人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理6.1第1课时两个计数原理及其简单应用课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际计数问题.
[学习目标]
[情境导入]
同学们，假设你想从家到学校，有3条不同的公交路线和2条自行车路线可选，那么你有多少种出行方式？如果中途还要去一家便利店，而便利店到学校又有4条路，这时总路线又该如何计算？生活中这类“如何算清所有可能”的问题，正是分类加法计数原理与分步乘法计数原理的用武之地. 今天我们就从这些日常场景出发，揭开高效计数的数学法则！
知识点一　分类加法计数原理　
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法.
[微点拨]　(1)分类加法计数原理中两类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
(2)推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
m＋n
[例1]　(1)(北师版选修一例题)在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有多少个？
解　能够被5整除的数，末位数字是0或5，因此，我们把1，2，3，…，200中能够被5整除的数分成2类来计数：
第1类，末位数字是0的数，共有20个；
第2类，末位数字是5的数，共有20个.
根据分类加法计数原理，在1，2，3，…，200中，能够被5整除的数共有N＝20＋20＝40个.
解　用R表示红色，用B表示蓝色，例如，RBRB表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色.
因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻.
涂红色的格子相邻的方法有：RRBB，BRRB，BBRR，共3种；
涂红色的格子不相邻的方法有：RBRB，BRBR，RBBR，共3种.
依据分类加法计数原理，李明共有3＋3＝6种不同的涂法.
(2)(人教B版选修二例题)在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子(如图所示)，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？
[反思归纳]　利用分类加法计数原理的解题流程
【提醒】　分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”.
1.某中学需从师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为(　　)
A.6 B.5 C.3 D.2
解析　选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法.根据分类加法计数原理，可知不同的选法种数为3＋2＝5，故选B.
B
A.25 B.20 C.10 D.16
解析　若焦点在x轴上，必有a>b，则a可取5，7，9，11，共4种可能，b可取3，5，7，9，共4种可能.若a＝5，则b＝3，1个椭圆；若a＝7，则b＝3，5，2个椭圆；若a＝9，则b＝3，5，7，3个椭圆；若a＝11，则b＝3，5，7，9，4个椭圆，所以共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆.故选C.
C
知识点二　分步乘法计数原理　
m×n
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法.
[微点拨]　(1)完成一件事的两个步骤，缺一不可，其中的一步不能独立完成这件事.
(2)推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法.
[例2]　(1)(人教B版选修二例题)用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？
解　排成一个三位数，可以分为三步：
第一步，确定百位上的数字，共有5种方法；
第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法；
第三步，确定个位上的数字，共有3种方法.
依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为5×4×3＝60.
(2)(苏教版选修二例题)3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？
解　第一名同学选1本电子书有5种不同的选法，第二、第三名同学各选1本电子书，仍各有5种不同的选法.因此，根据分步乘法计数原理，3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是5×5×5＝125.
[反思归纳]　利用分步乘法计数原理解题的一般思路
1.分步：将完成一件事的过程分成若干步.
2.计数：求出每一步中的方法数.
3.结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.
【提醒】　应用分步乘法计数原理时，完成一件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.
3.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有(　　)
A.6种 B.24种 C.64种 D.81种
解析　每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34＝81(种).故选D.
D
4.在如图所示的电路(规定只能闭合其中2个开关)中，接通电源使灯泡发光的方法有______种.
解析　由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以接通电源使灯泡发光的方法种数为2×3＝6.
6
知识点三　两个计数原理的简单应用
[例3]　(北师版选修一例题)有一项活动，需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加.
(1)若只需1名参加，共有多少种选法？
解　只要选出1名就可以完成这件事，而选出的1名有3种不同类型，即教师、男学生或女学生，因此要分3类相加：
第1类，选出的是教师，有3种选法；
第2类，选出的是男学生，有8种选法；
第3类，选出的是女学生，有5种选法.
根据分类加法计数原理，共有N＝3＋8＋5＝16种选法.
(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加，共有多少种选法？
解　完成这件事，需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生，可以先选教师，再选男学生，最后选女学生，因此要分3步相乘：
第1步，选1名教师，有3种选法；
第2步，选1名男学生，有8种选法；
第3步，选1名女学生，有5种选法.
根据分步乘法计数原理，共有N＝3×8×5＝120种选法.
[反思归纳]
1.使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是将较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决.
2.应用两个计数原理解题的四个步骤
(1)明确完成的这件事是什么.
(2)思考如何完成这件事.
(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类.
(4)选择计数原理进行计算.
5.(苏教版选修二例题)为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码.在某网站设置的邮箱中.
(1)若密码为4位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
解　设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0～9这10个数字中任取1个，有10种取法.根据分步乘法计数原理，4位密码的个数是
10×10×10×10＝10 000.
(2)若密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
解　设置的密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类.其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106.根据分类加法计数原理，设置由数字0～9组成的4～6位密码的个数是
104＋105＋106＝1 110 000.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
正确区分“分类”用加法(独立完成)与“分步”用乘法(依次完成)，避免混
淆两类原理！
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.( )
(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )
×
√
√
√
2.(多选)现有红球4个，黄球5个，绿球6个，且相同颜色的球也各不相同，则下列说法正确的是(　　)
A.从中任选1个球，有15种不同的选法
B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
解析　对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，故A正确；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，故B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，故C错误；对于D，若要不放回地依次选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，故D正确.故选ABD.
ABD
3.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游客从上山到下山共有____________种不同的走法.
解析　依题意，游客上山有5种方法，下山有5种方法，由分步乘法计数原理知，从上山到下山的方法共有5×5＝25(种)，所以游客从上山到下山共有25种不同的走法.
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4.已知直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax＋By＝0可表示______条不同的直线.
解析　当A＝0时，可表示1条直线；当B＝0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4＝20条不同的直线.由分类加法计数原理知，共可表示1＋1＋20＝22条不同的直线.
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[基础巩固]
1.音乐播放器里存有10首中文歌曲、8首英文歌曲、3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，不同的选法有(　　)
A.21种 B.30种 C.160种 D.240种
解析　依题意一共有10＋8＋3＝21种选法.
A
1
2
3
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4
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15
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6
2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这 3名学生的参赛的不同方法有(　　)
A.24种 B.48种 C.64种 D.81种
解析　由于每班每项限报1人，故当前面的学生报了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24 种不同的参赛方法.故选A.
A
1
2
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6
6
3.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是(　　)
A.8 B.6 C.10 D.14
解析　分两类情况讨论：第一类，从集合M中取的元素作为横坐标，从集合N中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有3×2＝6 (个)；第二类，从集合M中取的元素作为纵坐标，从集合N中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有2×4＝8(个).由分类加法计数原理，所以所求个数为6＋8＝14.故选D.
D
1
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3
5
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6
6
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2
3
4
5
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4.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)
A.40 B.16 C.13 D.10
解析　分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面.第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.
C
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1
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3
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5.(多选)已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数用式子表示为(　　)
A.4＋4＋4＋4＋4＋4 B.4＋4＋4＋4
C.3×4 D.3×4×2
解析　法一　完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取方法；第3步，确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2个.
法二　由分类加法计数原理得，当a＝1时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有(4＋4)个；当a＝2时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有(4＋4)个；当a＝3时，b＝4，5，6，7，r＝8或9，有(4＋4)个，故方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有(4＋4＋4＋4＋4＋4)个.
4
AD
11
12
13
14
15
6
6.(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，3，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山，不同的走法种数可能为(　　)
A.20 B.27 C.32 D.30
解析　东面上山的种数为2×(3＋3＋4)＝20，西面上山的种数为3×(2＋3＋4)＝27，南面上山的种数为3×(2＋3＋4)＝27，北面上山的种数为4×(2＋3＋3)＝32，故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法种数可能为20，27，32.
ABC
1
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[综合应用]
7.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有________种.
解析　分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种).
7
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6
8.某校高三教学大楼共有四层，每层均有两个楼梯，一学生由该楼第一层走到第四层的方法共有________种(用数字作答).
解析　学生由该楼第一层走到第四层共分为三步：即一层到二层，二层到三层，三层到四层，∵每层均有两个楼梯，即每层都有2种走法，∴学生由该楼第一层走到第四层共有2×2×2＝23＝8种方法.
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9. 某单位职工无偿献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人.
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
1
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解　从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，
故用分类加法计数原理，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.　
4
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6
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
1
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3
5
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解　要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，
故用分步乘法计数原理，有28×7×9×3＝5 292种不同的选法.
4
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10. 用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数.
解　分三类：
第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个；
第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321，4 320，4 310，4 210，共4个；
第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430，5 421，5 420，5 410，5 321，5 320，5 310，5 210，共10个.
由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15个“渐降数”.
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6
[综合应用]
11.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　)
A.24种 B.36种 C.42种 D.60种
解析　把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种).
1
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3
5
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D
4
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6
12.(多选)如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以为(　　)
1
2
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10
AB
A.18 B.19 C.24 D.26
解析　第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3；第二条
线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时间内传递的最大信息量为6；第四条线路单位时间内传递的最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.故选AB.
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13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有____________种(用数字作答).
解析　由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论：
若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有3种选择，丙有10种选择，
此时，不同的选择方法种数为2×3×10＝60；
若甲选马作吉祥物，则乙有4种选择，丙有10种选择，
此时，不同的选择方法种数为1×4×10＝40.
综上所述，不同的选择方法种数为60＋40＝100.
1
2
3
5
7
8
9
10
100
4
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15
6
6
14. 从集合M＝{2，3，4，5，6，7，8，9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，可得到多少个不同的对数值？
解　确定一个对数分两步：
第一步定底数，有8种取法；
第二步定真数，有7种取法.
根据分步乘法计数原理，共有7×8＝56个对数.
由于log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，
所以可得到56－4＝52个不同的对数值.
1
2
3
5
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11
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14
15
6
6
[拓展提升]
15. 用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项；
1
2
3
5
7
8
9
10
解　111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
4
11
12
13
14
15
(2)这个数列共有多少项？
解 这个数列的项数就是用1，2，3，4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项).
6
6
(3)若an＝341，求n.
1
2
3
5
7
8
9
10
解　比an＝341小的数有两类：
①
4
11
12
13
14
15
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44(项).
所以n＝44＋1＝45.
6
6