河北省唐山市迁安市第三中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性考试数学试题
1．（2025高二上·迁安月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，则.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高二上·迁安月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：若，则，即，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
3．（2025高二上·迁安月考）已知直线和直线平行，则（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．3或
【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解： 直线和直线平行，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据直线平行的充要条件列式求解即可.
4．（2025高二上·迁安月考）如图，这是一个圆台的直观图，该圆台的上底面圆的直径是，下底面圆的直径是，母线长是，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由图可知：圆台的上底面圆的半径是，下底面圆的半径是，母线长是，
则圆台的高为，
故该圆台的体积为.
故答案为：C.
【分析】由图可知：圆台的上、下底面的半径以及母线长，先求圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可．
5．（2025高二上·迁安月考）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，即点，
所求直线的斜率为，直线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】设点关于直线的对称点为，利用点关于直线对称求点，再结合点，求得直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可.
6．（2025高二上·迁安月考）已知，，则（ ）
A．16 B．27 C．37 D．54
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：D.
【分析】直接利用指数运算法则化简求值即可.
7．（2025高二上·迁安月考）在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为，所以，
所以，
因为，所以，
在四棱柱中，，且，则，即，
则，，，四点共面，即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量的线性运算，结合空间四点共面，列式求解的值即可.
8．（2025高二上·迁安月考）小华为了测量某旗杆的高度，选择了，（与该旗杆底部在同一水平直线上且在，之间）两个测量点，且，之间的距离为10米.小华从点正上方的高台处，观测到旗杆顶部的仰角为，观测到旗杆底部的俯角为，从点正上方的高台处（与同高），观测到旗杆顶部的仰角为，则该旗杆的高度（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．20米
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：作，垂足为，如图所示：
则，
由题意可得，，，
则，，所以，
因为，所以，所以米，
因为，且，
所以，，
所以米，
则米.
故答案为：D.
【分析】作，垂足为，根据锐角三角函数的定义，结合正切两角差的公式求解即可.
9．（2025高二上·迁安月考）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的坐标运算；相等向量
【解析】【解答】解：记点，，，设第四个顶点为，
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
故答案为：ACD.
【分析】设第四个顶点为，分、、三种情况讨论，化简向量相等的坐标表示计算判断即可.
10．（2025高二上·迁安月考）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形周长的最小值为
B．的最大值为2
C．若，则三角形的面积为
D．若，则的最大值为
【答案】A,D
【知识点】圆的标准方程；两圆的公切线条数及方程的确定；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
A、设，因为，
所以，则四边形周长为，
则当最小时，四边形周长最小，
又易知的最小值为2，则四边形周长最小为，故A正确；
B、易知，则，
由选项A知，，
所以，又，所以，故B错误；
C、因为，则，由选项A和B知，，
则，又，
所以三角形的面积为，故C错误；
D、当点P与原点重合时，，选项A和B知，
，则，
所以，又，则，
当点P与原点不重合时，
因为，所以在以为直径的圆上．
设，则的中点坐标为，，
则以为直径的圆的方程为，
将此圆的方程与圆M的方程相减，
可得直线的方程为，
又的方程为，由，解得，
所以，得到，代入，
化简得，
所以点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以的最大值为，
又，则的最大值为，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】易知圆的圆心和半经，设，可得四边形周长为，求最值即可判断A；由，，可得的取值范围即可判断B；因为，计算，，，，，得出三角形的面积为 即可判断C；设，写出，的方程并联立，得点的轨迹即可判断D．
11．（2025高二上·迁安月考）对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
【答案】A,B,D
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】解：A、若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）
（），即，，数列为常数列，故A正确；
B、若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（），
即，则，故B正确；
C、满足为2，3，3，5，5，则，，的取值要使得，可以取1，2，3，，取值要使得，则可以取1，2，3，4，5，数列的个数为，故C错误；
D、若，则数列中奇数项构成首项为1，公比为4的等比数列；偶数项都是负数，则，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据“M值数列”的定义逐项分析判断即可.
12．（2025高二上·迁安月考）已知向量，，若，则 .
【答案】10
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
若，则，解得.
故答案为：10.
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．（2025高二上·迁安月考）若“，”是真命题，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】存在量词命题；函数的值域
【解析】【解答】解：原问题等价于在上有解，
因为，所以，所以，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分离参数，问题转化为在上有解，根据二次函数的性质求在的值域，即可得a的取值范围.
14．（2025高二上·迁安月考）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时．
【答案】5
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：以为原点，正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标，如图所示：
以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点，
过点作，垂足为，
由题意可知：千米，千米，，千米，
则千米，
故点处于危险区域的时长是小时．
故答案为：5.
【分析】以为原点，建立平面直角坐标，再以为圆心，千米为半径作圆，过点作，垂足为，由题意，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可求解.
15．（2025高二上·迁安月考）已知两条直线，.
（1）若直线过点，证明：直线与垂直；
（2）若直线，关于轴对称，求，.
【答案】（1）证明： 因为直线过点，所以，
解得，即直线，
则，又因为直线，所以，
，则直线与垂直；
（2）解：直线，，
因为直线，关于轴对称，所以，
解得.
【知识点】两条直线垂直的判定；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】（1）将点代入直线求得直线的斜率，再求直线的斜率，根据斜率的积为-1，即可证明直线与垂直；
（2）将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，可得，求解即可.
（1）因为直线过点，
所以，解得，所以直线，即，
又直线，即，
所以，所以直线与垂直.
（2）直线，，
因为直线，关于轴对称，
所以，解得.
16．（2025高二上·迁安月考）已知数列满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明：由，又，
∴，故，且，
∴是首项、公差均为的等差数列.
（2）解：由（1），，则，又，
∴，则，
∴，，
则，
∴，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由已知的数列的递推公式，整理化简即可得出数列是等差数列。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法计算出结果即可。
17．（2025高二上·迁安月考）已知，，在平面内有一动点，满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于，两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）解：设，
由，可得，
整理可得，
则曲线的方程为；
（2）解：由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，
当直线的斜率为0时，，则直线的斜率不为0，
设直线，即，
则圆心到直线的距离，
所以，解得，
故直线的方程为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设，由题意，利用两点间距离公式化简求轨迹方程即可；
（2）由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，再分直线的斜率是否为0讨论，当斜率不为0时，设直线，利用点到直线的距离公式，结合直线与圆相交弦长确定直线方程即可.
（1）设，则，，
因为，所以，
所以，即曲线的方程为.
（2）由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，
当直线的斜率为0时，，则直线的斜率不为0，
设直线，即，
则圆心到直线的距离，
所以，解得，
故直线的方程为或.
18．（2025高二上·迁安月考）在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程；
（3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若，求证：直线过定点.
【答案】解：（1）易知圆的圆心为，半径为，设半径为，由题意可得，解得，则圆的标准方程为；（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线和圆相切，所以直线到圆的距离为，解得，则切线方程为，综上，切线方程为或；（3）设直线的方程为，则圆心，圆心到直线的距离分别为，，几何关系可得：，，.由，可得，整理得，即，即或，则直线为或，故直线过点定点或直线过定点.
（1）解：易知圆的圆心为，半径为，
设半径为，由题意可得，解得，
则圆的标准方程为；
（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线和圆相切，所以直线到圆的距离为，解得，则切线方程为，
综上，切线方程为或；
（3）解：设直线的方程为，
则圆心，圆心到直线的距离分别为，，
几何关系可得：，
，.
由，可得，整理得，即，
即或，
则直线为或，
故直线过点定点或直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；圆的切线方程；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）易知圆O的圆心和半经，设设半径为，由题意列式求得半径，即可得圆的标准方程；
（2）分切线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设切线方程，利用圆心奥直线的距离等于半径列式求解即可；
（3）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，结合集合关系表示， ，根据，化简求解即可.
19．（2025高二上·迁安月考）已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项，
（1）求
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围；
（3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，
由是与的等差中项 ，可得，即，解得，则；
（2）解：由（1）知：，即，
数列，满足，即数列是递减数列，
当为奇数时，，即恒成立，只需；
当为偶数时，，即恒成立，只需；
综上，；
（3）解：由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列，
，，则，
，
整理得，解得或5.
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1） 设等比数列的公比为q， 根据等差中项，结合等比数列的性质列式求解即可；
（2） 由（1）知：，即， 判断数列的增减性，再分为奇数、偶数讨论研究不等式恒成立，求参数范围即可；
（3）由题意可知是末项为8，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式求得，再根据等差数列前项和的公式，结合求解即可.
（1）设数列的公比为q，结合题设有，
所以，解得（负值舍），故；
（2）由（1）知：，即，
对于数列，有，故是递减数列，
当为奇数时，，即恒成立，只需；
当为偶数时，，即恒成立，只需；
综上，；
（3）由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列，
所以，则，故，
所以
，
整理得，可得或5.
1 / 1河北省唐山市迁安市第三中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性考试数学试题
1．（2025高二上·迁安月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·迁安月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·迁安月考）已知直线和直线平行，则（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．3或
4．（2025高二上·迁安月考）如图，这是一个圆台的直观图，该圆台的上底面圆的直径是，下底面圆的直径是，母线长是，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·迁安月考）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高二上·迁安月考）已知，，则（ ）
A．16 B．27 C．37 D．54
7．（2025高二上·迁安月考）在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·迁安月考）小华为了测量某旗杆的高度，选择了，（与该旗杆底部在同一水平直线上且在，之间）两个测量点，且，之间的距离为10米.小华从点正上方的高台处，观测到旗杆顶部的仰角为，观测到旗杆底部的俯角为，从点正上方的高台处（与同高），观测到旗杆顶部的仰角为，则该旗杆的高度（ ）
A．15米 B．米 C．米 D．20米
9．（2025高二上·迁安月考）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高二上·迁安月考）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形周长的最小值为
B．的最大值为2
C．若，则三角形的面积为
D．若，则的最大值为
11．（2025高二上·迁安月考）对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
12．（2025高二上·迁安月考）已知向量，，若，则 .
13．（2025高二上·迁安月考）若“，”是真命题，则的取值范围是 .
14．（2025高二上·迁安月考）已知某台风中心从点出发，以每小时千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距千米，则点处于危险区域的时长是 小时．
15．（2025高二上·迁安月考）已知两条直线，.
（1）若直线过点，证明：直线与垂直；
（2）若直线，关于轴对称，求，.
16．（2025高二上·迁安月考）已知数列满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列的前n项和．
17．（2025高二上·迁安月考）已知，，在平面内有一动点，满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于，两点，若，求直线的方程.
18．（2025高二上·迁安月考）在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程；
（3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若，求证：直线过定点.
19．（2025高二上·迁安月考）已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项，
（1）求
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围；
（3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，，则.
故答案为：B.
【分析】先解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：若，则，即，则.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解： 直线和直线平行，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】根据直线平行的充要条件列式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由图可知：圆台的上底面圆的半径是，下底面圆的半径是，母线长是，
则圆台的高为，
故该圆台的体积为.
故答案为：C.
【分析】由图可知：圆台的上、下底面的半径以及母线长，先求圆台的高，再根据圆台的体积公式计算即可．
5．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，即点，
所求直线的斜率为，直线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】设点关于直线的对称点为，利用点关于直线对称求点，再结合点，求得直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可.
6．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：D.
【分析】直接利用指数运算法则化简求值即可.
7．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：如图所示：
因为，所以，
所以，
因为，所以，
在四棱柱中，，且，则，即，
则，，，四点共面，即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量的线性运算，结合空间四点共面，列式求解的值即可.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：作，垂足为，如图所示：
则，
由题意可得，，，
则，，所以，
因为，所以，所以米，
因为，且，
所以，，
所以米，
则米.
故答案为：D.
【分析】作，垂足为，根据锐角三角函数的定义，结合正切两角差的公式求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的坐标运算；相等向量
【解析】【解答】解：记点，，，设第四个顶点为，
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
故答案为：ACD.
【分析】设第四个顶点为，分、、三种情况讨论，化简向量相等的坐标表示计算判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】圆的标准方程；两圆的公切线条数及方程的确定；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
A、设，因为，
所以，则四边形周长为，
则当最小时，四边形周长最小，
又易知的最小值为2，则四边形周长最小为，故A正确；
B、易知，则，
由选项A知，，
所以，又，所以，故B错误；
C、因为，则，由选项A和B知，，
则，又，
所以三角形的面积为，故C错误；
D、当点P与原点重合时，，选项A和B知，
，则，
所以，又，则，
当点P与原点不重合时，
因为，所以在以为直径的圆上．
设，则的中点坐标为，，
则以为直径的圆的方程为，
将此圆的方程与圆M的方程相减，
可得直线的方程为，
又的方程为，由，解得，
所以，得到，代入，
化简得，
所以点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以的最大值为，
又，则的最大值为，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】易知圆的圆心和半经，设，可得四边形周长为，求最值即可判断A；由，，可得的取值范围即可判断B；因为，计算，，，，，得出三角形的面积为 即可判断C；设，写出，的方程并联立，得点的轨迹即可判断D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】解：A、若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）
（），即，，数列为常数列，故A正确；
B、若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（），
即，则，故B正确；
C、满足为2，3，3，5，5，则，，的取值要使得，可以取1，2，3，，取值要使得，则可以取1，2，3，4，5，数列的个数为，故C错误；
D、若，则数列中奇数项构成首项为1，公比为4的等比数列；偶数项都是负数，则，即，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据“M值数列”的定义逐项分析判断即可.
12．【答案】10
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，
若，则，解得.
故答案为：10.
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】存在量词命题；函数的值域
【解析】【解答】解：原问题等价于在上有解，
因为，所以，所以，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分离参数，问题转化为在上有解，根据二次函数的性质求在的值域，即可得a的取值范围.
14．【答案】5
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：以为原点，正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标，如图所示：
以为圆心，千米为半径作圆，且圆与直线交于，两点，
过点作，垂足为，
由题意可知：千米，千米，，千米，
则千米，
故点处于危险区域的时长是小时．
故答案为：5.
【分析】以为原点，建立平面直角坐标，再以为圆心，千米为半径作圆，过点作，垂足为，由题意，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可求解.
15．【答案】（1）证明： 因为直线过点，所以，
解得，即直线，
则，又因为直线，所以，
，则直线与垂直；
（2）解：直线，，
因为直线，关于轴对称，所以，
解得.
【知识点】两条直线垂直的判定；与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】【分析】（1）将点代入直线求得直线的斜率，再求直线的斜率，根据斜率的积为-1，即可证明直线与垂直；
（2）将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，可得，求解即可.
（1）因为直线过点，
所以，解得，所以直线，即，
又直线，即，
所以，所以直线与垂直.
（2）直线，，
因为直线，关于轴对称，
所以，解得.
16．【答案】（1）证明：由，又，
∴，故，且，
∴是首项、公差均为的等差数列.
（2）解：由（1），，则，又，
∴，则，
∴，，
则，
∴，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由已知的数列的递推公式，整理化简即可得出数列是等差数列。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法计算出结果即可。
17．【答案】（1）解：设，
由，可得，
整理可得，
则曲线的方程为；
（2）解：由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，
当直线的斜率为0时，，则直线的斜率不为0，
设直线，即，
则圆心到直线的距离，
所以，解得，
故直线的方程为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设，由题意，利用两点间距离公式化简求轨迹方程即可；
（2）由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，再分直线的斜率是否为0讨论，当斜率不为0时，设直线，利用点到直线的距离公式，结合直线与圆相交弦长确定直线方程即可.
（1）设，则，，
因为，所以，
所以，即曲线的方程为.
（2）由（1）可知曲线的圆心的坐标为，半径，
当直线的斜率为0时，，则直线的斜率不为0，
设直线，即，
则圆心到直线的距离，
所以，解得，
故直线的方程为或.
18．【答案】解：（1）易知圆的圆心为，半径为，设半径为，由题意可得，解得，则圆的标准方程为；（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线和圆相切，所以直线到圆的距离为，解得，则切线方程为，综上，切线方程为或；（3）设直线的方程为，则圆心，圆心到直线的距离分别为，，几何关系可得：，，.由，可得，整理得，即，即或，则直线为或，故直线过点定点或直线过定点.
（1）解：易知圆的圆心为，半径为，
设半径为，由题意可得，解得，
则圆的标准方程为；
（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线和圆相切，所以直线到圆的距离为，解得，则切线方程为，
综上，切线方程为或；
（3）解：设直线的方程为，
则圆心，圆心到直线的距离分别为，，
几何关系可得：，
，.
由，可得，整理得，即，
即或，
则直线为或，
故直线过点定点或直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；圆的切线方程；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）易知圆O的圆心和半经，设设半径为，由题意列式求得半径，即可得圆的标准方程；
（2）分切线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设切线方程，利用圆心奥直线的距离等于半径列式求解即可；
（3）设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，结合集合关系表示， ，根据，化简求解即可.
19．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，
由是与的等差中项 ，可得，即，解得，则；
（2）解：由（1）知：，即，
数列，满足，即数列是递减数列，
当为奇数时，，即恒成立，只需；
当为偶数时，，即恒成立，只需；
综上，；
（3）解：由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列，
，，则，
，
整理得，解得或5.
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和；等差中项
【解析】【分析】（1） 设等比数列的公比为q， 根据等差中项，结合等比数列的性质列式求解即可；
（2） 由（1）知：，即， 判断数列的增减性，再分为奇数、偶数讨论研究不等式恒成立，求参数范围即可；
（3）由题意可知是末项为8，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式求得，再根据等差数列前项和的公式，结合求解即可.
（1）设数列的公比为q，结合题设有，
所以，解得（负值舍），故；
（2）由（1）知：，即，
对于数列，有，故是递减数列，
当为奇数时，，即恒成立，只需；
当为偶数时，，即恒成立，只需；
综上，；
（3）由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列，
所以，则，故，
所以
，
整理得，可得或5.
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