广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·惠来月考）设集合且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用元素与集合的关系和x的取值范围以及对数型函数求定义域的方法，从而求出集合M和N，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高一上·惠来月考）若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若a＜b＜0，则
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，当时不成立，故A错误；
对于B，因为，不等式两边同时乘以，所以，
将不等式两边同时乘以，，所以，故B正确；
对于C，取，时，，，则不成立，故C错误；
对于D，若a＜b＜0，则，所以，
又因为，所以，故D不正确．
故答案为：B．
【分析】利用举反例的方法判断出选项A和选项C；利用不等式的基本性质判断出选项B和选项D，从而找出真命题的选项.
3．（2025高一上·惠来月考）已知函数满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：，
令，则，，
，
则，，
，.
故答案为：A.
【分析】利用换元法求解函数的解析式即可.
4．（2025高一上·惠来月考）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】解：先画出的函数图象，
再向左平移1个单位长度，
再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像.
故答案为：B.
【分析】先作出的函数图象，再经过图象变换和图形的对称性，从而得出函数的大致图象.
5．（2025高一上·惠来月考）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
6．（2025高一上·惠来月考）已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为
所以
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
7．（2025高一上·惠来月考）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由函数的图象无限接近于直线，
但不与该直线相交，可得，
又因为函数的图象过原点，
所以，则.
故答案为：C.
【分析】由函数的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，从而可得的值，再将原点坐标代入该函数的解析式，从而可得的值，进而找出正确的选项.
8．（2025高一上·惠来月考）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作函数与的图象如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，
则，且，
所以，
则，
所以
则，
所以，
当时，得或，
则，；
所以，，
则函数，在上为减函数，在上为增函数，
所以，当时，取得最小值为；当时，函数值最大值为.
则取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先作出函数与的图象，从而得到关于对称，再利用图象的对称性得出，再根据已知条件和对勾函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的取值范围.
9．（2025高一上·惠来月考）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，.
B．关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是.
C．“”是“”的必要而不充分条件.
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于A：含量词的命题的否定，一是改变量词，二是否定结论，
所以，将“”改为“”，
则将“”的否定为“”，故A正确；
对于B：当时，不等式恒成立转化为对一切实数都成立；
当时，要使不等式恒成立，
须二次函数开口向下，且与轴无交点，
所以，
解得，
综上所述，实数的取值范围是，故B错误；
对于C：当时，比如，此时；
当时，比如，此时；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D：当时，，
则方程有两个不等实根，且，
所以两根一正一负；
若关于的方程有一正一负两个实根，
则，
解得，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则判断出选项A；利用分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，再利用二次函数的图象结合二次函数的开口方向、判别式法，从而得出实数k的取值范围，则判断出选项B；由不等式的基本性质、一元二次方程根与系数的关系式，再利用充分条件、必要条件的判断方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高一上·惠来月考）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，由基本不等式，可得，
则，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，因为，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，因为，
当且仅当时等号成立.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项B；利用“1”的代换结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高一上·惠来月考）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】解：对于选项A，记．
因为，
所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，
则，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记，
若为奇函数，则，，
所以，
则，
所以．
上式化简得，．
则，
解得
则当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，，
当时，是减函数，，
所以，故选项D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用中心对称函数的性质，再利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则判断出选项A；再利用选项A可知，从而得出，进而得出的值，则判断出选项B；利用已知条件和图象的对称性，则判断出选项C；利用选项C和不等式恒成立问题求解方法以及函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高一上·惠来月考）函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，
由题意，得，
解得，且为开口向下，对称轴为的抛物线，
则当时，单调递增；当时，单调递减，
因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】令，根据函数的定义域可得x的取值范围，再利用复合函数单调性，即“同增异减”的原则求解单调递减区间即可.
13．（2025高一上·惠来月考）若方程的解所在区间为，，则k的值为 ．
【答案】3
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
则在上连续，且单调递增，
因为，，
所以的零点在内，
则方程的解所在区间为，
所以k的值为3．
故答案为：.
【分析】令，则函数零点所在区间为，再利用零点存在定理和函数的单调性并结合函数零点与方程的解的等价关系可得出k的值．
14．（2025高一上·惠来月考）幂函数没有零点，则函数恒过定点
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质；幂函数的概念与表示；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为是幂函数，
所以系数，则，
化简得，解得或，
当时，指数，幂函数为，
因为幂函数的定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意；
当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，则，
则函数，
令，则，此时，
所以恒过定点.
故答案为：.
【分析】根据幂函数系数为，从而求出的值，再代入函数结合对数型函数的图象特征，从而可得定点坐标.
15．（2025高一上·惠来月考）已知命题：关于的方程有实数根，命题：.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为命题为真命题，
又因为：关于的方程有实数根，
所以，
解得，
则实数的取值范围为.
（2）解：因为命题：，命题：，
又因为是的必要不充分条件，
所以，
解得，
则的取值范围为.
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据命题为真，则方程有解，再利用判别式法列出关于a的不等式，从而求解得出实数a的取值范围.
（2）根据已知条件和必要不充分条件的判断方法，从而列不等式得出实数m的取值范围.
（1）命题为真命题，：关于的方程有实数根，
则，解得，
故实数的取值范围为.
（2）：，：.
是的必要不充分条件，则，解得.
故的取值范围为.
16．（2025高一上·惠来月考）已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）当时，，
由题意，知．
又因为是定义在上的奇函数，
所以．
则当时，，
所以函数的解析式为.
（2）因为，
所以，
则，
①当时，原不等式等价于，解得；
②当时，原不等式等价于，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）设，则，再利用代入法和已知条件，则求出的表达式，再利用奇函数的定义，从而得出当时的函数的解析式，进而得出分段函数的解析式.
（2）由和，则得出，对的取值分和两种情况讨论，再利用对数函数的单调性，从而求出实数的取值范围.
17．（2025高一上·惠来月考）已知函数为奇函数.
（1）用函数单调性的定义证明：在区间上是单调递增；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
【答案】（1）证明：∵为奇函数，定义域为∴
∴ ，
则，∴
∴.
证明：设，，
则
∵
∴，，
∴，
则，
∴在区间上单调递增.
（2）解：∵对任意的，不等式恒成立，
∴，
∵由（1）知：在区间上单调递增，
∴在区间上单调递增，
∴，
∴，
则，
解得：或.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义得出a的值，再结合函数单调性的定义证明即可.
（2）由题意知：，求出，解关于m的一元二次不等式，从而得出实数m的取值范围.
（1）∵为奇函数，定义域为
∴
∴ 即：
∴
∴
证明：设，，
则
∵
∴，
∴，即：
∴在区间上单调递增.
（2）∵对任意的，不等式恒成立，
∴
∵由（1）知：在区间上单调递增
∴在区间上单调递增
∴
∴，即：
解得：或.
18．（2025高一上·惠来月考）为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2025年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的20%，预计收益.
（1）分别判断以下三个函数模型：，，，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：，，，）
（2）已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
因为，
所以当时，，
则奖金超过90万，不满足要求；
因为函数模型，
当时，，
此时奖金超过收益的，不满足要求；
因为函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
当时，，满足奖金不超过90万元，
又因为时，
所以，则，
因此
则，
所以该模型满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
（2）解：设函数模型符合公司奖励方案的要求，
则奖金随收益增加而增加，所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，恒成立，则，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证，从而得出该模型满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
（2）设函数模型符合公司奖励方案的要求，则奖金随收益增加而增加，再根据题中的标准结合分类讨论的方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
因为，所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求；
函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求；
函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
当时，，满足奖金不超过90万元，
又因为时，所以，则，因此即，所以该模型满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
（2）设函数模型符合公司奖励方案的要求，
则奖金随收益增加而增加，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，恒成立，
即，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
19．（2025高一上·惠来月考）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，求在区间上的最大值；
（3）是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：取，则，
∴，
取，，则，
∴对任意恒成立，
∴为奇函数；
（2）解：任取且， 则，
因为，故，
令，则有，
即，
∵时，，
故时，，
∴，
∴．
故为上的减函数．
∴，，
∵，，
令，则，故，
因为
令，则，即，
由（1）知：为奇函数，故，
故，解得：，
故，
故在上的最大值为6；
（3）解：∵在上是减函数，
∴，
∵，对所有，恒成立．
∴，恒成立；
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或．
∴实数a的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数为奇函数。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，进而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性和奇函数的定义，进而得出 在区间上的最大值。
（3）利用已知条件结合函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
1 / 1广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·惠来月考）设集合且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高一上·惠来月考）若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若a＜b＜0，则
3．（2025高一上·惠来月考）已知函数满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·惠来月考）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·惠来月考）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·惠来月考）已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2025高一上·惠来月考）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·惠来月考）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·惠来月考）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，.
B．关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是.
C．“”是“”的必要而不充分条件.
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
10．（2025高一上·惠来月考）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．（2025高一上·惠来月考）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
12．（2025高一上·惠来月考）函数的单调递减区间为 ．
13．（2025高一上·惠来月考）若方程的解所在区间为，，则k的值为 ．
14．（2025高一上·惠来月考）幂函数没有零点，则函数恒过定点
15．（2025高一上·惠来月考）已知命题：关于的方程有实数根，命题：.
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．（2025高一上·惠来月考）已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2025高一上·惠来月考）已知函数为奇函数.
（1）用函数单调性的定义证明：在区间上是单调递增；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
18．（2025高一上·惠来月考）为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2025年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的20%，预计收益.
（1）分别判断以下三个函数模型：，，，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：，，，）
（2）已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.
19．（2025高一上·惠来月考）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断的单调性，求在区间上的最大值；
（3）是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意，得，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用元素与集合的关系和x的取值范围以及对数型函数求定义域的方法，从而求出集合M和N，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，当时不成立，故A错误；
对于B，因为，不等式两边同时乘以，所以，
将不等式两边同时乘以，，所以，故B正确；
对于C，取，时，，，则不成立，故C错误；
对于D，若a＜b＜0，则，所以，
又因为，所以，故D不正确．
故答案为：B．
【分析】利用举反例的方法判断出选项A和选项C；利用不等式的基本性质判断出选项B和选项D，从而找出真命题的选项.
3．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：，
令，则，，
，
则，，
，.
故答案为：A.
【分析】利用换元法求解函数的解析式即可.
4．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象；反射、平衡和旋转变换
【解析】【解答】解：先画出的函数图象，
再向左平移1个单位长度，
再沿y轴做出轴对称图形即可得到函数的图像.
故答案为：B.
【分析】先作出的函数图象，再经过图象变换和图形的对称性，从而得出函数的大致图象.
5．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为
所以
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
7．【答案】C
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由函数的图象无限接近于直线，
但不与该直线相交，可得，
又因为函数的图象过原点，
所以，则.
故答案为：C.
【分析】由函数的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，从而可得的值，再将原点坐标代入该函数的解析式，从而可得的值，进而找出正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；图形的对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作函数与的图象如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，
则，且，
所以，
则，
所以
则，
所以，
当时，得或，
则，；
所以，，
则函数，在上为减函数，在上为增函数，
所以，当时，取得最小值为；当时，函数值最大值为.
则取值范围是.
故答案为：D.
【分析】先作出函数与的图象，从而得到关于对称，再利用图象的对称性得出，再根据已知条件和对勾函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于A：含量词的命题的否定，一是改变量词，二是否定结论，
所以，将“”改为“”，
则将“”的否定为“”，故A正确；
对于B：当时，不等式恒成立转化为对一切实数都成立；
当时，要使不等式恒成立，
须二次函数开口向下，且与轴无交点，
所以，
解得，
综上所述，实数的取值范围是，故B错误；
对于C：当时，比如，此时；
当时，比如，此时；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D：当时，，
则方程有两个不等实根，且，
所以两根一正一负；
若关于的方程有一正一负两个实根，
则，
解得，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由全称量词命题的否定为特称量词命题，则判断出选项A；利用分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法，再利用二次函数的图象结合二次函数的开口方向、判别式法，从而得出实数k的取值范围，则判断出选项B；由不等式的基本性质、一元二次方程根与系数的关系式，再利用充分条件、必要条件的判断方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，由基本不等式，可得，
则，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，因为，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，因为，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，因为，
当且仅当时等号成立.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项B；利用“1”的代换结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】解：对于选项A，记．
因为，
所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，
则，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记，
若为奇函数，则，，
所以，
则，
所以．
上式化简得，．
则，
解得
则当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，，
当时，是减函数，，
所以，故选项D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用中心对称函数的性质，再利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则判断出选项A；再利用选项A可知，从而得出，进而得出的值，则判断出选项B；利用已知条件和图象的对称性，则判断出选项C；利用选项C和不等式恒成立问题求解方法以及函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，
由题意，得，
解得，且为开口向下，对称轴为的抛物线，
则当时，单调递增；当时，单调递减，
因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，
所以的单调递减区间为.
故答案为：.
【分析】令，根据函数的定义域可得x的取值范围，再利用复合函数单调性，即“同增异减”的原则求解单调递减区间即可.
13．【答案】3
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
则在上连续，且单调递增，
因为，，
所以的零点在内，
则方程的解所在区间为，
所以k的值为3．
故答案为：.
【分析】令，则函数零点所在区间为，再利用零点存在定理和函数的单调性并结合函数零点与方程的解的等价关系可得出k的值．
14．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质；幂函数的概念与表示；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为是幂函数，
所以系数，则，
化简得，解得或，
当时，指数，幂函数为，
因为幂函数的定义域为，函数值恒不为，没有零点，符合题意；
当时，指数，幂函数为，有零点，不符合题意，则，
则函数，
令，则，此时，
所以恒过定点.
故答案为：.
【分析】根据幂函数系数为，从而求出的值，再代入函数结合对数型函数的图象特征，从而可得定点坐标.
15．【答案】（1）解：因为命题为真命题，
又因为：关于的方程有实数根，
所以，
解得，
则实数的取值范围为.
（2）解：因为命题：，命题：，
又因为是的必要不充分条件，
所以，
解得，
则的取值范围为.
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据命题为真，则方程有解，再利用判别式法列出关于a的不等式，从而求解得出实数a的取值范围.
（2）根据已知条件和必要不充分条件的判断方法，从而列不等式得出实数m的取值范围.
（1）命题为真命题，：关于的方程有实数根，
则，解得，
故实数的取值范围为.
（2）：，：.
是的必要不充分条件，则，解得.
故的取值范围为.
16．【答案】解：（1）当时，，
由题意，知．
又因为是定义在上的奇函数，
所以．
则当时，，
所以函数的解析式为.
（2）因为，
所以，
则，
①当时，原不等式等价于，解得；
②当时，原不等式等价于，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）设，则，再利用代入法和已知条件，则求出的表达式，再利用奇函数的定义，从而得出当时的函数的解析式，进而得出分段函数的解析式.
（2）由和，则得出，对的取值分和两种情况讨论，再利用对数函数的单调性，从而求出实数的取值范围.
17．【答案】（1）证明：∵为奇函数，定义域为∴
∴ ，
则，∴
∴.
证明：设，，
则
∵
∴，，
∴，
则，
∴在区间上单调递增.
（2）解：∵对任意的，不等式恒成立，
∴，
∵由（1）知：在区间上单调递增，
∴在区间上单调递增，
∴，
∴，
则，
解得：或.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由奇函数的定义得出a的值，再结合函数单调性的定义证明即可.
（2）由题意知：，求出，解关于m的一元二次不等式，从而得出实数m的取值范围.
（1）∵为奇函数，定义域为
∴
∴ 即：
∴
∴
证明：设，，
则
∵
∴，
∴，即：
∴在区间上单调递增.
（2）∵对任意的，不等式恒成立，
∴
∵由（1）知：在区间上单调递增
∴在区间上单调递增
∴
∴，即：
解得：或.
18．【答案】（1）解：因为函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
因为，
所以当时，，
则奖金超过90万，不满足要求；
因为函数模型，
当时，，
此时奖金超过收益的，不满足要求；
因为函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
当时，，满足奖金不超过90万元，
又因为时，
所以，则，
因此
则，
所以该模型满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
（2）解：设函数模型符合公司奖励方案的要求，
则奖金随收益增加而增加，所以，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，恒成立，则，
又因为，当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证，从而得出该模型满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
（2）设函数模型符合公司奖励方案的要求，则奖金随收益增加而增加，再根据题中的标准结合分类讨论的方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
因为，所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求；
函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求；
函数模型，满足奖金随收益增加而增加，
当时，，满足奖金不超过90万元，
又因为时，所以，则，因此即，所以该模型满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.
（2）设函数模型符合公司奖励方案的要求，
则奖金随收益增加而增加，所以，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，恒成立，
即，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
19．【答案】（1）解：取，则，
∴，
取，，则，
∴对任意恒成立，
∴为奇函数；
（2）解：任取且， 则，
因为，故，
令，则有，
即，
∵时，，
故时，，
∴，
∴．
故为上的减函数．
∴，，
∵，，
令，则，故，
因为
令，则，即，
由（1）知：为奇函数，故，
故，解得：，
故，
故在上的最大值为6；
（3）解：∵在上是减函数，
∴，
∵，对所有，恒成立．
∴，恒成立；
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或．
∴实数a的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出函数为奇函数。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，进而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性和奇函数的定义，进而得出 在区间上的最大值。
（3）利用已知条件结合函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
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