人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理6.3.1二项式定理课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
[学习目标]
[情境导入]
观察以下各式：
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
…
(1)它们的系数之间有何规律？
(2)各项系数与我们学过的组合数有何联系？
(3)那么(a＋b)n的展开式又是什么？
知识点一　二项式定理　
1.二项式定理
(a＋b)n＝__________________________________，n∈N*，这个公式叫做二项式定理.
2.相关概念
(1)二项展开式：在二项式定理中，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，二项展开式中一共有____项.
(2)二项式系数：各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
(3)二项展开式的通项：(a＋b)n展开式中的______叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝______.
n＋1
Can-kbk
Can-kbk
[微点拨]　(1)每一项中a与b的指数和为n.(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止.
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
[反思归纳]　运用二项式定理解题的策略
1.正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
2.逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
【提醒】　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
C
44
知识点二　二项式系数与项的系数
[例2]　(苏教版选修二例题)在(1＋2x)7的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)含x3的项的系数.
知识点三　二项展开式中的特定项
(2)常数项；
(3)有理项；
(4)中间项.
[反思归纳]
1.求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k+1bk-1(k∈N*，k≤n＋1).
(2)求含xk的项(或xpyq的项).
(3)求常数项.
(4)求有理项.
2.求二项展开式的特定项的解题思路
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
1.知识网络
[课堂小结]
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.( )
×
(3)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同.( )
(4)二项式(a＋b)2n的展开式的项数是2n＋1.( )
×
√
√
B
3.(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________.
－20
4.代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为________.
x4
[基础巩固]
C
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
D
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
A.5 B.6
C.7 D.8
C
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A.－2 B.－1
C.1 D.2
D
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
A.5 B.8
C.10 D.16
4
AC
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
B.展开式中各项的系数等于其二项式系数
C.x的幂指数是整数的项共有5项
D.展开式中存在常数项
11
12
13
14
15
16
ABC
1
2
3
5
6
7
8
9
10
[综合应用]
60
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
10n－1
11
12
13
14
15
16
(1)求n的值；
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
(2)写出它的展开式中的所有有理项.
[综合应用]
11.对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A.3 B.6
C.9 D.21
1
2
3
5
6
7
8
9
10
B
4
11
12
13
14
15
16
12.若(ax＋y)5的展开式中含x2y3的项的系数等于80，则实数a等于(　　)
1
2
3
5
6
7
8
9
10
D
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
ACD
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
(2)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.
[拓展提升]
15.若对 x∈R，(ax＋b)5＝(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b＝(　　)
A.－1 B.0
C.2 D.3
1
2
3
5
6
7
8
9
10
C
解析　由(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1＝(x＋2－1)5＝(x＋1)5，得(ax＋b)5＝(x＋1)5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C.
4
11
12
13
14
15
16
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
16
(2)此展开式中是否存在常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由.