人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理6.2.3 6.2.4第2课时组合的综合应用课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
[学习目标]　1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题.　2.能用排列与组合解决较复杂的实际问题.
知识点一　有限制条件的组合问题
[例1]　(湘教版选修一例题)为助力建设宜居宜业和美乡村，星辰中学从“十佳志愿者”的10人中任选5人代表学校参加“为美丽乡村增光添彩”的志愿服务活动.问：
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果还要从选出的5人中再选定一人为组长，那么共有多少种不同的选法？
[反思归纳]　有限制条件的两类组合问题
1.“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数.
2.“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
1.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选；
(4)男队长必须当选且女生多于男生.
知识点二　与几何有关的组合问题
[例2]　如图所示，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，则连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？
[反思归纳]　解答与几何有关的组合问题的策略
1.解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.
2.计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数.
2.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线、四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　)
A.205 B.110 C.204 D.200
A
3.半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的钝角三角形有________个.
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知识点三　“多面手”问题
[例3]　某外语组有9人，每人至少会英语和德语中的一门，其中7人会英语，3人会德语，从中选出会英语和德语的各一人到某校支教，有多少种不同的选法？
解　由题意知，有1人既会英语又会德语，6人只会英语，2人只会德语.
法一　分两类.
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教德语的有2＋1＝3种选法.此时共有6×3＝18种选法.
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则教德语的有2种选法，此时有1×2＝2种选法.
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20种不同的选法.
法二　设既会英语又会德语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教德语.
第一类：甲入选.
(1)甲教英语，再从只会德语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2种选法；
(2)甲教德语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6种选法.
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).
第二类：甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会德语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12种不同的选法.
综上，共有8＋12＝20种不同的选法.
[反思归纳]　解决“多面手”问题时，依据“多面手”参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.
4.某车间有11名工人，其中5名钳工、4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工、4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？
知识点四　分组、分配问题
角度1　不同元素的分组、分配问题
[例4]　(湘教版选修一例题改编)6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本、2本、3本；
(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
(3)分为三份，每份2本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.
[反思归纳]　“分组”与“分配”问题的解法
1.分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！.
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
2.分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
角度2　相同元素的分组、分配问题
[例5]　袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有(　　)
A.84种 B.504种 C.729种 D.39种
A
[反思归纳]　用“隔板法”求相同元素的分配问题的一般步骤
1.定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量.
2.定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数.
3.插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数.
5.某市举行高二数学竞赛，有6个参赛名额分给甲、乙、丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，不同的分配方法共有(　　)
A.10种 B.12种 C.24种 D.48种
A
6.若将5名志愿者安排到三个学校进行志愿服务，每人只去一个学校，每个学校至少去一人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答).
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1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
分类不当或对平均分组概念理解有偏差是高频致误点！
[教考衔接]
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考教对比
【真题示例】　(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
【教材原题】　(人教A版选修三习题)从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
(1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
考教对比
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
考教对比
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
教考解读
该高考题与教材题均考查“至少、至多”类有限制条件的组合问题，尽管命题背景不同(教材题为“男生和女生”，高考题为“体育类选修课和艺术类选修课”)，但考查的知识点及解题方法完全一致，凸显了教材对高考的重要支撑，体现了组合问题中处理限制条件及分类讨论等方法的共通性.
[随堂巩固]
1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)
A.70种 B.80种
C.100种 D.140种
A
2.甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)
A.30种 B.60种
C.120种 D.240种
C
3.平面上有9个点排成三行三列的方阵，以其中任意的3个点为顶点，可以组成三角形的个数为(　　)
A.84 B.82
C.78 D.76
D
4.学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史班每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答).
90
[基础巩固]
1.现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有(　　)
A.160种 B.220种 C.256种 D.472种
A
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2.学校有8个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则不同的分配方案种数为(　　)
A.120 B.210 C.21 D.45
C
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3.某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有(　　)
A.10种 B.60种 C.120种 D.125种
D
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4.某志愿者服务队安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是(　　)
A.12 B.14 C.16 D.20
B
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5.(多选)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
4
ABC
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6.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三一共6个班，其中只有1班有2名劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
4
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BD
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7.某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则代表队中既有教师又有学生的选法共有________种.
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8.由0，1，2，3，4这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有________种.
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9. 现有30件分别标有编号的产品，且除了2件次品外，其余都是合格品，从中取出3件：
(1)若取出的3件产品中恰有1件次品，则不同的取法共有多少种？
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(2)若取出的3件产品中至少要有1件次品，则不同的取法共有多少种？
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10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
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[综合应用]
11.(多选)某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是(　　)
A.所有不同分派方案共43种
B.所有不同分派方案共36种
C.若甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D.若甲、乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种
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BCD
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12.小李准备下载手机APP，可供选择的社交APP有3个，音乐APP有2个，视频APP有2个，生活APP有3个，从上述10个APP中选3个，且必须含有社交APP以及生活APP的不同选法种数为________.
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13.已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点.
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
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(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
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(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
[拓展提升]
14.在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为(　　)
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B
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A.48 B.56 C.124 D.480
15.将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.
(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
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(2)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？