四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·彭山月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
故答案为：B.
【分析】根据补集的运算法则和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高一上·彭山月考）已知函数那么的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：A.
【分析】先求出，结合代入法，从而得出的值.
3．（2025高一上·彭山月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，
得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据题中的定义域和偶次根式函数求定义域的方法，从而建立不等式组，进而解方程组得出所求函数的定义域.
4．（2025高一上·彭山月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再利用充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2025高一上·彭山月考）已知，且的图象如图所示，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题中图象知，函数过，，
则，所以．
又因为，所以（负值舍去），
则，
．
故答案为：B.
【分析】先根据函数图象上两点的坐标结合代入法，从而可得函数解析式，再利用代入法得出的值.
6．（2025高一上·彭山月考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
函数在R上单调递增，
，则，所以；
，函数在上单调递增，
，则，所以，
．
故答案为：C．
【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性，从而比较出的大小关系．
7．（2025高一上·彭山月考）已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数的定义域是，又因为是奇函数，
所以，
则，
解得，
当时，，
则，符合题意，
所以的值为.
故答案为：B.
【分析】根据函数的奇函数的定义，从而列方程，再结合检验法得出实数的值.
8．（2025高一上·彭山月考）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，，
要使在上单调递增，则，解不等式得；
当时，，要使单调递增，则，解得；
在处，需要满足，即， 解得，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性，以及每一段上函数均单调，以及分界点处函数值的大小关系列不等式组求解即可.
9．（2025高一上·彭山月考）设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
则，故A错误；
对于B，由，函数单调递增，则，故B正确；
对于C，由，得，故C错误；
对于D，因为函数单调递增，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的基本性质、幂函数的单调性和指数函数单调性，从而逐项判断找出不等式一定成立的选项.
10．（2025高一上·彭山月考）已知定义在上的函数，满足对任意的实数，，均有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．函数为增函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A：令，则，所以，故A正确；
对于B：令，，则，所以，故B正确；
对于C：令，则，其中，，
令，，即对、，当时，恒成立，
则函数为减函数，故C错误；
对于D：令，则，又，
所以，则函数的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】通过赋值和，以及已知条件，可判断出选项A和选项B；由结合可判断选项C；令和已知条件，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高一上·彭山月考）已知，，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的最小值为8
C．的最小值是 D．的最小值为2
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
A、由，可得，因为，所以，即，故A正确；
B、由，得，因为，所以，
则，当且仅当时等号成立，故B正确；
C、由，令，得，解得，
则，当且仅当时取等号，故C错误；
D、，
当且仅当时等号成立等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，可得，由题意可得，解得，即可判断A；由，得，利用基本不等式求最值即可判断BCD.
12．（2025高一上·彭山月考）当且时，函数的图象一定经过定点 ．
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，可得当时，，所以图象一定经过定点.
故答案为：.
【分析】本题考查指数函数的定点.根据指数函数的定点，指数位置的数等于0，故令可求出定点的横坐标，再代入解析式可求出定点的纵坐标，进而可求出定点.
13．（2025高一上·彭山月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 ．
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：当时，，
则，解得，
因此，当时，，
由函数是定义在R上的奇函数，得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和奇函数的性质，从而求出的值，则得出当时的函数的解析式，再利用奇函数的定义求出的值.
14．（2025高一上·彭山月考）已知函数，若，且，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
由图可知：当时，单调递增，且；
当时，单调递增，且，
令，解得，令，则，
若，且，则，，
，，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，，当时，，
故.
故答案为：.
【分析】根据函数的解析式，画出函数图象，根据图象分别判断函数的单调性，令，解得，令，则，假设，结合，分析出，，则，，再结合函数单调性得到值域，求取值范围即可.
15．（2025高一上·彭山月考）（1）求值：；
（2）若，
（i）；
（ii）求．
【答案】解：（1）原式
.
（2）（i）因为，
所以，
则.
（ii）由，
得，
则，
又因为，
所以．
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质和根式与分式指数幂的互化公式，从而化简求值.
（2）（i）对进行平方，再结合，从而得出的值，结合完全平方公式可求出结果．
（ii）对平方和立方和公式以及，从而得出的值.
16．（2025高一上·彭山月考）已知二次函数满足：且.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）设，，求的最大值．
【答案】（1）解：，
，此时，，
则，
，解得，
，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
又因为，，所以，
因此，函数在区间上的值域为.
（2）解：由，
得，
则，
由题意，可知不等式对任意的恒成立，
则，
解得，
因此，实数的取值范围是.
（3）解：因为，
所以，对称轴为：
①当时，则，
如图1，；
②当时，则，
如图2，，
综上所述：
.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和待定系数法，从而得出函数的解析式，再利用二次函数在区间的单调性，从而得出二次函数在区间上的值域.
（2）由（1）中函数的解析式结合不等式恒成立问题求解方法，则根据判别式法得出实数k的取值范围.
（3）通过对和的分类讨论，再利用二次函数的单调性求出二次函数的最大值，从而得出函数的最大值.
（1），，
此时，，
则，
，解得，.
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，
又，，则.
因此，函数在区间上的值域为；
（2）由得，即，
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
（3），
对称轴为：
①当时，即：；
如图1，；
②当时，即：；
如图2..
综上所述：
17．（2025高一上·彭山月考）已知幂函数（为常数）的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）设，
（i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
（ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）解：因为幂函数（为常数）的图象经过点，
所以，则，
所以.
（2）解：.
（i）在区间上单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，
则，
所以，
可得函数在区间上单调递增.
（ii）由（i）知，为增函数，
由，得恒成立，
∴恒成立，
又因为在区间为减函数，
当时，，
所以的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的图象经过点，则由代入法列出方程，从而求解得出函数解析式.
（2）（i）利用单调函数的定义判断函数的单调性并证明.
（ii）利用不等式恒成立问题求解方法，则转化为求的最大值，再利用函数的单调性求最值的方法，从而得出实数t的取值范围.
（1）因为幂函数（为常数）的图象经过点，
则，所以，故；
（2），
（i）在区间上单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，可得函数在区间上单调递增；
（ii）由（i）知，为增函数.
∴由得，恒成立，
∴恒成立
又在区间为减函数，
当时，，
所以的范围为.
18．（2025高一上·彭山月考）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：（1）因为，
所以，
化简得：．
（2）当时，
为对称轴为且开口向上的抛物线，
因为函数在单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，
综上所述，当时，单株利润最大，为380元．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意结合利润求解方法，从而得出函数的解析式.
（2）根据分段函数的定义域结合二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而求出每段函数的利润最大值，再比较得出当时，单株利润最大，为380元．
19．（2025高一上·彭山月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．
（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
【答案】解：（1）证明：由为上的增函数，可得，，无解，
则不存在“黄金区间”；
（2）记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数值域为，可知，
而其对称轴为，∴在上必为增函数，
令，即，解得，
故该函数有唯一一个“黄金区间”；
（3）由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，解得或，
由韦达定理知，，
则，其中或，
故当时，取得最大值．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）易知函数为上的增函数，若函数存在“黄金区间”，则在区间上，满足，列方程求解判断即可；
（2）记是函数的一个“黄金区间”，由可得出，再根据二次函数的对称轴，列方程，求解函数的“黄金区间”即可；
（3）化简，可得函数的单调递增区间，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式，以及韦达定理表示，结合a的取值范围求的最大值即可．
1 / 1四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·彭山月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·彭山月考）已知函数那么的值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2025高一上·彭山月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·彭山月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一上·彭山月考）已知，且的图象如图所示，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2025高一上·彭山月考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·彭山月考）已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．（2025高一上·彭山月考）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·彭山月考）设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·彭山月考）已知定义在上的函数，满足对任意的实数，，均有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．函数为增函数
D．函数的图象关于点对称
11．（2025高一上·彭山月考）已知，，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的最小值为8
C．的最小值是 D．的最小值为2
12．（2025高一上·彭山月考）当且时，函数的图象一定经过定点 ．
13．（2025高一上·彭山月考）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 ．
14．（2025高一上·彭山月考）已知函数，若，且，则的取值范围是 .
15．（2025高一上·彭山月考）（1）求值：；
（2）若，
（i）；
（ii）求．
16．（2025高一上·彭山月考）已知二次函数满足：且.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（3）设，，求的最大值．
17．（2025高一上·彭山月考）已知幂函数（为常数）的图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）设，
（i）判断的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
（ii）若关于m的不等式恒成立，求实数t的取值范围.
18．（2025高一上·彭山月考）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量U（单位：千克）与施用发酵有机肥x（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为75元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19．（2025高一上·彭山月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．
（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
故答案为：B.
【分析】根据补集的运算法则和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：A.
【分析】先求出，结合代入法，从而得出的值.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由函数的定义域为，
得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：D.
【分析】根据题中的定义域和偶次根式函数求定义域的方法，从而建立不等式组，进而解方程组得出所求函数的定义域.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再利用充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】B
【知识点】函数的值；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题中图象知，函数过，，
则，所以．
又因为，所以（负值舍去），
则，
．
故答案为：B.
【分析】先根据函数图象上两点的坐标结合代入法，从而可得函数解析式，再利用代入法得出的值.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
函数在R上单调递增，
，则，所以；
，函数在上单调递增，
，则，所以，
．
故答案为：C．
【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性，从而比较出的大小关系．
7．【答案】B
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数的定义域是，又因为是奇函数，
所以，
则，
解得，
当时，，
则，符合题意，
所以的值为.
故答案为：B.
【分析】根据函数的奇函数的定义，从而列方程，再结合检验法得出实数的值.
8．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：当时，，
要使在上单调递增，则，解不等式得；
当时，，要使单调递增，则，解得；
在处，需要满足，即， 解得，
综上：实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的单调性，以及每一段上函数均单调，以及分界点处函数值的大小关系列不等式组求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
则，故A错误；
对于B，由，函数单调递增，则，故B正确；
对于C，由，得，故C错误；
对于D，因为函数单调递增，所以，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用不等式的基本性质、幂函数的单调性和指数函数单调性，从而逐项判断找出不等式一定成立的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A：令，则，所以，故A正确；
对于B：令，，则，所以，故B正确；
对于C：令，则，其中，，
令，，即对、，当时，恒成立，
则函数为减函数，故C错误；
对于D：令，则，又，
所以，则函数的图象关于点对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】通过赋值和，以及已知条件，可判断出选项A和选项B；由结合可判断选项C；令和已知条件，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
A、由，可得，因为，所以，即，故A正确；
B、由，得，因为，所以，
则，当且仅当时等号成立，故B正确；
C、由，令，得，解得，
则，当且仅当时取等号，故C错误；
D、，
当且仅当时等号成立等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，可得，由题意可得，解得，即可判断A；由，得，利用基本不等式求最值即可判断BCD.
12．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：令，可得当时，，所以图象一定经过定点.
故答案为：.
【分析】本题考查指数函数的定点.根据指数函数的定点，指数位置的数等于0，故令可求出定点的横坐标，再代入解析式可求出定点的纵坐标，进而可求出定点.
13．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】解：当时，，
则，解得，
因此，当时，，
由函数是定义在R上的奇函数，得.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和奇函数的性质，从而求出的值，则得出当时的函数的解析式，再利用奇函数的定义求出的值.
14．【答案】
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
由图可知：当时，单调递增，且；
当时，单调递增，且，
令，解得，令，则，
若，且，则，，
，，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，，当时，，
故.
故答案为：.
【分析】根据函数的解析式，画出函数图象，根据图象分别判断函数的单调性，令，解得，令，则，假设，结合，分析出，，则，，再结合函数单调性得到值域，求取值范围即可.
15．【答案】解：（1）原式
.
（2）（i）因为，
所以，
则.
（ii）由，
得，
则，
又因为，
所以．
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质和根式与分式指数幂的互化公式，从而化简求值.
（2）（i）对进行平方，再结合，从而得出的值，结合完全平方公式可求出结果．
（ii）对平方和立方和公式以及，从而得出的值.
16．【答案】（1）解：，
，此时，，
则，
，解得，
，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值为，
又因为，，所以，
因此，函数在区间上的值域为.
（2）解：由，
得，
则，
由题意，可知不等式对任意的恒成立，
则，
解得，
因此，实数的取值范围是.
（3）解：因为，
所以，对称轴为：
①当时，则，
如图1，；
②当时，则，
如图2，，
综上所述：
.
【知识点】函数的值域；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和待定系数法，从而得出函数的解析式，再利用二次函数在区间的单调性，从而得出二次函数在区间上的值域.
（2）由（1）中函数的解析式结合不等式恒成立问题求解方法，则根据判别式法得出实数k的取值范围.
（3）通过对和的分类讨论，再利用二次函数的单调性求出二次函数的最大值，从而得出函数的最大值.
（1），，
此时，，
则，
，解得，.
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，
又，，则.
因此，函数在区间上的值域为；
（2）由得，即，
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
（3），
对称轴为：
①当时，即：；
如图1，；
②当时，即：；
如图2..
综上所述：
17．【答案】（1）解：因为幂函数（为常数）的图象经过点，
所以，则，
所以.
（2）解：.
（i）在区间上单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，
则，
所以，
可得函数在区间上单调递增.
（ii）由（i）知，为增函数，
由，得恒成立，
∴恒成立，
又因为在区间为减函数，
当时，，
所以的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据幂函数的图象经过点，则由代入法列出方程，从而求解得出函数解析式.
（2）（i）利用单调函数的定义判断函数的单调性并证明.
（ii）利用不等式恒成立问题求解方法，则转化为求的最大值，再利用函数的单调性求最值的方法，从而得出实数t的取值范围.
（1）因为幂函数（为常数）的图象经过点，
则，所以，故；
（2），
（i）在区间上单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，可得函数在区间上单调递增；
（ii）由（i）知，为增函数.
∴由得，恒成立，
∴恒成立
又在区间为减函数，
当时，，
所以的范围为.
18．【答案】解：（1）因为，
所以，
化简得：．
（2）当时，
为对称轴为且开口向上的抛物线，
因为函数在单调递增，
所以，
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，
综上所述，当时，单株利润最大，为380元．
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意结合利润求解方法，从而得出函数的解析式.
（2）根据分段函数的定义域结合二次函数求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而求出每段函数的利润最大值，再比较得出当时，单株利润最大，为380元．
19．【答案】解：（1）证明：由为上的增函数，可得，，无解，
则不存在“黄金区间”；
（2）记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数值域为，可知，
而其对称轴为，∴在上必为增函数，
令，即，解得，
故该函数有唯一一个“黄金区间”；
（3）由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，解得或，
由韦达定理知，，
则，其中或，
故当时，取得最大值．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）易知函数为上的增函数，若函数存在“黄金区间”，则在区间上，满足，列方程求解判断即可；
（2）记是函数的一个“黄金区间”，由可得出，再根据二次函数的对称轴，列方程，求解函数的“黄金区间”即可；
（3）化简，可得函数的单调递增区间，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式，以及韦达定理表示，结合a的取值范围求的最大值即可．
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