上海市西南模范中学2025-2026学年高二上学期12月阶段反馈数学试卷
1．（2025高二上·徐汇月考）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为
2．（2025高二上·徐汇月考）已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 .
3．（2025高二上·徐汇月考）直线与直线的夹角为 .
4．（2025高二上·徐汇月考）已知直线：与：平行，则 .
5．（2025高二上·徐汇月考）与圆：关于直线对称的圆的方程是 .
6．（2025高二上·徐汇月考）已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是 ．
7．（2025高二上·徐汇月考）圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是
8．（2025高二上·徐汇月考）若圆 与圆 的公共弦长为8，则 .
9．（2025高二上·徐汇月考）椭圆的一个焦点是，动点是椭圆上的点，以线段为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是 ；
10．（2025高二上·徐汇月考）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 .
11．（2025高二上·徐汇月考）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为 .
12．（2025高二上·徐汇月考）在如图所示的平面中，点为半圆的直径延长线上的一点，==2，过动点作半圆的切线，若=，则△的面积的最大值为 .
13．（2025高二上·徐汇月考）已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
14．（2025高二上·徐汇月考）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ ⊥ ”是“ ⊥ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2025高二上·徐汇月考）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025高二上·徐汇月考）如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为------------------------------------------------------------------
A．10 B．8 C． D．12
17．（2025高二上·徐汇月考）已知点，直线l：
（1）求点M关于点对称点的坐标
（2）求过点M与直线l平行的直线.
18．（2025高二上·徐汇月考）已知直线：恒过点，为坐标原点.
（1）求点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
19．（2025高二上·徐汇月考）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.
（1）求几何体的体积；
（2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.
20．（2025高二上·徐汇月考）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．
21．（2025高二上·徐汇月考）已知圆：和圆：（）.
（1）若圆与圆相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：易知圆柱底面周长为，则侧面积等于.
故答案为：.
【分析】先求圆柱的底面周长，再根据圆柱的侧面积公式求解即可.
2．【答案】
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线过点，所以，解得，则直线l倾斜角为.
故答案为：.
【分析】将点代入直线方程求得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：联立，解得，即两直线的交点为，
令，由直线，可得，即；
由直线，可得，即，
设两直线的夹角为，则为的等角或补角，取，
则，即.
故管案为：.
【分析】联立两直线方程求得交点坐标，再分别在两直线上各取一个点，利用平面向量法求夹角，最后根据两直线夹角的定义求解即可.
4．【答案】1
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：要使直线：与直线：平行，
则，解得.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的判定列式求解即可.
5．【答案】
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：易知圆：的圆心为，半径为，
设对称圆的圆心为，则 ，解得，，
则圆关于直线对称的圆的方程为.
故答案为：.
【分析】易知圆的圆心和半经，设对称圆的圆心为，根据点关于直线对称求圆心的坐标，即可得圆的标准方程.
6．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点坐标为与，即，
因为椭圆经过点，
所以
，即，
则，
故椭圆的标准方程.
故答案为：．
【分析】易知椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义结合两点间距离公式求得，最后根据椭圆中的关系求得，即可得椭圆的标准方程.
7．【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，设圆心为，
则圆心与连线与直线垂直，即，解得，则圆心为，
半径，
故所求圆的方程为：.
故答案为：.
【分析】由题意，设圆心为，根据圆心和点连线与直线，列式求得圆心坐标，再利用两点间距离公式求半经，即可得圆的标准方程.
8．【答案】-55或5
【知识点】相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：x2+y2＝25①
x2+y2﹣6x+8y+m＝0②
两式相减得
6x﹣8y﹣25﹣m＝0．
圆x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径r＝5．
圆心（0，0）到直线6x﹣8y﹣25﹣m＝0的距离为
＝ ．
因为公共弦长为2 ＝8
∴r2﹣d2＝16．
∴d2＝9．
∴d＝ ＝3．
解得，m＝﹣55或d＝5
故答案为：﹣55或5．
【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d＝ ＝3．从而解得m＝﹣55或5．
9．【答案】
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设 是椭圆的另一个焦点， 是线段的中点，
由题意可得：，
即以长轴长为直径的圆与以线段为直径的圆相内切，
则定圆的圆心是 ，半径 ，故定圆的方程为.
故答案为：.
【分析】设 是椭圆的另一个焦点， 是线段的中点，利用中位线性质结合椭圆定义，集合两圆的位置关系求解即可.
10．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知为等腰直角三角形，
作于点，如图所示：
绕着边所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，
由半圆的半径为2，可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高，
则圆锥的体积；
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，体积为；
则剩余部分所形成的几何体的体积为.
故答案为：.
【分析】易知为等腰直角三角形，作于点，已知圆锥的底面半径和高，利用球和圆锥的体积公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知，即在以为直径的球面上，
因为底面为正方形，所以，
又因为为的中点，平面，平面，所以，为直角三角形，
，
则以为直径的球的半径为，
故的轨迹围成封闭图形的体积为：.
故答案为：.
【分析】由题意可得，即在以为直径的球面上，推出为直角三角形，利用勾股定理求得的长，即可得以为直径的球的半径，再利用球的体积公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；轨迹方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，设
因为过动点作半圆的切线，且，
所以，整理可得，
即点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，
当点在直线上时，的面积的最大，且，
则的面积最大值为.
故答案为：.
【分析】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设，由题意，利用两点间距离公式化简求得点P的轨迹，当点在直线上时，的面积的最大，据此求面积的最大值即可．
13．【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：点 ，易知，
，由椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故答案为：A.
【分析】先求，再根据椭圆的定义判断即可.
14．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合成分条件和必要条件的判断方法，从而推出命题“α⊥β”是命题“m⊥β”的必要不充分条件。
15．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；曲线与方程
【解析】【解答】解：曲线化为，它表示顶点分别为的菱形，
以为焦点，长轴长为26，短轴长为10的椭圆方程为，
在直角坐标系中，作出曲线和椭圆，如图所示：
由图形以及椭圆的定义知：若在椭圆上，又在曲线上时，
即或时，；
若在椭圆内部，又在曲线上时，，
故.
故答案为：C.
【分析】化曲线为，它表示顶点分别为的菱形，化简确定曲线与椭圆的位置关系，再结合椭圆的定义求解判断即可.
16．【答案】A
【知识点】直线的截距式方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设切线方程为，
因为切线过点，所以，，
则的周长为，即，
即，即，
，即，解得，
则周长的最小值为10.
故答案为：A.
【分析】设切线方程为，将点代入，用a表示可得，再表示周长，整体转化为关于t的二次方程由两个解，利用判别式求解即可.
17．【答案】（1）解：设，由题意可得，解得，则；
（2）解：设所求直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
则所求直线方程为：.
【知识点】两条直线平行的判定；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）设，利用中点坐标公式求解即可；
（2）根据直线平行，设所求直线方程为，将代入点，求解即可.
（1）设，
则点为，的中点，
所以，解得，
所以；
（2）设所求直线方程为，
代入点，
则有，
解得，
所以所求直线方程为：.
18．【答案】（1）解： 直线： 化为，
令，解得，则点的坐标为；
（2）解：由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大，
直线的斜率，则直线的斜率，
故直线的方程为，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程；恒过定点的直线
【解析】【分析】（1）将直线的方程化为，令，求解即可得点的坐标；
（2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大，先求直线的斜率，再根据直线垂直斜率的关系，求直线的方程即可.
（1）直线的方程化为，令，解得，
所以点的坐标为.
（2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大，
而直线的斜率，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
19．【答案】（1）解：几何体的体积为；
（2）解：观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，，
因为，所以该亭子满足建筑要求.
【知识点】异面直线所成的角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据圆锥、圆柱的体积公式直接求解即可；
（2）易知是圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，用的正切值转化出然后判断是否满足建筑要求.
（1）
（2）观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，所以，
因为
所以该亭子满足建筑要求.
20．【答案】解：（1）由于与的两边均相切，则到及的距离均为的半径，
即在的平分线上，同理，也在的平分线上，
即三点共线，且为的平分线，
因为的坐标为，所以到轴的距离为1，即的半径为1，则的方程为；
设的半径为，其与轴的切点为，连接、，
由可知，，则，即，
则圆的方程为；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，
此弦的方程是，即：，
圆心到该直线的距离，则弦长为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由题意可知：为的平分线，由点M的坐标可知，圆的半径为1，从而确定圆M的方程；设的半径为，其与轴的切点为，连接、，利用三角形相似，列式求圆的半经，即可求得圆N的方程；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，先求弦所在直线的直线方程，再利用点到直线的距离，以及勾股定理求解即可.
21．【答案】（1）解：易知圆的圆心和半径分别为，
则，
因为圆与圆相交，所以，解得，
则r的取值范围为；
（2）解：联立，消去得，
，解得，
设，由韦达定理可得，
则，
，整理得，
因为，所以；
（3）解：设，直线，因为，所以直线，
又因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
所以点到直线的距离与点到直线的距离相等，
即，
依题意，对无穷多的成立，
则或，解得或，
故满足条件的点P的坐标有或.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）易知两圆的圆心和半经，再根据两点间距离公式求圆心距，利用相交时圆心距和半径的关系列式求解即可；
（2）联立直线与，消元整理，结合韦达定理以及向量数量积的运算求解即可；
（3）设，写出直线，再根据直线垂直关系写出直线方程，由题意可得，利用点到直线的距离公式列式整理可得对无穷多的成立，由或，求解即可.
（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为，
则，
又因为圆与圆相交，所以，
解得，
所以r的取值范围为；
（2）由，消去得，
，解得，
设，则有，
所以，
由，
整理得，
又因，则可得；
（3）设，，因，则，
因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
则点到直线的距离与点到直线的距离相等，
即，
依题意，对无穷多的成立，
所以或，
解得或，
即满足条件的点P的坐标有或.
1 / 1上海市西南模范中学2025-2026学年高二上学期12月阶段反馈数学试卷
1．（2025高二上·徐汇月考）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：易知圆柱底面周长为，则侧面积等于.
故答案为：.
【分析】先求圆柱的底面周长，再根据圆柱的侧面积公式求解即可.
2．（2025高二上·徐汇月考）已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 .
【答案】
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线过点，所以，解得，则直线l倾斜角为.
故答案为：.
【分析】将点代入直线方程求得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求解即可.
3．（2025高二上·徐汇月考）直线与直线的夹角为 .
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：联立，解得，即两直线的交点为，
令，由直线，可得，即；
由直线，可得，即，
设两直线的夹角为，则为的等角或补角，取，
则，即.
故管案为：.
【分析】联立两直线方程求得交点坐标，再分别在两直线上各取一个点，利用平面向量法求夹角，最后根据两直线夹角的定义求解即可.
4．（2025高二上·徐汇月考）已知直线：与：平行，则 .
【答案】1
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：要使直线：与直线：平行，
则，解得.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行的判定列式求解即可.
5．（2025高二上·徐汇月考）与圆：关于直线对称的圆的方程是 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：易知圆：的圆心为，半径为，
设对称圆的圆心为，则 ，解得，，
则圆关于直线对称的圆的方程为.
故答案为：.
【分析】易知圆的圆心和半经，设对称圆的圆心为，根据点关于直线对称求圆心的坐标，即可得圆的标准方程.
6．（2025高二上·徐汇月考）已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点坐标为与，即，
因为椭圆经过点，
所以
，即，
则，
故椭圆的标准方程.
故答案为：．
【分析】易知椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义结合两点间距离公式求得，最后根据椭圆中的关系求得，即可得椭圆的标准方程.
7．（2025高二上·徐汇月考）圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是
【答案】
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题意，设圆心为，
则圆心与连线与直线垂直，即，解得，则圆心为，
半径，
故所求圆的方程为：.
故答案为：.
【分析】由题意，设圆心为，根据圆心和点连线与直线，列式求得圆心坐标，再利用两点间距离公式求半经，即可得圆的标准方程.
8．（2025高二上·徐汇月考）若圆 与圆 的公共弦长为8，则 .
【答案】-55或5
【知识点】相交弦所在直线的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：x2+y2＝25①
x2+y2﹣6x+8y+m＝0②
两式相减得
6x﹣8y﹣25﹣m＝0．
圆x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径r＝5．
圆心（0，0）到直线6x﹣8y﹣25﹣m＝0的距离为
＝ ．
因为公共弦长为2 ＝8
∴r2﹣d2＝16．
∴d2＝9．
∴d＝ ＝3．
解得，m＝﹣55或d＝5
故答案为：﹣55或5．
【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d＝ ＝3．从而解得m＝﹣55或5．
9．（2025高二上·徐汇月考）椭圆的一个焦点是，动点是椭圆上的点，以线段为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是 ；
【答案】
【知识点】圆的标准方程；椭圆的定义；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：设 是椭圆的另一个焦点， 是线段的中点，
由题意可得：，
即以长轴长为直径的圆与以线段为直径的圆相内切，
则定圆的圆心是 ，半径 ，故定圆的方程为.
故答案为：.
【分析】设 是椭圆的另一个焦点， 是线段的中点，利用中位线性质结合椭圆定义，集合两圆的位置关系求解即可.
10．（2025高二上·徐汇月考）如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知为等腰直角三角形，
作于点，如图所示：
绕着边所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，
由半圆的半径为2，可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高，
则圆锥的体积；
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，体积为；
则剩余部分所形成的几何体的体积为.
故答案为：.
【分析】易知为等腰直角三角形，作于点，已知圆锥的底面半径和高，利用球和圆锥的体积公式求解即可.
11．（2025高二上·徐汇月考）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：易知，即在以为直径的球面上，
因为底面为正方形，所以，
又因为为的中点，平面，平面，所以，为直角三角形，
，
则以为直径的球的半径为，
故的轨迹围成封闭图形的体积为：.
故答案为：.
【分析】由题意可得，即在以为直径的球面上，推出为直角三角形，利用勾股定理求得的长，即可得以为直径的球的半径，再利用球的体积公式求解即可.
12．（2025高二上·徐汇月考）在如图所示的平面中，点为半圆的直径延长线上的一点，==2，过动点作半圆的切线，若=，则△的面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；轨迹方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，设
因为过动点作半圆的切线，且，
所以，整理可得，
即点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，
当点在直线上时，的面积的最大，且，
则的面积最大值为.
故答案为：.
【分析】以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设，由题意，利用两点间距离公式化简求得点P的轨迹，当点在直线上时，的面积的最大，据此求面积的最大值即可．
13．（2025高二上·徐汇月考）已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】A
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：点 ，易知，
，由椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故答案为：A.
【分析】先求，再根据椭圆的定义判断即可.
14．（2025高二上·徐汇月考）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ ⊥ ”是“ ⊥ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合成分条件和必要条件的判断方法，从而推出命题“α⊥β”是命题“m⊥β”的必要不充分条件。
15．（2025高二上·徐汇月考）设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；曲线与方程
【解析】【解答】解：曲线化为，它表示顶点分别为的菱形，
以为焦点，长轴长为26，短轴长为10的椭圆方程为，
在直角坐标系中，作出曲线和椭圆，如图所示：
由图形以及椭圆的定义知：若在椭圆上，又在曲线上时，
即或时，；
若在椭圆内部，又在曲线上时，，
故.
故答案为：C.
【分析】化曲线为，它表示顶点分别为的菱形，化简确定曲线与椭圆的位置关系，再结合椭圆的定义求解判断即可.
16．（2025高二上·徐汇月考）如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为------------------------------------------------------------------
A．10 B．8 C． D．12
【答案】A
【知识点】直线的截距式方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：设切线方程为，
因为切线过点，所以，，
则的周长为，即，
即，即，
，即，解得，
则周长的最小值为10.
故答案为：A.
【分析】设切线方程为，将点代入，用a表示可得，再表示周长，整体转化为关于t的二次方程由两个解，利用判别式求解即可.
17．（2025高二上·徐汇月考）已知点，直线l：
（1）求点M关于点对称点的坐标
（2）求过点M与直线l平行的直线.
【答案】（1）解：设，由题意可得，解得，则；
（2）解：设所求直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
则所求直线方程为：.
【知识点】两条直线平行的判定；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）设，利用中点坐标公式求解即可；
（2）根据直线平行，设所求直线方程为，将代入点，求解即可.
（1）设，
则点为，的中点，
所以，解得，
所以；
（2）设所求直线方程为，
代入点，
则有，
解得，
所以所求直线方程为：.
18．（2025高二上·徐汇月考）已知直线：恒过点，为坐标原点.
（1）求点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
【答案】（1）解： 直线： 化为，
令，解得，则点的坐标为；
（2）解：由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大，
直线的斜率，则直线的斜率，
故直线的方程为，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的一般式方程；恒过定点的直线
【解析】【分析】（1）将直线的方程化为，令，求解即可得点的坐标；
（2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大，先求直线的斜率，再根据直线垂直斜率的关系，求直线的方程即可.
（1）直线的方程化为，令，解得，
所以点的坐标为.
（2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大，
而直线的斜率，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
19．（2025高二上·徐汇月考）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.
（1）求几何体的体积；
（2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.
【答案】（1）解：几何体的体积为；
（2）解：观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，，
因为，所以该亭子满足建筑要求.
【知识点】异面直线所成的角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据圆锥、圆柱的体积公式直接求解即可；
（2）易知是圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，用的正切值转化出然后判断是否满足建筑要求.
（1）
（2）观察圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角，等于，，所以，
因为
所以该亭子满足建筑要求.
20．（2025高二上·徐汇月考）如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．
【答案】解：（1）由于与的两边均相切，则到及的距离均为的半径，
即在的平分线上，同理，也在的平分线上，
即三点共线，且为的平分线，
因为的坐标为，所以到轴的距离为1，即的半径为1，则的方程为；
设的半径为，其与轴的切点为，连接、，
由可知，，则，即，
则圆的方程为；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，
此弦的方程是，即：，
圆心到该直线的距离，则弦长为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由题意可知：为的平分线，由点M的坐标可知，圆的半径为1，从而确定圆M的方程；设的半径为，其与轴的切点为，连接、，利用三角形相似，列式求圆的半经，即可求得圆N的方程；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，先求弦所在直线的直线方程，再利用点到直线的距离，以及勾股定理求解即可.
21．（2025高二上·徐汇月考）已知圆：和圆：（）.
（1）若圆与圆相交，求r的取值范围；
（2）若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；
（3）若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
【答案】（1）解：易知圆的圆心和半径分别为，
则，
因为圆与圆相交，所以，解得，
则r的取值范围为；
（2）解：联立，消去得，
，解得，
设，由韦达定理可得，
则，
，整理得，
因为，所以；
（3）解：设，直线，因为，所以直线，
又因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
所以点到直线的距离与点到直线的距离相等，
即，
依题意，对无穷多的成立，
则或，解得或，
故满足条件的点P的坐标有或.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）易知两圆的圆心和半经，再根据两点间距离公式求圆心距，利用相交时圆心距和半径的关系列式求解即可；
（2）联立直线与，消元整理，结合韦达定理以及向量数量积的运算求解即可；
（3）设，写出直线，再根据直线垂直关系写出直线方程，由题意可得，利用点到直线的距离公式列式整理可得对无穷多的成立，由或，求解即可.
（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为，
则，
又因为圆与圆相交，所以，
解得，
所以r的取值范围为；
（2）由，消去得，
，解得，
设，则有，
所以，
由，
整理得，
又因，则可得；
（3）设，，因，则，
因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
则点到直线的距离与点到直线的距离相等，
即，
依题意，对无穷多的成立，
所以或，
解得或，
即满足条件的点P的坐标有或.
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