人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理6.1第2课时计数原理的综合应用课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
[学习目标]　1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.会正确应用这两个计数原理计数.
知识点一　组数问题　
[例1]　用0，1，2，3，4五个数字.
(1)可以排成多少个三位数字的密码？
解　三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个).
(2)可以排成多少个三位数？
解　三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
解　被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法.因而有12＋18＝30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).
(4)可以排成多少个无重复数字的四位奇数？
[反思归纳]　解决组数问题的方法
1.对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.
2.解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.
【提醒】　数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.
1.由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)的个数为(　　)
A.12 B.27 C.30 D.39
解析　由1，2，3组成的一位自然数有3个，两位自然数有32＝9个，三位自然数有33＝27个，故共可以组成3＋9＋27＝39个满足题意的自然数.
D
2.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A.243 B.252 C.261 D.279
解析　0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).
B
知识点二　抽(选)取与分配问题
[例2]　(1)高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)
A.16种 B.18种 C.37种 D.48种
解析　法一(直接法)
第一类：三个班级都到甲工厂，只有1种分配方案；
第二类：两个班级到甲工厂，剩余一个班级去其他工厂，分配方案有3×3＝9(种)；
第三类：只有一个班级到甲工厂，剩余两个班级去另外三个工厂，分配方案有3×3×3＝27(种).
由分类加法计数原理，共有1＋9＋27＝37种不同分配方案.
法二(间接法)
若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有4×4×4＝64种情况.
若甲工厂没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有3×3×3＝27种方法，
则符合条件的分配方案有64－27＝37(种).
C
(2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为________.
2
解析　不妨由甲先来取，共2种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种).
[反思归纳]　抽(选)取与分配问题的常用解法
1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
(1)直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.
(2)间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
3.有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　)
A.11 B.10 C.9 D.8
解析　法一　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；
同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.
这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法.
法二　让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法.
若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，
根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同的安排方法.
C
4.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(　　)
A.18种 B.9种 C.6种 D.3种
解析　由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有3×3×2×1＝18(种).故选A.
A
知识点三　涂色与种植问题
[例3]　(1)将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B，C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有________种.
180
解析　法一　可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝120种涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝60(种).综上，不同的涂色方法有180种.
法二　先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60种方法.再排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方法有60×3＝180(种).
(2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有________种不同的种植方法.
18
解析　法一(直接法)　若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6种不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).
法二(间接法)　从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18种不同的种植方法.
[反思归纳]　涂色与种植问题的四个解答策略
1.按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.
2.以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.
3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
4.对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
A.120 B.240 C.300 D.320
解析　先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分
步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为5×4×4×4＝320 .故选D.
D
5.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为(　　)
6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________.
420
解析　按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：
第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法；
第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法.
根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
综合问题需先拆分步骤(分步乘法)，再合并类别(分类加法)，避免遗漏或重
复计数！
1.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有(　　)
A.6个 B.18个 C.24个 D.12个
解析　先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2＝6种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12个没有重复数字的三位偶数.故选D.
D
2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复).若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有(　　)
A.180种 B.360种 C.720种 D.960种
解析　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960种情况.
D
3.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.
72
解析　先涂A，有4种选择，则B有3种选择，而为了让C与A，B都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72(种).
4.已知某超市为顾客提供四种结账方式：A，B，C，D.若顾客甲只会用A方式结账，顾客乙只会用A和D方式结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有________种.
20
解析　当乙用A方式结账时，此时甲和乙都用A方式结账，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4＝12种方法；当乙用D方式结账时，此时甲用A方式结账，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2×4＝8种方法.综上，共有12＋8＝20种方法.
　　　　　　　　　　　　　　　[基础巩固]
1.某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×97
C.9×107 D.8.1×107
解析　当电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107.
D
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2.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有(　　)
D
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A.6种 B.8种 C.36种 D.48种
解析　选择参观路线分步完成：第一步，选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步，选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法.由分步乘法计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48种参观路线.
3.用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有多少种不同的涂色方案(　　)
D
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A.1 140 B.1 520 C.1 400 D.1 280
解析　从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始)，第一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种涂色方法.故选D.
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4.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案种数为(　　)
A.8 B.10 C.12 D.15
解析　由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方案.故编排方案共有6＋4＝10(种).
B
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1
2
3
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5.(多选)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法正确的是(　　)
A.甲若选1份荤菜，则有6种选法
B.乙的选菜方法数为9
C.若两人分别打菜，则总的方法数为18
D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，则方法数为30
解析　甲选一份荤菜，则有2×3＝6种选法，选项A正确；乙的选菜方法数为2×3＋3＝9，选项B正确；两人分别打菜时，总的方法数为9×9＝81，选项C错误；两人所打菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2＝12(种)；若素菜相同，则有3×2＝6(种).所以若两人所打菜均为一荤一素且只有一份相同时的选法数为12＋6＝18，选项D错误.
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AB
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6.(多选)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是(　　)
A.四位回文数有90个 B.四位回文数有45个
C.2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个 D.2n＋1(n∈N*)位回文数有10n个
解析　根据题意，对于四位回文数，有1 001，1 111，1 221，…，1 991，2 002，2 112，2 222，…，2 992，…，9 009，9 119，9 229，…，9 999，其首位和个位有9种选法，第二位和第三位有10种选法，故共有9×10＝90(个)，则A正确、B错误；对于2n＋1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，…，第n＋1位数字，即最中间的数字有10种选法，则共有9×10×10×…×10＝9×10n种选法，即2n＋1(n∈N*)位回文数有9×10n个，故C正确、D错误.故选AC.
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AC
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7.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个.
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解析　十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8(个).
8. 将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中. 求：
(1)1号盒中无球的不同放法种数；
1
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解　1号盒中无球，即A，B，C三个球只能放入2，3，4号盒子中，有33＝27种放法.
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(2)1号盒中有球的不同放法种数.
解　法一(直接法)
1号盒中有球可分三类：
第一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27种放法，
第二类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9种放法，
第三类是1号盒中有三个球，有1种放法.
共有27＋9＋1＝37种放法.
法二(间接法)
小球随机放的方法数为43＝64，
由(1)知1号盒中无球的方法数为27，
故1号盒中有球的方法数为64－27＝37.
9. 若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解　分两类：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为y＝0或x＝0，共2条.
第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成.
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法.
共可确定4×3＝12条直线.
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条).
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[综合应用]
10.如图，无人机光影秀中，有8架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出4种不同颜色的光，1至5号的无人机颜色必须相同，6，7号无人机颜色必须相同，8号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有________种灯光组合.(　　)
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D
A.48 B.12 C.18 D.36
解析　根据题意可知，1至5号的无人机颜色有4种选择；当6，7号
无人机颜色与1至5号的无人机颜色相同时，8号无人机颜色有3种选择；当6，7号无人机颜色与1至5号的无人机颜色不同时，6，7号无人机颜色有3种选择，8号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有4×(1×3＋3×2)＝36(种).故选D.
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11.(多选)高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(　　)
A.所有可能的方法有35种
B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
1
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BC
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解析　对于A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有选择方案5×5×5＝53(种)，故A错误；对于B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，故B正确；对于C，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，故C正确；对于D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，故D错误.故选BC.
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12.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12 340应是第________个数.
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解析　前两位为10的有3×2×1＝6(个)，前三位为120的有2×1＝2(个)，
前三位为123的有12 304，12 340.故12 340为第10个数.
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13. 高中学生甲到教室需要走楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶.
(1)若楼梯有4级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法？
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解　用1，2，3分别表示学生甲一步迈一级、两级、三级台阶，用列举法可知学生甲有1 111，121，112，13，211，22，31，共7种不同的爬楼方法.
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(2)若楼梯有10级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法？
解　设学生甲爬n级台阶有an种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1级台阶有an－1种方法；
若最后一步迈两级台阶，则前(n－2)级台阶有an－2种不同的方法；
若最后一步迈三级台阶，则前(n－3)级台阶有an－3种不同的方法，
由分类加法计数原理得：an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，显然a1＝1，a2＝2，a3＝4，则：a4＝a1＋a2＋a3＝7，a5＝a2＋a3＋a4＝13，a6＝a3＋a4＋a5＝24，a7＝a4＋a5＋a6＝44，a8＝a5＋a6＋a7＝81，a9＝a6＋a7＋a8＝149，a10＝a7＋a8＋a9＝274，
故该学生上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法.
[拓展提升]
14.某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是(　　)
A.18 B.24 C.36 D.72
解析　由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；英语翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18种分配方案.②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；英语翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3＝18种分配方案.由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种).
1
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C
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15. 某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？
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解　第一步：在点A1，B1，C1上安装灯泡.A1有4种方法，B1有3种
方法，C1有2种方法，共有4×3×2＝24种方法.
第二步：从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法.
第三步：给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法.
由分步乘法计数原理可得，共有24×3×3＝216种方法.
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