河北省石家庄第二十四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·石家庄月考）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025高二上·石家庄月考）已知直线，，则“”的充要条件是（ ）．
A． B． C．或 D．或4
3．（2025高二上·石家庄月考）已知点若平面的一个法向量为则（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2025高二上·石家庄月考）已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．（2025高二上·石家庄月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
6．（2025高二上·石家庄月考）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（ ）
A．21 B．13 C．10 D．9
7．（2025高二上·石家庄月考）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·石家庄月考）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·石家庄月考）已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是双曲线且渐近线方程为
B．曲线不可能是圆
C．当时，曲线是双曲线
D．若曲线是离心率为的椭圆，则
10．（2025高二上·石家庄月考）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左 右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若，则的面积为24
C．若点处的切线交轴于，则轴
D．当n过点时，光由所经过的路程为13
11．（2025高二上·石家庄月考）如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为
B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值
C．当时，异面直线与所成的角余弦值为
D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为
12．（2025高二上·石家庄月考）向量，，则在方向上的投影向量为 ．（坐标表示）
13．（2025高二上·石家庄月考）如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是 .
14．（2025高二上·石家庄月考）若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 .
15．（2025高二上·石家庄月考）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值．
16．（2025高二上·石家庄月考）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）.
（1）求圆的方程；
（2）若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程.
17．（2025高二上·石家庄月考）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求．
18．（2025高二上·石家庄月考）如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度；
（3）当线段最短时，求二面角的正弦值.
19．（2025高二上·石家庄月考）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，解得，
则公差，即.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，利用等差中项求得，再求公差的，根据等差数列的通项求解即可.
2．【答案】A
【知识点】充要条件；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：要使，则，即，解得或，
当时，，，两直线重合，舍去；
当时，，，满足，
则“”的充要条件是“”．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行求得a的值，再检验排除重合，结合充要条件确定a的值即可.
3．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
因为为平面的一个法向量，所以，
即，解得，即，
则.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标求得的坐标，再根据法向量与垂直，结合向量数量积的坐标表示列式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
因为，，所以，
因为二面角的余弦值是，所以，
即，
则
，
故的长为2．
故答案为：C．
【分析】由题意，作出图形，由题意可得，再根据，结合空间向量数量积的运算律求的长即可．
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，且，可得，即，
则等差数列的公差，即数列是递增的等差数列，
当时，，当时，，
又因为，
所以使成立的最小的为24.
故答案为：C．
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列的求和公式可得，再利用等差数列的性质及前项和公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】基本不等式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，抛物线的准线方程为，
设，
因为，所以，所以，即，
根据抛物线定义可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
故取最小值为.
故答案为：A.
【分析】由抛物线方程，易知抛物线的焦点和准线方程，设，由，可得，求得，再根据抛物线定义结合基本不等式求最值即可.
7．【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：的标准方程为，
易知圆心为，半径为，
因为点到直线的距离，所以直线与圆相离，
又因为为圆的切线，为切点，所以四点共圆，且，
所以，，
当直线时，，，此时最小，
而，则，故，即，
联立，解得，即，
以为直径的圆的圆心为，半径为的圆，即，
两圆的方程相减可得，即直线的方程为.
故答案为：A.
【分析】化圆方程为标准方程，求得圆心和半经，利用点到直线的距离公式，判断直线和圆的位置关系，由题意，根据圆的性质知共圆且，根据知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求出直线的方程.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知椭圆的左焦点为，，
过作轴，垂足为，如图所示：
由，可得，，，
设，则，
因为为的中点，所以，
又因为在椭圆上，所以，
两式相减得，
则，.
故答案为：D.
【分析】易知椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，
解三角形，求出点坐标，设，利用中点坐标公式，结合点差法求得，代入椭圆离心率公式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：曲线：化为，
A、当时，曲线的方程为是双曲线，渐近线方程为，故A正确；
B、当时，曲线的方程为，以原点为圆心，2为半径的圆，故B错误；
C、当时，曲线是双曲线，故C正确；
D、曲线是离心率为的椭圆，则由得，且，
当焦点在轴上时，且，
则，解得；
当焦点在轴上时，且，
则，解得，
综上，若曲线是离心率为的椭圆，则或，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】将曲线化为，将代入，求得曲线方程，结合双曲线的定义以及渐近线定义求解即可判断A；将代入即可判断B；根据双曲线的定义即可判断C；由题意，分焦点在轴和焦点在轴两种情况讨论，结合椭圆的离心率公式求解即可判断D．
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A、由题意可知，，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，
再由，解得，则C的方程为故A正确；
B、由，得，在中，，
由勾股定理及双曲线的定义知，，
即，所以，
则，故B错误；
C、由题意可知，平分，由角平分线定理，得，
又，解得，，，
即轴，故C正确；
D、由题意可知，，当过点时，
由双曲线定义可得光由所经过的路程为
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由的最小值为2，可得，再结合双曲线的渐近线，以及，解出，求得双曲线的方程，即可判断A；在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断B；由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断C；利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式求解即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为半圆面平面，平面平面，
平面，四边形是正方形，则，故平面，
又因为平面，所以，，
由为直径，可得，因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，因为点运动时，点到平面的最大距离为，
所以，故A正确；
B、 设半圆圆心为，正方形中心为，则，因为正方形的中心到四个顶点的距离为，当运动时，，
故是四棱锥的外接球球心，球的半径为定值，故B错误；
C、建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，易得，所以点，，
所以，
则，故C正确；
D、设，则，，
平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为：
，即得，
即，则，故或，
即满足条件的点有两个，不唯一，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据面面垂直、线面垂直的判定即可判断A；设半圆圆心为，正方形中心为，根据外接球球心到顶点距离相等即可判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，则在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】根据空间投影向量公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：椭圆，
易知，，
在中，由余弦定理可得，
即，
由，可得，
则，解得，
故的面积为.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理，结合椭圆的定义求得，再根据面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为调和数列，所以，即数列为等差数列，
由，可得，解得，
则，，故，
当且仅当或时取等号，
，
当且仅当时取得最大值，
故的最大值为．
故答案为：.
【分析】由数列为调和数列，求得数列为等差数列，由题意，利用等差数列性质可得结合基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由，可得，
因为，所以，解得，
则；
（2）解：由上可知，
则，，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由二次函数的性质可知或时，取得最小值.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式，等差数列的性质与列式求基本量即可得等差数列的通项公式；
（2）由（1）根据等差数列的求和公式先计算，即可求得数列的通项，再根据定义判定为等差数列，求得，结合二次函数的性质求最值即可.
（1）设的公差为d，由，得，
又，所以，得，
则；
（2）由上可知，
所以，则，
即是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由二次函数的性质可知或时，取得最小值.
16．【答案】（1）解：因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上，
连接，作垂直于轴，垂足为，如图所示：
又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以，
故，可得圆心的坐标为，半径为2.
所求圆的方程为：；
（2）解：当直线的斜率为0时，则直线的方程为，代入圆的方程得，解得，
不妨设，，易知，
，不符合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立，消去得，
即，
即，
，解得或.
设，由韦达定理可得，
则，
，即，
即，
即，
故，
即，即，整理可得，
即，解得或，均满足或，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）连接，作垂直于轴，垂足为，根据题意，得到圆心在直线上，由圆被轴分成的两段弧之比为，求得，得到圆心，半径为2，确定圆的方程即可；
（2）易知直线的斜率为0不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与圆方程，消元整理，结合韦达定理及可计算出的值即可.
（1）因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上，
如图所示：连接，作垂直于轴，垂足为，
又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以，
故，可得圆心的坐标为，半径为2.
所求圆的方程为：.
（2）当直线的斜率为0时，则直线的方程为，
代入圆的方程得，解得，
不妨设，又，
则，
所以，不符合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立，消去得，
即，
即.
，解得或.
设，，
则，
所以，
即，
即，
即，
故，
即，即，
所以，
即，解得或，均满足或.
综上所述，直线的方程为或.
17．【答案】（1）解： 点在抛物线上，且 ，由抛物线定理可得，解得，
则抛物线的方程；
（2）解：当斜率不存在时，方程为：，，
则，，不符合题意；
当斜率存在时，设直线方程为：，，
联立，消去可得，
由韦达定理可得：，
因为，所以，即，
代入，
得：，
化简可得：，解得或，
当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去；
当，直线方程为，，
则.
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用抛物线焦半径公式求解即可；
（2）分直线斜率不存在和存在讨论，当斜率不存在时，易知直线方程，点A，B坐标，利用向量数量积的坐标运算求得，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合，求得斜率，再由弦长公式求解即可.
（1）由点在抛物线上，得，
由，可得，得，
所以抛物线的方程；
（2）当斜率不存在时，方程为：，
此时，
则，
，不符合题意，
当斜率存在时，设直线方程为：，
联立抛物线方程消去可得：
，
设，
又，则，
代入，
可得：
代入
得：
化简可得：，
即或，
当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去，
当，直线方程为，
所以
由弦长公式得：
18．【答案】（1）证明： 在矩形中，，
因为分别是的中点，所以和是全等的正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设，则，，而，
设直线与所成角为，
则，解得或（舍去），
，则线段的长度为；
（3）解：因为，所以当时，线段最短，
此时，
设是平面的一个法向量，
则，即，取平面的一个法向量为，
设是平面的一个法向量，则，即，
取平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则，
即，故二面角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，可得和是全等的正方形，推出，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2） 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求得，设点，则，写出，利用向量夹角公式列方程，求得，再求即可；
（3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系求正弦值即可.
（1）在矩形中，分别是的中点，
所以和是全等的正方形，
所以.
又因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，
所以平面.
（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
设，则，
所以，而，
设直线与所成角为，
则，
解得或（舍去）.所以，
所以线段的长度为.
（3）因为，
所以当时，线段最短，
此时.
设是平面的一个法向量，
则，即，
取平面的一个法向量为.
设是平面的一个法向量，
则即，
取平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
则，
所以.
19．【答案】（1）解：由题意可知：，
，
则动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
故曲线C的方程为；
（2）解： （ⅰ） 联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，所以，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，即，且，
则，为定值；
（ⅱ） 由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
所以，
因为，则，所以，
则面积，
故当，即时，取到最大值.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由题意可知：，分析可得，结合椭圆定义求解即可；
（2） （ⅰ） 联立直线与椭圆方程，根据直线与曲线相切，判别式为零求得和点Q的坐标，再利用两点距离公式求判断即可；
（ⅱ） 易知圆O的圆心和半经，再求圆心到直线的距离，根据垂径定理求面积，结合分析最值即可.
（1）由题意可知：，
则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线C的方程为.
（2）①联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
②由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值.
1 / 1河北省石家庄第二十四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2025高二上·石家庄月考）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，由，解得，
则公差，即.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，由题意，利用等差中项求得，再求公差的，根据等差数列的通项求解即可.
2．（2025高二上·石家庄月考）已知直线，，则“”的充要条件是（ ）．
A． B． C．或 D．或4
【答案】A
【知识点】充要条件；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：要使，则，即，解得或，
当时，，，两直线重合，舍去；
当时，，，满足，
则“”的充要条件是“”．
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行求得a的值，再检验排除重合，结合充要条件确定a的值即可.
3．（2025高二上·石家庄月考）已知点若平面的一个法向量为则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，
因为为平面的一个法向量，所以，
即，解得，即，
则.
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标求得的坐标，再根据法向量与垂直，结合向量数量积的坐标表示列式求解即可.
4．（2025高二上·石家庄月考）已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示：
因为，，所以，
因为二面角的余弦值是，所以，
即，
则
，
故的长为2．
故答案为：C．
【分析】由题意，作出图形，由题意可得，再根据，结合空间向量数量积的运算律求的长即可．
5．（2025高二上·石家庄月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，且，可得，即，
则等差数列的公差，即数列是递增的等差数列，
当时，，当时，，
又因为，
所以使成立的最小的为24.
故答案为：C．
【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列的求和公式可得，再利用等差数列的性质及前项和公式求解即可.
6．（2025高二上·石家庄月考）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（ ）
A．21 B．13 C．10 D．9
【答案】A
【知识点】基本不等式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，抛物线的准线方程为，
设，
因为，所以，所以，即，
根据抛物线定义可得：
，
当且仅当，即时等号成立，
故取最小值为.
故答案为：A.
【分析】由抛物线方程，易知抛物线的焦点和准线方程，设，由，可得，求得，再根据抛物线定义结合基本不等式求最值即可.
7．（2025高二上·石家庄月考）已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：的标准方程为，
易知圆心为，半径为，
因为点到直线的距离，所以直线与圆相离，
又因为为圆的切线，为切点，所以四点共圆，且，
所以，，
当直线时，，，此时最小，
而，则，故，即，
联立，解得，即，
以为直径的圆的圆心为，半径为的圆，即，
两圆的方程相减可得，即直线的方程为.
故答案为：A.
【分析】化圆方程为标准方程，求得圆心和半经，利用点到直线的距离公式，判断直线和圆的位置关系，由题意，根据圆的性质知共圆且，根据知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差即可求出直线的方程.
8．（2025高二上·石家庄月考）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知椭圆的左焦点为，，
过作轴，垂足为，如图所示：
由，可得，，，
设，则，
因为为的中点，所以，
又因为在椭圆上，所以，
两式相减得，
则，.
故答案为：D.
【分析】易知椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，
解三角形，求出点坐标，设，利用中点坐标公式，结合点差法求得，代入椭圆离心率公式求解即可.
9．（2025高二上·石家庄月考）已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是双曲线且渐近线方程为
B．曲线不可能是圆
C．当时，曲线是双曲线
D．若曲线是离心率为的椭圆，则
【答案】A,C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：曲线：化为，
A、当时，曲线的方程为是双曲线，渐近线方程为，故A正确；
B、当时，曲线的方程为，以原点为圆心，2为半径的圆，故B错误；
C、当时，曲线是双曲线，故C正确；
D、曲线是离心率为的椭圆，则由得，且，
当焦点在轴上时，且，
则，解得；
当焦点在轴上时，且，
则，解得，
综上，若曲线是离心率为的椭圆，则或，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】将曲线化为，将代入，求得曲线方程，结合双曲线的定义以及渐近线定义求解即可判断A；将代入即可判断B；根据双曲线的定义即可判断C；由题意，分焦点在轴和焦点在轴两种情况讨论，结合椭圆的离心率公式求解即可判断D．
10．（2025高二上·石家庄月考）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左 右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若，则的面积为24
C．若点处的切线交轴于，则轴
D．当n过点时，光由所经过的路程为13
【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A、由题意可知，，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，
再由，解得，则C的方程为故A正确；
B、由，得，在中，，
由勾股定理及双曲线的定义知，，
即，所以，
则，故B错误；
C、由题意可知，平分，由角平分线定理，得，
又，解得，，，
即轴，故C正确；
D、由题意可知，，当过点时，
由双曲线定义可得光由所经过的路程为
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由的最小值为2，可得，再结合双曲线的渐近线，以及，解出，求得双曲线的方程，即可判断A；在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断B；由平分，由角平分线定理，得，又，解出，即可判断C；利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式求解即可判断D.
11．（2025高二上·石家庄月考）如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为
B．点运动时，四棱锥的外接球半径为定值
C．当时，异面直线与所成的角余弦值为
D．半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为
【答案】A,C
【知识点】球内接多面体；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、因为半圆面平面，平面平面，
平面，四边形是正方形，则，故平面，
又因为平面，所以，，
由为直径，可得，因为，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，因为点运动时，点到平面的最大距离为，
所以，故A正确；
B、 设半圆圆心为，正方形中心为，则，因为正方形的中心到四个顶点的距离为，当运动时，，
故是四棱锥的外接球球心，球的半径为定值，故B错误；
C、建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，易得，所以点，，
所以，
则，故C正确；
D、设，则，，
平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为：
，即得，
即，则，故或，
即满足条件的点有两个，不唯一，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据面面垂直、线面垂直的判定即可判断A；设半圆圆心为，正方形中心为，根据外接球球心到顶点距离相等即可判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可判断CD.
12．（2025高二上·石家庄月考）向量，，则在方向上的投影向量为 ．（坐标表示）
【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，则在方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】根据空间投影向量公式求解即可.
13．（2025高二上·石家庄月考）如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是 .
【答案】
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：椭圆，
易知，，
在中，由余弦定理可得，
即，
由，可得，
则，解得，
故的面积为.
故答案为：.
【分析】在中，利用余弦定理，结合椭圆的定义求得，再根据面积公式求解即可.
14．（2025高二上·石家庄月考）若数列满足（，d为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列为调和数列，所以，即数列为等差数列，
由，可得，解得，
则，，故，
当且仅当或时取等号，
，
当且仅当时取得最大值，
故的最大值为．
故答案为：.
【分析】由数列为调和数列，求得数列为等差数列，由题意，利用等差数列性质可得结合基本不等式求解即可.
15．（2025高二上·石家庄月考）已知数列为等差数列，其前n项和为，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由，可得，
因为，所以，解得，
则；
（2）解：由上可知，
则，，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由二次函数的性质可知或时，取得最小值.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式，等差数列的性质与列式求基本量即可得等差数列的通项公式；
（2）由（1）根据等差数列的求和公式先计算，即可求得数列的通项，再根据定义判定为等差数列，求得，结合二次函数的性质求最值即可.
（1）设的公差为d，由，得，
又，所以，得，
则；
（2）由上可知，
所以，则，
即是以为首项，为公差的等差数列，
则，
由二次函数的性质可知或时，取得最小值.
16．（2025高二上·石家庄月考）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）.
（1）求圆的方程；
（2）若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上，
连接，作垂直于轴，垂足为，如图所示：
又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以，
故，可得圆心的坐标为，半径为2.
所求圆的方程为：；
（2）解：当直线的斜率为0时，则直线的方程为，代入圆的方程得，解得，
不妨设，，易知，
，不符合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立，消去得，
即，
即，
，解得或.
设，由韦达定理可得，
则，
，即，
即，
即，
故，
即，即，整理可得，
即，解得或，均满足或，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）连接，作垂直于轴，垂足为，根据题意，得到圆心在直线上，由圆被轴分成的两段弧之比为，求得，得到圆心，半径为2，确定圆的方程即可；
（2）易知直线的斜率为0不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与圆方程，消元整理，结合韦达定理及可计算出的值即可.
（1）因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上，
如图所示：连接，作垂直于轴，垂足为，
又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以，
故，可得圆心的坐标为，半径为2.
所求圆的方程为：.
（2）当直线的斜率为0时，则直线的方程为，
代入圆的方程得，解得，
不妨设，又，
则，
所以，不符合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立，消去得，
即，
即.
，解得或.
设，，
则，
所以，
即，
即，
即，
故，
即，即，
所以，
即，解得或，均满足或.
综上所述，直线的方程为或.
17．（2025高二上·石家庄月考）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求．
【答案】（1）解： 点在抛物线上，且 ，由抛物线定理可得，解得，
则抛物线的方程；
（2）解：当斜率不存在时，方程为：，，
则，，不符合题意；
当斜率存在时，设直线方程为：，，
联立，消去可得，
由韦达定理可得：，
因为，所以，即，
代入，
得：，
化简可得：，解得或，
当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去；
当，直线方程为，，
则.
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，利用抛物线焦半径公式求解即可；
（2）分直线斜率不存在和存在讨论，当斜率不存在时，易知直线方程，点A，B坐标，利用向量数量积的坐标运算求得，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合，求得斜率，再由弦长公式求解即可.
（1）由点在抛物线上，得，
由，可得，得，
所以抛物线的方程；
（2）当斜率不存在时，方程为：，
此时，
则，
，不符合题意，
当斜率存在时，设直线方程为：，
联立抛物线方程消去可得：
，
设，
又，则，
代入，
可得：
代入
得：
化简可得：，
即或，
当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去，
当，直线方程为，
所以
由弦长公式得：
18．（2025高二上·石家庄月考）如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面.
（1）求证：平面；
（2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度；
（3）当线段最短时，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明： 在矩形中，，
因为分别是的中点，所以和是全等的正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
设，则，，而，
设直线与所成角为，
则，解得或（舍去），
，则线段的长度为；
（3）解：因为，所以当时，线段最短，
此时，
设是平面的一个法向量，
则，即，取平面的一个法向量为，
设是平面的一个法向量，则，即，
取平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则，
即，故二面角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，可得和是全等的正方形，推出，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2） 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求得，设点，则，写出，利用向量夹角公式列方程，求得，再求即可；
（3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系求正弦值即可.
（1）在矩形中，分别是的中点，
所以和是全等的正方形，
所以.
又因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，
所以平面.
（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
设，则，
所以，而，
设直线与所成角为，
则，
解得或（舍去）.所以，
所以线段的长度为.
（3）因为，
所以当时，线段最短，
此时.
设是平面的一个法向量，
则，即，
取平面的一个法向量为.
设是平面的一个法向量，
则即，
取平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
则，
所以.
19．（2025高二上·石家庄月考）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知：，
，
则动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
故曲线C的方程为；
（2）解： （ⅰ） 联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，所以，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，即，且，
则，为定值；
（ⅱ） 由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
所以，
因为，则，所以，
则面积，
故当，即时，取到最大值.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由题意可知：，分析可得，结合椭圆定义求解即可；
（2） （ⅰ） 联立直线与椭圆方程，根据直线与曲线相切，判别式为零求得和点Q的坐标，再利用两点距离公式求判断即可；
（ⅱ） 易知圆O的圆心和半经，再求圆心到直线的距离，根据垂径定理求面积，结合分析最值即可.
（1）由题意可知：，
则，
可知动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以曲线C的方程为.
（2）①联立方程，消去y可得，
因为直线与曲线C相切，则，
整理可得，则原方程为，解得，
将代入直线，可得，
可知，且，
则，为定值；
②由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为到直线的距离，
可得，
因为，则，
可得，
则面积，
可知当，即时，取到最大值.
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