人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理6.2.1排列课件 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
1.通过实例理解排列的概念.
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
[学习目标]
[情境导入]
同学们，运动会颁奖时，冠、亚、季军三个名次要从5名选手中选出，有多少种不同的颁奖顺序？又或者，用数字1，2，3，4设置一个四位密码，若每个数字只能用一次，共有多少种可能？这类“顺序不同结果不同”的问题，正是排列的奥秘所在. 今天我们就从生活中的有序选择出发，探索排列的数学规律！
知识点一　排列的概念　
1.排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照__________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件
(1)两个排列的元素_________.
(2)元素的排列_____也相同.
[微点拨]　排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排成一列”.
一定的顺序
完全相同
顺序
[例1]　判断下列问题是否为排列问题，并说明理由：
(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？
解　不是.因为加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题.
(2)从1到10这十个自然数中任取两个不同的数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？
解　是.因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标，哪一个数是纵坐标有关，即与顺序有关，所以是排列问题.
解　不是.因为从十名同学中选取两名同学去学校开座谈会不需要考虑两个人的顺序，所以不是排列问题.
(3)从十名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？
(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？
解　是.因为从一个大门进，从另一个大门出是有顺序的，所以是排列问题.
[反思归纳]　判断一个具体问题是否为排列问题的方法
1.从4个数字3，5，7，9中每次取出两个：①相减；②相乘；③相除；④一个为被开方数，一个为根指数，其中为排列问题的是________(填序号).
①③④
解析　从4个不同的数字中，每次取出两个相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以②不是排列问题；相减，相除，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述三种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关.所以①③④属于排列问题.
知识点二　画树状图列举排列
[例2]　(苏教版选修二例题)(1)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列；
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
解　把a，b，c，d中的任意一个字母排在第1个位置上，有4种排法；第1个位置上的字母排好后，第2个位置上的字母就有3种排法.
如果第1个位置是a，那么第2个位置可以是b，c或d，有3个排列，即ab，ac，ad.
同理，第1个位置更换为b，c或d，也分别各有3个排列，如图所示：
(2)写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列.
解　根据(1)，从4个字母中取出2个字母的排列有12个，在每一种这样的排列后面排上其余2个字母中的任何一个，就得到取出3个字母的所有排列，如图所示：
因此，共计有24个不同的排列，它们是
abc，abd，acb，acd，adb，adc，
bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，
cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，
dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.
[反思归纳]　利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
1.适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.
2.策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.
2.写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.
解　由题意作“树状图”，如图所示：
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
知识点三　简单的排列问题
[例3]　用具体数字表示下列问题：
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
解　从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，
其商共有100×99＝9 900(个).
(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
解　因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”.
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字.
因此共有3×2×1＝6(个).
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.
解　可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位.
故共有5×4×3×2＝120个分配方案.
[反思归纳]　解决简单的排列实际应用问题的策略
1.利用完成一件事是否与“顺序”有关来判定该问题是否为排列问题.
2.利用树状图或计数原理求出排列总数.
3.沪宁城际铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为(　　)
A.15 B.30 C.12 D.36
解析　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种).
B
4.已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工，其中粗加工要完成A，B，C，D四道工序且不分顺序，精加工要完成E，F，G三道工序且E为F的前一道工序，则完成该工艺品不同的加工方法有(　　)
A.144种 B.96种
C.48种 D.112种
解析　由题意可知，粗加工工序的排法种数为4×3×2×1＝24.将E，F进行捆绑，且E为F的前一道工序，精加工工序的排法种数为2.由分步乘法计数原理可知，完成该工艺品不同的加工方法有24×2＝48(种).故选C.
C
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
利用树状图法列举排列时，分类要全面，避免遗漏.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1，2，3与3，2，1为同一排列.( )
(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现.( )
(3)从1，2，3，4中任选两个数字，就组成一个排列.( )
(4)从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.( )
×
√
×
√
2.(多选)下列是排列问题的有(　　)
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组
B.从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动
C.从a，b，c，d这4个字母中取出2个
D.从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数
解析　A是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一个两位数.
AD
3.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为________.
4
解析　列“树状图”如图所示，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种排列方法.
4.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有________个.
12
解析　要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为
由此可知共有12个满足条件的四位数.
[基础巩固]
1.下列问题是排列问题的是(　　)
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有2 025个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C.集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
解析　A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算与点的次序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都不是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题.故选D.
D
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2.甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　)
A.4种 B.5种 C.6种 D.12种
解析　若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式，故共有6种不同的传递方式.故选C.
C
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3.某会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为(　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
解析　因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6(种)，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6.
D
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4.(多选)从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是(　　)
A.相加可得多少个不同的和
B.相除可得多少个不同的商
BD
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5.(多选)已知甲、乙等5人站一横排，则下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙站两端有14种站法
B.甲、乙站两端有12种站法
C.甲、乙都不站两端有108种站法
D.甲、乙都不站两端有36种站法
解析　甲、乙两人站两端有2×3×2×1＝12(种)，B正确.甲、乙两人都不站两端分两步进行：第1步，甲、乙站中间3个位置中的2个位置有3×2＝6种站法；第2步，其余3个人任意排列有3×2×1＝6(种)，所以共有6×6＝36种站法，D正确.故选BD.
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BD
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6.某地车展期间，某调研机构准备从6人中选2人去调查E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________.
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30
解析　由题意可知，问题为从6个元素中选2个元素的排列问题，所以安排方法有6×5＝30(种).
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7.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同的值的个数是________.
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8. 写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
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解　所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
解　画出树状图，如图所示：
由树状图知，所有的四位数为：1 234，1 243，1 324，1 342，1 423，1 432，2 134，2 143，2 314，2 341，2 413，2 431，3 124，3 142，3 214，3 241，3 412，3 421，4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321，共24个没有重复数字的四位数.
9. 有A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？试写出所有的排列.
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解　因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树状图如图.
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所以符合题意的所有排列是BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种.
[综合应用]
10.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有(　　)
A.24种 B.23种 C.12种 D.11种
解析　w，o，r，d的排列共有4×3×2×1＝24(种)，其中排列“word”是正确的，其余均错，故错误的有24－1＝23(种).
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B
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11.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6种不同的排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，因此共有2×1×1＝2种不同的排法.综上共有6×2＝12种不同的排法.故选A.
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A
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12.在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有________种不同的试种方案.
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解析　画出树状图，如图所示，
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由树状图可知，共有11种不同的试种方案.
13. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，
(1)求各位数字互不相同的三位数有多少个？
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解　三位数的每位上的数字均为1，2，3，4，5，6其中之一.
第1步，得百位数字，有6种不同结果；
第2步，得十位数字，有5种不同结果；
第3步，得个位数字，有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个).
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(2)求可以排出多少个不同的三位数？
解　三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个).
[拓展提升]
14.在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1＞a2，a3＞a2，a3＞a4的排列个数是________.
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解析　首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选.满足a1＞a2的树状图是
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其中满足a3＞a2的树状图是
其中再满足a3＞a4的排列共有5个.
15. 从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；
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解　组成三位数分三个步骤：
第一步，选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步，选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步，选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步乘法计数原理得，共有3×3×2＝18个不同的三位数.
画出下列树状图：
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由树状图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.
(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.
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解　直接画出树状图：
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由树状图知，符合条件的三位数有8个：
201，210，230，231，301，302，310，312.