期末）在 中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，则角C的大小是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵ ，
∴cosA ，
由0＜A＜π，可得A ，
∵ ，∴sinBsinC=
∴ ，即
解得tan2C= ，又
∴2C= 或 ，即C= 或
故答案为：A
【分析】由已知利用余弦定理，得到，可得A ，再利用正弦定理，得到，整理化简得到tan2C= ，即可求出角C的大小 .
6．（2026高三上·泸溪期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：
①三棱锥的体积的最大值为；
②的最小值为；
③点到直线的距离的最小值为．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在直三棱柱中，平面.
对于①：因为点在棱上，所以，
又因为，，，，点在棱上，
所以，，
则，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；
对于②：如图，将翻折到与矩形共面时连接交于点，
此时取得最小值，
因为，，所以，
则，
所以的最小值为，故②错误；
对于③：如图，建立空间直角坐标系，
设，，，，，
所以，，
则点到直线的距离为：
，
当时，；
当时，，，，
所以，
则当取最大值，且当时，
所以，当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和直三棱柱的结构特征以及锥体的体积公式，则判断序号①；将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，再利用勾股定理求出的最小值，则可判断②；先建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积公式求出点到直线的距离，根据函数求最值的方法，则判断出序号③，从而找出正确结论的序号个数.
7．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为，定义域为R，
令，
则，
所以，
则关于中心对称，
当时，由函数的解析式，可知单调递增，
由函数的图象的对称性，
则当时，单调递增，
所以在上是增函数，
又因为在上是增函数，
所以在上是增函数，
又因为，
所以
则，
所以，
由函数的单调性，
可得：，
解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由函数图象的对称性和单调性，再结合，从而得出，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
8．（2026高三上·泸溪期末）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为，
所以，
易知切线的斜率存在，
又因为曲线在与处的切线互相垂直，
所以，
因为，
不妨设，，
则，，
此时，，
如图，设，，，
则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为），
由图可知，，
易得．
取，得，
经检验，当时，无法使的值取到，和.
故答案为：C．
【分析】根据题意，可得，再利用正弦型函数求值域的方法，从而得出中必有一个为1，另一个为，由此可得，，从而得出，再结合函数的图象，从而可得等腰直角三角形，再利用等腰三角形的结构特征得到，从而对取值得出实数a可能的取值.
9．（2026高三上·泸溪期末）在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称
B．曲线C关于原点对称
C．点P的纵坐标的取值范围为
D．直线与曲线C有且仅有两个公共点
【答案】B,C,D
【知识点】曲线与方程；直线与圆锥曲线的关系；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，设曲线上任一点为，
则，
又因为点关于x轴对称的点为，
代入，得到，不一定成立，故选项A错误；
对于选项B，设曲线上任一点为，
则，
因为点关于原点对称的点为，
代入，得到，成立，故选项B正确；
对于选项C，由，
得到，
看成关于的方程，则，整理得到，
解得，故选项C正确；
对于选项D，由，消，得到，
解得或，
当时，；当时，，
所以直线与曲线C有且仅有两个公共点或，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和图形的对称性，则判断出选项A和选项B；利用判别式法得出点P的纵坐标的取值范围，则判断出选项C；联立直线方程与曲线方程，从而得出直线与曲线C的公共点个数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．（2026高三上·泸溪期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：．该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数的周期性；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：每隔两项奇数，出现一项偶数，
则各项为，
所以，
，故A错误；
因为，故B正确；
因为，且，
所以
，
故C正确；
因为
，
所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据数列的周期性得到的值，再利用数列的周期性得到的值，则判断出选项A；根据数列的特征进行分组求和，则判断出选项B；利用已知条件和递推公式，从而求和判断出选项C；根据，从而得到，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2026高三上·泸溪期末）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A． B．
C． D．的面积等于的面积
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于选项A：由几何性质，可知，且，
可得，
所以，故A正确：
对于选项B：设直线的方程为，，
联立方程，消去y可得，
则，所以，
由已知条件，知同号，所以.
则，
可得，
因为，所以，
同理可得，则，故B正确；
对于选项C：因为，
可得，
当且仅当时，，故C错误；
对于选项D：设，由，
可知直线关于直线对称，
所以，
因为，
所以，
则，
所以
，
所以的面积等于的面积，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合抛物线的定义和几何性质，则判断出选项A；设直线的方程为，再联立直线方程和抛物线方程，则根据韦达定理可得，则判断出选项B；利用三角函数定义，整理可得，则，从而判断出选项C；利用已知条件和三角形的面积公式，整理可得，，再结合题意得出的面积等于的面积，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2026高三上·泸溪期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面BCD，，且，则鳖臑外接球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，取的中点为，连接，
因为平面BCD，平面，
所以，，
又因为的中点为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，则，
所以为三棱锥外接球的球心，
又因为，所以，
则，
所以，三棱锥外接球半径为，
则其外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】取的中点为，连接，利用线面垂直的定义得出线线垂直，再利用等边三角形三线合一得出线线垂直，根据线线垂直和线面垂直的推导关系，从而得出点为三棱锥外接球的球心，再利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后由球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积.
13．（2026高三上·泸溪期末）若函数存在两个极值点，且，则 ．
【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，定义域为，
所以，则，，
又因为，所以．
又因为，所以，则，
所以．
故答案为：.
【分析】先求导得到，由极值点的必要条件得到，，结合，解方程从而得出a的值.
14．（2026高三上·泸溪期末）称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 ．
①若为函数，则；②是函数；
③是函数；④是函数；
⑤若为函数，则．
【答案】②⑤
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的概念及其构成要素；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：对于①：对，
对任意的，取，满足，
若，则，
所以，
由，得，且是唯一的，
所以为函数，
但，故①错误；
对于②：因为，
其图象可看作由 的图象向右平移个单位，向下平移2个单位得到，
则的图象关于点中心对称，
所以，对定义域内任意有成立，
函数的定义域为，
值域，
函数在上均为单调函数，
对定义域内任意，取也在定义域内，都有，
若满足，则，
由值域知，则 ，
所以，又因为在上均为单调函数，
则满足的是存在且唯一的，
所以是函数，故②正确；
对于③：因为，定义域为，
取，由，得，
则，解得或，
所以不是唯一的，则不是函数，故③错误；
对于④：因为，取，
由，得，
则，
当时均成立，则不是唯一的，
所以不是函数，故④错误；
对于⑤：若为函数，显然，
则满足的是唯一的 ，
由，
得 ，，
则，
一定可得两根，，
显然，
由函数定义，知，
所以，
则恒成立，所以，
解得．故⑤正确.
故答案为：②⑤.
【分析】利用举例法结合已知条件说明命题不成立，则判断出序号①；根据函数定义的证出函数为函数，则判断出序号②；取时，满足的不是唯一的，再根据函数定义，则判断出函数不是函数，从而判断出序号③；取，满足的有无穷多解，再利用“函数”的定义，则判断出函数不是函数，则判断出序号④；由函数定义得，解一元二次方程得出两根，显然，再求导得出恒成立，从而得出实数的取值范围，则判断出序号⑤，进而找出真命题的序号.
15．（2026高三上·泸溪期末）已知定义在区间上的函数，，若，存在一个正实数，满足，则称是的“－伴侣函数”，其中的最小值称为“伴侣指数”．
（1）已知，判断函数是否为的“－伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由．
（2）求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）已知，若函数是的“4－伴侣函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：假设是的“－伴侣函数”，
则，，
即，
则，，
因为且，所以，
因此，则，（注意等号能否取到）
因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3．
（2）证明：设，，，，，
，
记，则，
记，则，
所以，
因此是的“－伴侣函数”，
则在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）解：由题意，知，，
则，
不妨假设，
则，
所以且，
则函数递增，函数递减，
所以，，
则，，
又因为，
所以，
则．
令，
则，
令，
易知在上单调递减，
则，所以，
则在上单调递减，
所以，因此，
令，
则，
令，
易知在上单调递减，且，，
则，，所以，
当时，，即，则在上单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
则，
由，得，
则，因此，
又因为，
所以，
则实数的取值范围为．
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）假设是的“－伴侣函数”，从而得到关于的不等式，进而解不等式求出的取值范围，从而判断出函数是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3．
（2）设出解析式，利用和新定义结合放缩法，从而证出，记，则，从而证出在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）根据已知条件得到函数单调递增，函数单调递减，再利用函数与导数的关系得到关于的不等式，再构造函数，求出函数的最值，进而得出实数a的取值范围．
（1）假设是的“－伴侣函数”，
则，，即，
则，．
（点拨：因为，所以）
因为且，所以，因此，因此，（注意等号能否取到）
因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3．
（2）设，，，，
，
．
记，则，（放缩法的应用）
记，则，即，
因此是的“－伴侣函数”，即在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”．
（3）由题知，，
即，不妨假设，
则，
则且，
所以函数递增，函数递减，
故，，
则，，又，
故，
所以．
令，则，
（技巧：将的分子写成两项之积的形式，以便确定的正负）
令，易知在上单调递减，则，
故，（提示：当时，，）
则在上单调递减，则，因此．
令，则，
令，易知在上单调递减，且，，
则，，即，（零点存在定理的应用）
当时，，即，则在上单调递增，
当时，，即，则在上单调递减，
则．
由，得，则，
因此．
又，所以，即实数的取值范围为．
16．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）定义：同时相切于两条（或两条以上）的曲线的直线叫做两条（或两条以上）的曲线公切线．判断与是否存在公切线，如果不存在，请说明理由，如果存在请指出公切线的条数．
【答案】解：（1）∵，
∴，
①当时，在上恒成立，
则是上的减函数，故不存在极值；
②当时，由，得，
当时，，则在区间上是减函数；
当时，，则在区间上是增函数，
∴当时有极小值，无极大值．
（2）∵，
∴（且），
令，
①当时，，
∴即恒成立，
则函数单调递增区间是，；
②当时，方程有两个不等的负根，
易知且，则恒成立，
所以，函数单调递增区间是，；
③当时，
方程有两个不等的正根，，
又因为，所以，函数单调递增区间是，；
单调递减区间是，．
（3）假设存在公切线，与、分别切于点，，
因为，，
则公切线：，即，
同时，公切线：，即，
∴，消去，得，
是否存在公切线等价转化为方程在是否有解，
令，①，
由（2）得在，上单调递增，
则，，
所以存在，使得，
又因为，
所以必有，使得，
则方程①只有两解，
所以与是存在两条公切线．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）先利用函数，求出函数，再利用求导的方法求出导函数，再由导数的正负判断出函数的单调性，从而得出函数的极值．
（2）先利用函数得出函数，利用求导公式求出，再根据的解的情况分类讨论，则由导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间
（3）根据公切线定义把问题转化为方程在是否有解，先设存在公切线，与、分别切于点，，从而求出两函数图象的切线方程，再由它们是同一条直线得出的关系，再消元得出一元方程，再引入新函数证出新函数在上有两个不等实根，从而得出与存在两条公切线．
17．（2026高三上·泸溪期末）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若，求的极值；
（2）若，求；
（3）利用（2）中求得的，若，数列满足，且，证明：.
【答案】（1）解：由题意，得，
则为减函数，
令，得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（2）解：因为，所以，
则，
所以，则，
设，注意到，
所以，则为的极大值点，
由，令，解得，
检验可得，当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以成立，
综上所述，.
（3）证明：由（2）得，
则，，
所以，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
因为，所以，，……，，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
因为，
又因为，所以，则，
所以，则，
所以，则，
又因为，所以，
则.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；数列的函数特性
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用导数的正负判断函数单调性，从而得到的极值
（2）利用已知条件和放缩法，从而得到，再构造函数，注意到，从而得出为的极大值点，再求导结合，从而检验求出的值.
（3）先求出，求导判断其单调性，则，从而求出，再构造，得到，利用作差法求出，则，从而得出，则，再利用，从而证出不等式成立.
（1）由题意得，
则，为减函数，
令得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值；
（2）因为，所以，
从而，
所以，即，
设，注意到，
所以，即为的极大值点，
由，令，解得，
检验，当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以成立，
综上，；
（3）由（2）得，从而，，
则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，，……，，
令，
则，
所以在上单调递减，且，
因为，又，所以，
所以，
所以，即，
所以，故，
又，所以，即，证毕.
18．（2026高三上·泸溪期末）已知点为抛物线：的焦点，过且垂直于轴的直线截所得线段长为4．
（1）求的值；
（2）为抛物线的准线上任意一点，过点作MA，MB与相切，A，B为切点，则直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．
【答案】（1）解：由题意，知，
将代入抛物线方程，得，，
则，
所以，过且垂直于轴的直线截所得线段长为，
由，可知.
（2）解：直线恒过定点，定点坐标为.
理由如下：
设，
由题意可知，直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线的方程为，
与联立得，
因为直线为切线，所以，
又因为，所以，解得，
所以直线，即，
同理可得，直线的方程为，
又因为点在上，
所以，
则直线的方程为：，即，
所以，直线恒过定点．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线方程求出焦点坐标，再由已知条件结合代入法，从而得到，则，进而得出p的值.
（2）设直线的方程为，再将直线MA的方程与联立，再根据判别式法求出，，同理可得，再利用点在直线和直线MB上，则由代入法得出直线的方程，最后变形得出直线AB所过的定点坐标.
（1）由题意知，，将代入抛物线方程得，，
故，故过且垂直于轴的直线截所得线段长为，
由可知；
（2）直线恒过定点，定点坐标为，理由如下：
设，
由题意可知直线的斜率均存在，且不为0，，
设直线的方程为，与联立得，
由于直线为切线．
故，又，
则，解得，
所以直线，即，
同理直线的方程为，
又点在上，所以，
从而直线的方程为：，即，
故直线恒过定点．
19．（2026高三上·泸溪期末）已知函数，，集合．
（1）若集合中有且仅有个整数，求实数的取值范围；
（2）集合，若存在实数，使得，求实数b的取值范围．
【答案】（1）解：由，
因为对称轴为，
所以，集合中有且仅有个整数，
则集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则，
解得，
若，即当时，集合，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）解：若，即当时，
集合，，
因为，所以，
则，
解得；
若，即当时，集合，
则
设集合，
因为，所以，如图所示，
则，
所以，
得，
所以，
可得，
所以，
则，
又因为，
所以，
则，
综上所述，的取值范围是．
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件解不等式，则，分、、三种情况得到集合，再利用二次函数的对称轴分析出，再根据集合中有且仅有3个整数，则个整数只可能是，再由集合列出不等式组，从而解不等式组得出实数的取值范围.
（2）分和两种情况分别写出集合， 对应的解集，再根据列出不等式组，再利用不等式的基本性质，从而求出的取值范围．
（1）由，
由于对称轴为，所以，集合中有且仅有个整数，所以集合的个整数只可能是，
若即时，集合与题意矛盾，所以；
若即时，集合，
则解得，
若即时，集合，
则解得，
综上所述实数的取值范围是；
（2）若即时，集合，，
因为，所以即解得，
若即时，集合，
则
设集合，因为，即，如图所示，
则即得，
所以可得，所以，所以
又因为，
所以即.
综上所述的取值范围是．
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