人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理6.3.2二项式系数的性质课件(共49张PPT)

(共49张PPT)
1.熟记杨辉三角，会应用杨辉三角求二项式次数不大时各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质，并会简单应用.
3.掌握“赋值法”并会灵活应用.
[学习目标]
[情境导入]
我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数.
　　　　 (a＋b)0　　　　　　　1
　　　　 (a＋b)1　　　　　　1　 1
　　　　 (a＋b)2　　　　　1 　2　 1
　　　　 (a＋b)3　　　　1　 3　　3　 1
　　　　 (a＋b)4　　　1　 4 　6 　4　 1
　　　　 (a＋b)5　　1　5　 10　 10　 5　 1
你能借助二项式系数的性质分析图中的数吗？
知识点一　二项式系数的对称性、增减性与最大值
相等
增大
减小
(2)展开式中系数最大的项.
A.第3项 B.第6项
C.第6，7项 D.第5，7项
C
解析　展开式共有12项，中间两项第6项与第7项的二项式系数最大.
A.120 B.252 C.210 D.45
C
知识点二　各二项式系数的和
2n
2n-1
256
128
(2)已知(x－my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为－160，则实数m＝________.
2
[反思归纳]　(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为2n.
3.已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.512 B.210
C.211 D.212
A
知识点三　二项展开式的各项系数的和
[例3]　已知(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9.
(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a9的值；
解　令x＝0，则a0＝1，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝0　①，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝－1.
(2)求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值；
解　令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝29＝512　②，
①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝512，
所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝256.
(4)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值.
解　由二项展开式定理可知，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a0，a2，a4，a6，a8为正数，
令x＝－1，则|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝29＝512.
[反思归纳]　赋值法求二项展开式中的系数和
1.对于形如(ax＋b)n(a，b∈R，n∈N*)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
2.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
3.处理二项展开式的系数和问题，要结合代数式特点灵活赋值.
解　令x＝0，则a0＝2100.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
二项式系数与项的系数是不同的；使用赋值法时需明确区分并综合计算.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.( )
×
(4)在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n＝10.( )
×
√
√
2.二项式(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n＝(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
C
解析　二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n-1＝64，∴n＝7.故选C.
3.在(2－3x)15的展开式中，二项式系数的最大值为(　　)
B
4.若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7的值为________.
128
解析　令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128.
[基础巩固]
B
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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13
14
15
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第3项和第4项
A.－32 B.32
C.－243 D.243
D
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
15
3.已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　)
A.81 B.64
C.27 D.32
D
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A.－54 B.－52
C.－50 D.－48
A
11
12
13
14
15
解析　令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80；令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28.由两式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，所以a0＋a2＋a4＝－54.故选A.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
A.常数项是1 120 B.第4项和第6项的系数相等
C.各项的二项式系数之和为256 D.各项的系数之和为256
4
AC
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
7
8
9
10
A.当n＝11时，f(x)的展开式共有11项
B.当n＝8时，f(x)的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1∶2
C.当n＝7时，f(x)的展开式中，各项系数之和为－1
D.若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n＝7
4
11
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14
15
BD
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
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1
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6
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4
3和4
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15
(2)展开式中系数最大的项为第________项.
1
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3
5
6
7
8
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4
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5
9.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
1
2
3
5
6
7
8
9
10
解　由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝1－81＝－80.
4
11
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15
1
2
3
5
6
7
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4
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(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
解　由(1)知，令x＝1，
得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4　①.
令x＝－1，
得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4　②.
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
1
2
3
5
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4
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(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解　由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.
A.各项二项式系数和为128
B.项数为奇数的各项系数和为－64
C.有理项共有4项
D.第4项与第5项的系数相等且最大
1
2
3
5
6
7
8
9
10
AC
4
11
12
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15
[综合应用]
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
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15
11.已知(1＋x)3＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N，且n≥3).若a1＋a2＋a3＋…＋an＝134，则a3＝________.
1
2
3
5
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36
4
11
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1
2
3
5
6
7
8
9
10
255
4
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15
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2
3
5
6
7
8
9
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15
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
1
2
3
5
6
7
8
9
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4
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15
[拓展提升]
14.在杨辉三角中，除每行两边的数都是1外，其余每一个数都是它“肩上”两个数的和，它的开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为(　　)
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　1　 1
第2行　　　　　1 　2　 1
第3行　　　　1　 3　　3　 1
第4行　　　1　 4 　6 　4　 1
第5行　　1　5　 10　 10　 5　 1
　 　　　　　　　　 　
A.58 B.62 C.63 D.64
1
2
3
5
6
7
8
9
10
B
4
11
12
13
14
15
1
2
3
5
6
7
8
9
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4
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(2)展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由.
1
2
3
5
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8
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4
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(3)求展开式中二项式系数最大的项.
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