四川省南充高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题
1．（2025高二上·顺庆月考）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·顺庆月考）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（ ）
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
3．（2025高二上·顺庆月考）直线与直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·顺庆月考）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·顺庆月考）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．（2025高二上·顺庆月考）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．12
7．（2025高二上·顺庆月考）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·顺庆月考）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·顺庆月考）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是双曲线，则焦距为
10．（2025高二上·顺庆月考）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ）
A．曲线C的图象关于原点对称 B．的最大值
C．直线AB与曲线C没有其它交点 D．曲线C所围成的面积为
11．（2025高二上·顺庆月考）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为
C．若且，则当取得最小值时，
D．若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为
12．（2025高二上·顺庆月考）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 .
13．（2025高二上·顺庆月考）函数与函数的图象仅有一个公共点，则实数的取值范围是 .
14．（2025高二上·顺庆月考）设B是椭圆C：(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围
15．（2025高二上·顺庆月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程.
16．（2025高二上·顺庆月考）2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了木偶艺术相关知识测试.随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照分成6组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数；
（2）试估计本次测试成绩的分位数；
（3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率.
17．（2025高二上·顺庆月考）已知圆.
（1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程；
（2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）.
18．（2025高二上·顺庆月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥外接球的表面积.
19．（2025高二上·顺庆月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知双曲线的焦点在轴上，
则，所以，
则双曲线的焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出a，b的值，再利用双曲线中的关系式，从而得出c的值，进而得出双曲线的焦点坐标.
2．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，
甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，
甲的脱靶概率为，乙的脱靶概率为，
则两人都脱靶的概率为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出两人都脱靶的概率.
3．【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线化为：，
则直线与直线之间的距离为：.
故答案为：B.
【分析】先将直线化为：，再根据两平行线间的距离公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】由已知条件和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径，
，
因为，所以两圆相交，
两圆方程相减可得，
点到直线的距离，
则两圆的公共弦长为.
故答案为：A.
【分析】先化圆方程为标准式求得圆心和半经，再计算圆心距，判断两圆相交，圆方程作差求得相交弦所在直线方程，结合勾股定理求公共弦长即可.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：在椭圆中，，
则，所以椭圆的焦点分别为与，
则与是双曲线的两个焦点，
因此，
所以，
当且仅当且时，即当时取等号，
因此的最小值为9.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和椭圆中a，b，c三者的关系式与双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出，再利用基本不等式中“1”的妙用和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
7．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，
所以，则，解得，
则r的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】易知圆心和半经，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，由题意得到，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题；相等向量
【解析】【解答】解：设，
则的直线方程为，，
整理得：
由，
解得，则定点
因为，
则为中点，
所以，
则直线，即．
故答案为：A.
【分析】根据极点和极线的定义，从而写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点的斜率乘积为定值，从而得出直线的方程.
9．【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于选项A，若曲线为椭圆，
需满足，解得且，故选项A错误；
对于选项B，若曲线为双曲线，需满足，
解得或，故选项B正确；
对于选项C，若椭圆焦点在轴上，需满足，
解得，故选项C正确；
对于选项D，因为曲线表示双曲线，所以或，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为，
所以；
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为，
所以，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程满足的条件，从而列出关于的不等式组，求解不等式组得出实数的取值范围，则判断选项A、选项B和选项C；根据双曲线中，从而得出双曲线的焦距，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的定义；双曲线的定义；曲线与方程
【解析】【解答】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；
当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，
由图可知，
对于A，因为，所以，
即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确；
对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误；
曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，利用分类讨论：， ；， ；， ；， ； ，求出对应曲线，接着对每一个选项进行判断即可得到结果.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题；棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，则为线段的中点，
所以
根据正方体的性质，可知，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
则，所以，故选项A正确；
对于选项B，当时，是的三等分点（靠近点），
设是的三等分点且，
连接，则，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
则，
所以到的距离为，
则截面面积为，故选项B不正确；
对于选项C，当时，设分别是的中点，连接，
则在线段上，
因为，所以是的中点，
连接，
将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示，
连接，交于，
由图可知的最小值是，此时，对应，故选项C正确；
对于选项D，依题意，，
则在正方形上，，
设，连接，
则，
若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，
则，，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件正方体的结构特征，再利用三棱锥的体积公式和等体积法，则判断出选项A；利用正方体的结构特征和勾股定理以及等腰梯形的面积公式，则判断出选项B；利用中点的性质和向量共线定理以及几何法求最值的方法，则判断出选项C；利用平面向量基本定理和圆的周长公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】.
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由直线，
可得，
则，
所以直线总是经过定点.
故答案为：.
【分析】方程变形为，令两个式子同时为0，从而解方程组得出直线总是经过的定点坐标.
13．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将变形可得，
两边平方，可得，
则表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点），
所以过定点，如图所示，
当与半圆切于点时，圆心到直线的距离等于1，
则，解得或k=0（舍去）；
当过点时，，解得；
当过点时，，解得，
结合图形可知，
当时，函数与函数的图象仅有一个公共点.
故答案为：.
【分析】利用已知条件变形得到表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点），过定点，从而画出图形，再求出临界情况，从而数形结合得到实数k的取值范围.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，
则，
因为，
当时，即当时，，
所以，化简得：，，
显然该不等式不成立，
当时，即当时，恒成立，
由，得，所以，
综上所述，离心率的范围为.
故答案为：.
【分析】利用两点距离公式将表示出来，再进行配方，分和两种情况讨论结合两点距离最值求解方法以及椭圆的离心率公式，从而得出椭圆C的离心率的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，且的直线方程为，
所以，则，
又因为的顶点，
所以所在的直线方程为，即，
又因为边上的中线所在的直线方程为，
联立方程，解得，
则顶点.
（2）解：设点，
则的中点，
因为点在直线上，
所以，
整理得，
同时点在直线上，
所以，
则，解得，即点，
所以，
可得，
化简得，
则直线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）根据已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线AC的斜率，再利用的顶点和点斜式方程得出直线AC的方程，根据边上的中线所在的直线方程为，联立两直线方程得出顶点C的坐标.
（2）设点，根据已知条件和中点坐标公式以及代入法，从而联立方程组求出的值，进而得出点B的坐标，再利用两点求斜率公式和直线方程转化的方法，从而得出直线BC的方程.
（1）由于，且的直线方程为，
所以，故，又的顶点，
所以所在的直线方程为，即，
由于边上的中线所在的直线方程为，
联立方程，解得，故点.
（2）设点，则的中点，
由于点在直线上，
所以，整理得，
同时点在直线上，所以，
故，解得，即点，
所以，可得，
化简得，故直线的方程为.
16．【答案】（1）解：由题意，
得，
解得，
所以测试成绩在内学生的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可知，
前三组的频率和为，
前四组的频率和为，
则分位数在内，
设本次测试成绩的分位数为，
由，
解得，
则本次测试成绩的分位数为74.
（3）解：抽取的成绩在内的人数为，记为，
抽取的成绩在内的人数为，记为，
则从5人中随机抽取2人的情况有：
，共10种，
其中恰有一人的成绩在[90，100]内的有，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组的频率和为1，从而列方程求出的值，再根据频率、频数和样本容量的关系式，从而求解得出测试成绩在内的学生人数.
（2）利用频率分布直方图求分位数的方法，从而估计出本次测试成绩的分位数.
（3）利用分层抽样的方法求出成绩在和内所抽取的人数，利用列举法列出所有情况，再根据古典概率公式得出这两人中恰好有一人的成绩在内的概率.
（1）由题意得，
解得，
所以测试成绩在内学生的人数为；
（2）由频率分布直方图可知，前三组的频率和为，
前四组的频率和为，
故分位数在内，设本次测试成绩的分位数为，
由，解得，
故本次测试成绩的分位数为74.
（3）抽取的成绩在内的人数为，记为，
抽取的成绩在内的人数为，记为，
则从5人中随机抽取2人的情况有：，共10种，
其中恰有一人的成绩在[90，100]内的有，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为.
17．【答案】（1）解：因为圆的圆心为，半径，
过点的切线如图：
若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
根据直线与圆相切，可得：，
则，解得，
所以切线方程为，即，
则过点的切线方程为或.
（2）解：由，
得，
整理可得：，
设，
由，
解得
则，
所以
，
则
因为，
所以，
则的取值范围为.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合斜率分类讨论，则设出切线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，从而得出切线的斜率，进而可得圆的切线方程.
（2）利用已知条件联立直线方程与圆的方程，再利用判别式法和韦达定理，再结合向量的坐标运算和二次函数求值域的方法，从而得出参数m的取值范围，进而得出的取值范围.
（1）圆的圆心为，半径，过点的切线，
若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即
则根据相切可得：，即，解得，
所以切线方程为，即；
即过点的切线方程为或，
（2）由，得，
整理可得：，
设，
由，解得
则，
所以
，
即，
因为，
所以，
即的取值范围为.
18．【答案】（1）证明：∵底面，平面，平面，
∴，
在矩形中，，
∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
，
则.
（2）解：因为，
，
设，
则，∴，
，∴，
，∴，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
∴平面的一个法向量为.
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
∵，所以
，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，
则，解得，
∴三棱锥外接球的表面积为.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在四棱锥中，先证明三条直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得到点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出.
（2）设得到点的坐标，从而得到向量的坐标，再由得到对应向量的数量积，从而建立方程解得的值，再设平面法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，利用已知条件建立方程组得出球的半径，再利用球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积.
（1）∵底面，平面，平面，
∴，在矩形中，
∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，
则
得证：
（2）则，.
设，则，∴
，∴
，∴.
设平面的法向量为，
则，取，得，
∴平面的一个法向量为.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
∵，∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，
则，解得，
∴三棱锥外接球的表面积为
19．【答案】（1）解：因为的周长为8，离心率为，所以，即，，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）解：由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，
（i）联立直线与椭圆的方程：，消元整理可得，解得或，
则，，
以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，
，，，
所以，
记异面直线和所成角为，则；
（ii）由，，，
设折叠前，，
直线与椭圆联立方程，得，
即，，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），
设，在新图形中对应点记为，，，
，，
①，
即
所以②，
由①②可得：
即
则
即，，解得，
因为，所以．
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合椭圆标准方程的定义列式求解即可；
（2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值．
1 / 1四川省南充高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题
1．（2025高二上·顺庆月考）双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意知双曲线的焦点在轴上，
则，所以，
则双曲线的焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】根据双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出a，b的值，再利用双曲线中的关系式，从而得出c的值，进而得出双曲线的焦点坐标.
2．（2025高二上·顺庆月考）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为（ ）
A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，
甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，
甲的脱靶概率为，乙的脱靶概率为，
则两人都脱靶的概率为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出两人都脱靶的概率.
3．（2025高二上·顺庆月考）直线与直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线化为：，
则直线与直线之间的距离为：.
故答案为：B.
【分析】先将直线化为：，再根据两平行线间的距离公式求解即可.
4．（2025高二上·顺庆月考）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】由已知条件和空间向量基本定理，从而找出正确的选项.
5．（2025高二上·顺庆月考）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径，
，
因为，所以两圆相交，
两圆方程相减可得，
点到直线的距离，
则两圆的公共弦长为.
故答案为：A.
【分析】先化圆方程为标准式求得圆心和半经，再计算圆心距，判断两圆相交，圆方程作差求得相交弦所在直线方程，结合勾股定理求公共弦长即可.
6．（2025高二上·顺庆月考）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：在椭圆中，，
则，所以椭圆的焦点分别为与，
则与是双曲线的两个焦点，
因此，
所以，
当且仅当且时，即当时取等号，
因此的最小值为9.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和椭圆中a，b，c三者的关系式与双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出，再利用基本不等式中“1”的妙用和基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值．
7．（2025高二上·顺庆月考）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，
所以，则，解得，
则r的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】易知圆心和半经，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，由题意得到，求解即可.
8．（2025高二上·顺庆月考）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题；相等向量
【解析】【解答】解：设，
则的直线方程为，，
整理得：
由，
解得，则定点
因为，
则为中点，
所以，
则直线，即．
故答案为：A.
【分析】根据极点和极线的定义，从而写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点的斜率乘积为定值，从而得出直线的方程.
9．（2025高二上·顺庆月考）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是双曲线，则焦距为
【答案】B,C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对于选项A，若曲线为椭圆，
需满足，解得且，故选项A错误；
对于选项B，若曲线为双曲线，需满足，
解得或，故选项B正确；
对于选项C，若椭圆焦点在轴上，需满足，
解得，故选项C正确；
对于选项D，因为曲线表示双曲线，所以或，
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为，
所以；
当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时双曲线的方程为，
所以，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程满足的条件，从而列出关于的不等式组，求解不等式组得出实数的取值范围，则判断选项A、选项B和选项C；根据双曲线中，从而得出双曲线的焦距，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
10．（2025高二上·顺庆月考）曲线，A，B是曲线C上任意两点，则（ ）
A．曲线C的图象关于原点对称 B．的最大值
C．直线AB与曲线C没有其它交点 D．曲线C所围成的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的定义；双曲线的定义；曲线与方程
【解析】【解答】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；
当时，曲线表示坐标原点；即其图象如图所示，
由图可知，
对于A，因为，所以，
即点与点均符合曲线C的方程，所以曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，曲线上两点之间最大距离，如图中，故B正确；
对于C，直线AB取除了有，与曲线C有其它交点，故C错误；
曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故D正确；
故答案为：ABD．
【分析】根据题意，利用分类讨论：， ；， ；， ；， ； ，求出对应曲线，接着对每一个选项进行判断即可得到结果.
11．（2025高二上·顺庆月考）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为
C．若且，则当取得最小值时，
D．若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为
【答案】A,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题；棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于选项A，当时，则为线段的中点，
所以
根据正方体的性质，可知，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
则，所以，故选项A正确；
对于选项B，当时，是的三等分点（靠近点），
设是的三等分点且，
连接，则，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
则，
所以到的距离为，
则截面面积为，故选项B不正确；
对于选项C，当时，设分别是的中点，连接，
则在线段上，
因为，所以是的中点，
连接，
将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示，
连接，交于，
由图可知的最小值是，此时，对应，故选项C正确；
对于选项D，依题意，，
则在正方形上，，
设，连接，
则，
若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，
则，，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件正方体的结构特征，再利用三棱锥的体积公式和等体积法，则判断出选项A；利用正方体的结构特征和勾股定理以及等腰梯形的面积公式，则判断出选项B；利用中点的性质和向量共线定理以及几何法求最值的方法，则判断出选项C；利用平面向量基本定理和圆的周长公式，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025高二上·顺庆月考）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 .
【答案】.
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：由直线，
可得，
则，
所以直线总是经过定点.
故答案为：.
【分析】方程变形为，令两个式子同时为0，从而解方程组得出直线总是经过的定点坐标.
13．（2025高二上·顺庆月考）函数与函数的图象仅有一个公共点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：将变形可得，
两边平方，可得，
则表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点），
所以过定点，如图所示，
当与半圆切于点时，圆心到直线的距离等于1，
则，解得或k=0（舍去）；
当过点时，，解得；
当过点时，，解得，
结合图形可知，
当时，函数与函数的图象仅有一个公共点.
故答案为：.
【分析】利用已知条件变形得到表示圆心为，半径为1的上半圆（包括端点），过定点，从而画出图形，再求出临界情况，从而数形结合得到实数k的取值范围.
14．（2025高二上·顺庆月考）设B是椭圆C：(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，
则，
因为，
当时，即当时，，
所以，化简得：，，
显然该不等式不成立，
当时，即当时，恒成立，
由，得，所以，
综上所述，离心率的范围为.
故答案为：.
【分析】利用两点距离公式将表示出来，再进行配方，分和两种情况讨论结合两点距离最值求解方法以及椭圆的离心率公式，从而得出椭圆C的离心率的取值范围.
15．（2025高二上·顺庆月考）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为.求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程.
【答案】（1）解：因为，且的直线方程为，
所以，则，
又因为的顶点，
所以所在的直线方程为，即，
又因为边上的中线所在的直线方程为，
联立方程，解得，
则顶点.
（2）解：设点，
则的中点，
因为点在直线上，
所以，
整理得，
同时点在直线上，
所以，
则，解得，即点，
所以，
可得，
化简得，
则直线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的一般式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）根据已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出直线AC的斜率，再利用的顶点和点斜式方程得出直线AC的方程，根据边上的中线所在的直线方程为，联立两直线方程得出顶点C的坐标.
（2）设点，根据已知条件和中点坐标公式以及代入法，从而联立方程组求出的值，进而得出点B的坐标，再利用两点求斜率公式和直线方程转化的方法，从而得出直线BC的方程.
（1）由于，且的直线方程为，
所以，故，又的顶点，
所以所在的直线方程为，即，
由于边上的中线所在的直线方程为，
联立方程，解得，故点.
（2）设点，则的中点，
由于点在直线上，
所以，整理得，
同时点在直线上，所以，
故，解得，即点，
所以，可得，
化简得，故直线的方程为.
16．（2025高二上·顺庆月考）2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了木偶艺术相关知识测试.随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在），将所得数据按照分成6组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求的值，并求出测试成绩在内的学生人数；
（2）试估计本次测试成绩的分位数；
（3）从测试成绩在和内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在内的概率.
【答案】（1）解：由题意，
得，
解得，
所以测试成绩在内学生的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可知，
前三组的频率和为，
前四组的频率和为，
则分位数在内，
设本次测试成绩的分位数为，
由，
解得，
则本次测试成绩的分位数为74.
（3）解：抽取的成绩在内的人数为，记为，
抽取的成绩在内的人数为，记为，
则从5人中随机抽取2人的情况有：
，共10种，
其中恰有一人的成绩在[90，100]内的有，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组的频率和为1，从而列方程求出的值，再根据频率、频数和样本容量的关系式，从而求解得出测试成绩在内的学生人数.
（2）利用频率分布直方图求分位数的方法，从而估计出本次测试成绩的分位数.
（3）利用分层抽样的方法求出成绩在和内所抽取的人数，利用列举法列出所有情况，再根据古典概率公式得出这两人中恰好有一人的成绩在内的概率.
（1）由题意得，
解得，
所以测试成绩在内学生的人数为；
（2）由频率分布直方图可知，前三组的频率和为，
前四组的频率和为，
故分位数在内，设本次测试成绩的分位数为，
由，解得，
故本次测试成绩的分位数为74.
（3）抽取的成绩在内的人数为，记为，
抽取的成绩在内的人数为，记为，
则从5人中随机抽取2人的情况有：，共10种，
其中恰有一人的成绩在[90，100]内的有，共6种，
所以这两人中恰好有一人的成绩在内的概率为.
17．（2025高二上·顺庆月考）已知圆.
（1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程；
（2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）.
【答案】（1）解：因为圆的圆心为，半径，
过点的切线如图：
若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
根据直线与圆相切，可得：，
则，解得，
所以切线方程为，即，
则过点的切线方程为或.
（2）解：由，
得，
整理可得：，
设，
由，
解得
则，
所以
，
则
因为，
所以，
则的取值范围为.
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合斜率分类讨论，则设出切线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，从而得出切线的斜率，进而可得圆的切线方程.
（2）利用已知条件联立直线方程与圆的方程，再利用判别式法和韦达定理，再结合向量的坐标运算和二次函数求值域的方法，从而得出参数m的取值范围，进而得出的取值范围.
（1）圆的圆心为，半径，过点的切线，
若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意；
若切线的斜率存在，设切线方程为，即
则根据相切可得：，即，解得，
所以切线方程为，即；
即过点的切线方程为或，
（2）由，得，
整理可得：，
设，
由，解得
则，
所以
，
即，
因为，
所以，
即的取值范围为.
18．（2025高二上·顺庆月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥外接球的表面积.
【答案】（1）证明：∵底面，平面，平面，
∴，
在矩形中，，
∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
，
则.
（2）解：因为，
，
设，
则，∴，
，∴，
，∴，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
∴平面的一个法向量为.
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
∵，所以
，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，
则，解得，
∴三棱锥外接球的表面积为.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在四棱锥中，先证明三条直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得到点的坐标和向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出.
（2）设得到点的坐标，从而得到向量的坐标，再由得到对应向量的数量积，从而建立方程解得的值，再设平面法向量，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，利用已知条件建立方程组得出球的半径，再利用球的表面积公式得出三棱锥外接球的表面积.
（1）∵底面，平面，平面，
∴，在矩形中，
∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，
则
得证：
（2）则，.
设，则，∴
，∴
，∴.
设平面的法向量为，
则，取，得，
∴平面的一个法向量为.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
∵，∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，
则，解得，
∴三棱锥外接球的表面积为
19．（2025高二上·顺庆月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为的周长为8，离心率为，所以，即，，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）解：由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，
（i）联立直线与椭圆的方程：，消元整理可得，解得或，
则，，
以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，
，，，
所以，
记异面直线和所成角为，则；
（ii）由，，，
设折叠前，，
直线与椭圆联立方程，得，
即，，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），
设，在新图形中对应点记为，，，
，，
①，
即
所以②，
由①②可得：
即
则
即，，解得，
因为，所以．
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合椭圆标准方程的定义列式求解即可；
（2）（i）由（1）知，点，倾斜角为，故直线设为：，与联立求得，，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（ii）根据题意得到，设折叠前，，直线与椭圆联立方程，结合韦达定理，在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴），设，在新图形中对应点记为，，，，得到，结合，得到的值．
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