广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷
1．（2025高二上·东莞月考）关于空间直角坐标系中的一点，下列说法错误的是（ ）
A．的中点坐标为
B．点关于轴对称的点的坐标为
C．点关于原点对称的点的坐标为
D．点关于面对称的点的坐标为
2．（2025高二上·东莞月考）已知数列 是等差数列，数列 分别满足下列各式，其中数列 必为等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·东莞月考）若圆：与圆：内切，则（ ）
A．29 B．9 C． D．19
4．（2025高二上·东莞月考）已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2025高二上·东莞月考）已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·东莞月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
7．（2025高二上·东莞月考）设等差数列前n项和为，等差数列前n项和为，若．则（ ）
A． B．11 C．12 D．13
8．（2025高二上·东莞月考）已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·东莞月考）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（ ）
A．= B．=
C．= D．
10．（2025高二上·东莞月考）已知方程表示曲线Γ，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则Γ是轴 B．若，则Γ是圆
C．若，则Γ是椭圆 D．若Γ是双曲线，则
11．（2025高二上·东莞月考）设是数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高二上·东莞月考）若抛物线上的点到其焦点F的距离为3，则n的值为 ．
13．（2025高二上·东莞月考）已知数列为等差数列，公差，且满足，则 .
14．（2025高二上·东莞月考）已知A、B分别是双曲线的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为，始终满足，其中，则C的离心率为 ．
15．（2025高二上·东莞月考）已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
（1）求双曲线C：方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.
16．（2025高二上·东莞月考）已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
17．（2025高二上·东莞月考）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
18．（2025高二上·东莞月考）已知为等差数列，前n项和为，数列是首项为1的等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
19．（2025高二上·东莞月考）已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值；
（3）若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值 若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解： 空间直角坐标系中的一点，
A、，则 的中点坐标为，故A正确；
B、点关于轴对称的点的坐标为，故B错误；
C、点关于原点对称的点的坐标为，故C正确；
D、点关于面对称的点的坐标为，故D正确.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式求解即可判断A；根据空间点的对称性即可判断BCD.
2．【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】设数列 的公差为d，
A，B，C，都不满足 同一常数，所以三个选项都是错误的；
对于D， ，
所以数列 必为等差数列.
故答案为：D
【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.
3．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆：的圆心，半径；
圆：的标准方程为，
圆心，半径，，
因为圆圆内切，所以，即，解得.
故答案为：C.
【分析】易知圆的圆心和半径，将圆方程化为标准式求得圆心和半经，再求圆心距，根据两圆内切，列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意易知：在椭圆中，则，可得．
故答案为：A.
【分析】由题意和椭圆的短轴长、焦距的定义，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，可得，从而可得参数a的值.
5．【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点在轴上，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和椭圆焦点的位置，从而得出关于m的不等式，解不等式得出实数m的取值范围.
6．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线恒过定点，
因为，所以点在圆的内部，则直线与圆的位置关系为相交.
故答案为：B.
【分析】易知直线恒过定点，将点代入圆方程，判断点在圆的内部，即可得直线与圆的位置关系.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为等差数列前n项和为所以，
当是奇数时，，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的前n项和公式和已知条件，再利用等差数列的性质，从而可得的值.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，所以，
设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即，
所以，反射后的切线方程为：，
由，得，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
，
化简得：，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】由题意结合椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，再联立切线方程与椭圆的方程，再利用得出此条切线的斜率.
9．【答案】C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，建立如图所示空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为1，VA=VB=VC=VD=2，
则 ，
所以，
则，
所以，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先根据题意建立空间直角坐标系和勾股定理，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用空间向量基本定理和向量相等的判断方法，从而逐项判断找出正确的结论选项.
10．【答案】B,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：若，方程为，则Γ是轴，故A错误；
若，方程为，则Γ是圆，故B正确；
若，则方程，其中，且，
则Γ是椭圆，故C正确；
若Γ是双曲线，则，得或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将的值代入方程结合直线的定义、圆的定义和椭圆的定义，则判断出选项A、选项B和选项C；再利用双曲线方程特点得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
设，则，
所以
因为，所以，
解得，故A正确；
由，当且仅当时，即当时，，
所以的最大值为，故D正确；
由，可得，
则，
所以，
则，故C正确；
由，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意变形得到，设，从而得出数列的通项公式，再结合得到的值，则可判断选项A；由结合数列求最值的方法，从而得出的最大值，则可判断选项D；由和数列并项求和的方法，从而得出，则可判断选项C；利用的关系式，则可判断选项B，从而找出正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
由题意，得抛物线上有点到其焦点的距离为3，
结合抛物线的定义，可得，，解得.
故答案为：2.
【分析】利用抛物线方程得出抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义可得.
13．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：
，
所以，，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用等差数列的性质化简得出，再利用等差数列的性质可得的值.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，由M是双曲线上异于A、B的动点，
若直线MA、MB的斜率分别为，则，
又因为，所以，
由，得，
因为，所以，
可得显然不成立，
则，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和两点求斜率公式和代入法，从而得出的值，再利用双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出双曲线C的离心率的值.
15．【答案】（1）解：因为离心率为，
所以，，
则双曲线方程为.
又因为点在双曲线C上，
所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）解：当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，由，
得，则，
解得，不符合题意，
所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，
则，
由，得，
则，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意，
综上所述，直线AB过定点（0，1）.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和双曲线的离心率公式和代入法以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线C的标准方程.
（2）先判断出直线斜率存在，不妨设直线AB的方程为，将直线方程代入双曲线方程，再利用“设而不求法”，从而表示出，进而得到的值，则得到直线AB的方程为，从而判断出直线AB经过定点.
（1）离心率为，则，，即双曲线方程为.
又点在双曲线C上，所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，则，
由，得，即，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点（0，1）.
16．【答案】（1）解：设圆的半径为，由题意可得：，则圆的标准方程为；
（2）解：设圆心到直线到l的距离为，
由题意可得：，解得；
当直线l斜率不存在时，直线，圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线，即，
则，解得，即直线，
故直线l的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的半径为，利用点到直线的距离公式求得半经，即可得圆的标准方程；
（2）设圆心到直线到的距离为，由题意列式求得d，分直线l斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线，利用点到直线的距离公式求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵平面平面，平面平面，平面，，
∴直线平面．
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，．
（1）因为四边形是正方形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，
所以平面，
因此是平面的一个法向量，
又因为，∴，则，
又∵直线平面，∴平面.
（2）解：设为平面的法向量，
∵，
则，所以．
不妨设，可得．
设为平面的法向量，
又∵，，
则，所以．
不妨设，可得．
∴，
又因为二面角为钝二面角，
∴二面角的大小为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理，可建立以，，的方向为轴，轴，轴的正向空间直角坐标系，从而得出点的坐标.
（1）根据正方形的结构特征得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而得出是平面的一个法向量，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出平面.
（2）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为钝二面角，从而得出 二面角的大小 .
18．【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
由，得，
又因为，所以，
解得，所以.
由，得.①，
由，得.②，
联立①②，解得，
所以，
则数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）设数列的前n项和为，
由，，得，
则，
所以，
上述两式相减，得，
所以，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）用等差数列前n项和公式、等差数列通项公式、等比数列通项公式，从而得出的值，再利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式.
（2）由，得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
19．【答案】（1）解：由题意得，
两边平方，得，
整理得，点的轨迹的方程为.
（2）解：在椭圆中，，
则，为的右焦点，
设为的左焦点，连接，
则，，
所以，其中当三点共线时，取得最小值，
为到直线：的距离，
所以，
则最大值，
所以的最大值为.
（3）解：存在两定点S，T，使为定值.
理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立直线与椭圆方程，
得，
则，所以，
设，则，
所以
，
则当时，取得最大值，最大值为，此时，满足，
因为，所以，
则，，所以，
令，两式相除，得，则，
将其代入，得，
结合，得，
化简得，
因为，所以，则，
所以，
当直线的斜率不存在时，设，则，
所以，
不妨设点在第一象限，
则当时，取得最大值，此时的中点坐标为，满足，
则当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，
因为两焦点坐标为，由椭圆定义可知，
存在两定点S，T，分别为或，使为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式、两点距离公式，从而平方化简得出点M的轨迹方程.
（2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线，从而将问题转化为直线上找到一点，使得最大，再利用三点共线求最值的方法和点到直线的距离公式、椭圆的定义，从而得出的最大值.
（3）分直线的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程结合判别式法和韦达定理以及三角形的面积公式，从而得出当时，取得最大值，最大值为，此时，再利用韦达定理和代入法以及中点坐标公式得出点Q关于m的坐标，消元求出点的轨迹方程，当直线的斜率不存在时，设，则，再由三角形面积公式得出焦点坐标可得.
（1）由题意得，
两边平方得，
整理得，点的轨迹的方程为；
（2）中，，则，为的右焦点，
设为的左焦点，
连接，则，，
则，
其中当三点共线时，取得最小值，
为到直线：的距离，所以，
所以最大值，
故的最大值为.
（3）存在两定点S，T，使为定值，理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立直线与椭圆方程得，
，即，
设，则，
故
，
故当时，取得最大值，最大值为，
此时，满足，
因为，所以，
故，
故，
令，两式相除得，故，
将其代入得，结合得，
化简得，
因为，所以，故，即，
当直线的斜率不存在时，设，则，
则，
不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值，
此时的中点坐标为，满足，
故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，
两焦点坐标为，
由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，
使为定值.
1 / 1广东省东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷
1．（2025高二上·东莞月考）关于空间直角坐标系中的一点，下列说法错误的是（ ）
A．的中点坐标为
B．点关于轴对称的点的坐标为
C．点关于原点对称的点的坐标为
D．点关于面对称的点的坐标为
【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标；空间中的中点坐标公式
【解析】【解答】解： 空间直角坐标系中的一点，
A、，则 的中点坐标为，故A正确；
B、点关于轴对称的点的坐标为，故B错误；
C、点关于原点对称的点的坐标为，故C正确；
D、点关于面对称的点的坐标为，故D正确.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式求解即可判断A；根据空间点的对称性即可判断BCD.
2．（2025高二上·东莞月考）已知数列 是等差数列，数列 分别满足下列各式，其中数列 必为等差数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】设数列 的公差为d，
A，B，C，都不满足 同一常数，所以三个选项都是错误的；
对于D， ，
所以数列 必为等差数列.
故答案为：D
【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.
3．（2025高二上·东莞月考）若圆：与圆：内切，则（ ）
A．29 B．9 C． D．19
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：易知圆：的圆心，半径；
圆：的标准方程为，
圆心，半径，，
因为圆圆内切，所以，即，解得.
故答案为：C.
【分析】易知圆的圆心和半径，将圆方程化为标准式求得圆心和半经，再求圆心距，根据两圆内切，列式求解即可.
4．（2025高二上·东莞月考）已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意易知：在椭圆中，则，可得．
故答案为：A.
【分析】由题意和椭圆的短轴长、焦距的定义，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，可得，从而可得参数a的值.
5．（2025高二上·东莞月考）已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的焦点在轴上，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和椭圆焦点的位置，从而得出关于m的不等式，解不等式得出实数m的取值范围.
6．（2025高二上·东莞月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线恒过定点，
因为，所以点在圆的内部，则直线与圆的位置关系为相交.
故答案为：B.
【分析】易知直线恒过定点，将点代入圆方程，判断点在圆的内部，即可得直线与圆的位置关系.
7．（2025高二上·东莞月考）设等差数列前n项和为，等差数列前n项和为，若．则（ ）
A． B．11 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为等差数列前n项和为所以，
当是奇数时，，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据等差数列的前n项和公式和已知条件，再利用等差数列的性质，从而可得的值.
8．（2025高二上·东莞月考）已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，所以，
设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即，
所以，反射后的切线方程为：，
由，得，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
，
化简得：，
则，解得.
故答案为：D.
【分析】由题意结合椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，再联立切线方程与椭圆的方程，再利用得出此条切线的斜率.
9．（2025高二上·东莞月考）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD，则以下结论中，正确的有（ ）
A．= B．=
C．= D．
【答案】C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意，建立如图所示空间直角坐标系，
设底面正方形的边长为1，VA=VB=VC=VD=2，
则 ，
所以，
则，
所以，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，
所以，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先根据题意建立空间直角坐标系和勾股定理，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用空间向量基本定理和向量相等的判断方法，从而逐项判断找出正确的结论选项.
10．（2025高二上·东莞月考）已知方程表示曲线Γ，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则Γ是轴 B．若，则Γ是圆
C．若，则Γ是椭圆 D．若Γ是双曲线，则
【答案】B,C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：若，方程为，则Γ是轴，故A错误；
若，方程为，则Γ是圆，故B正确；
若，则方程，其中，且，
则Γ是椭圆，故C正确；
若Γ是双曲线，则，得或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将的值代入方程结合直线的定义、圆的定义和椭圆的定义，则判断出选项A、选项B和选项C；再利用双曲线方程特点得出实数m的取值范围，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高二上·东莞月考）设是数列的前项和，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
设，则，
所以
因为，所以，
解得，故A正确；
由，当且仅当时，即当时，，
所以的最大值为，故D正确；
由，可得，
则，
所以，
则，故C正确；
由，故B错误.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意变形得到，设，从而得出数列的通项公式，再结合得到的值，则可判断选项A；由结合数列求最值的方法，从而得出的最大值，则可判断选项D；由和数列并项求和的方法，从而得出，则可判断选项C；利用的关系式，则可判断选项B，从而找出正确的选项.
12．（2025高二上·东莞月考）若抛物线上的点到其焦点F的距离为3，则n的值为 ．
【答案】2
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点为，准线方程为，
由题意，得抛物线上有点到其焦点的距离为3，
结合抛物线的定义，可得，，解得.
故答案为：2.
【分析】利用抛物线方程得出抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义可得.
13．（2025高二上·东莞月考）已知数列为等差数列，公差，且满足，则 .
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：
，
所以，，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用等差数列的性质化简得出，再利用等差数列的性质可得的值.
14．（2025高二上·东莞月考）已知A、B分别是双曲线的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若直线MA、MB的斜率分别为，始终满足，其中，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，由M是双曲线上异于A、B的动点，
若直线MA、MB的斜率分别为，则，
又因为，所以，
由，得，
因为，所以，
可得显然不成立，
则，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和两点求斜率公式和代入法，从而得出的值，再利用双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出双曲线C的离心率的值.
15．（2025高二上·东莞月考）已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点.
（1）求双曲线C：方程；
（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：因为离心率为，
所以，，
则双曲线方程为.
又因为点在双曲线C上，
所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）解：当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，由，
得，则，
解得，不符合题意，
所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，
则，
由，得，
则，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意，
综上所述，直线AB过定点（0，1）.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和双曲线的离心率公式和代入法以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，b，c的值，进而得出双曲线C的标准方程.
（2）先判断出直线斜率存在，不妨设直线AB的方程为，将直线方程代入双曲线方程，再利用“设而不求法”，从而表示出，进而得到的值，则得到直线AB的方程为，从而判断出直线AB经过定点.
（1）离心率为，则，，即双曲线方程为.
又点在双曲线C上，所以，
解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，
设，，则，
由，得，即，
整理得，
所以，
整理得：，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点（0，1）.
16．（2025高二上·东莞月考）已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】（1）解：设圆的半径为，由题意可得：，则圆的标准方程为；
（2）解：设圆心到直线到l的距离为，
由题意可得：，解得；
当直线l斜率不存在时，直线，圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线，即，
则，解得，即直线，
故直线l的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的半径为，利用点到直线的距离公式求得半经，即可得圆的标准方程；
（2）设圆心到直线到的距离为，由题意列式求得d，分直线l斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时设直线，利用点到直线的距离公式求解即可.
17．（2025高二上·东莞月考）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明：∵平面平面，平面平面，平面，，
∴直线平面．
由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，．
（1）因为四边形是正方形，所以，
又因为，所以，
又因为平面，
所以平面，
因此是平面的一个法向量，
又因为，∴，则，
又∵直线平面，∴平面.
（2）解：设为平面的法向量，
∵，
则，所以．
不妨设，可得．
设为平面的法向量，
又∵，，
则，所以．
不妨设，可得．
∴，
又因为二面角为钝二面角，
∴二面角的大小为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理，可建立以，，的方向为轴，轴，轴的正向空间直角坐标系，从而得出点的坐标.
（1）根据正方形的结构特征得出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而得出是平面的一个法向量，再利用线面垂直的定义得出线线垂直，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出平面.
（2）根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为钝二面角，从而得出 二面角的大小 .
18．（2025高二上·东莞月考）已知为等差数列，前n项和为，数列是首项为1的等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
由，得，
又因为，所以，
解得，所以.
由，得.①，
由，得.②，
联立①②，解得，
所以，
则数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）设数列的前n项和为，
由，，得，
则，
所以，
上述两式相减，得，
所以，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）用等差数列前n项和公式、等差数列通项公式、等比数列通项公式，从而得出的值，再利用等差数列的通项公式、等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式和数列的通项公式.
（2）由，得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
19．（2025高二上·东莞月考）已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值；
（3）若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值 若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意得，
两边平方，得，
整理得，点的轨迹的方程为.
（2）解：在椭圆中，，
则，为的右焦点，
设为的左焦点，连接，
则，，
所以，其中当三点共线时，取得最小值，
为到直线：的距离，
所以，
则最大值，
所以的最大值为.
（3）解：存在两定点S，T，使为定值.
理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立直线与椭圆方程，
得，
则，所以，
设，则，
所以
，
则当时，取得最大值，最大值为，此时，满足，
因为，所以，
则，，所以，
令，两式相除，得，则，
将其代入，得，
结合，得，
化简得，
因为，所以，则，
所以，
当直线的斜率不存在时，设，则，
所以，
不妨设点在第一象限，
则当时，取得最大值，此时的中点坐标为，满足，
则当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，
因为两焦点坐标为，由椭圆定义可知，
存在两定点S，T，分别为或，使为定值.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式、两点距离公式，从而平方化简得出点M的轨迹方程.
（2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线，从而将问题转化为直线上找到一点，使得最大，再利用三点共线求最值的方法和点到直线的距离公式、椭圆的定义，从而得出的最大值.
（3）分直线的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程结合判别式法和韦达定理以及三角形的面积公式，从而得出当时，取得最大值，最大值为，此时，再利用韦达定理和代入法以及中点坐标公式得出点Q关于m的坐标，消元求出点的轨迹方程，当直线的斜率不存在时，设，则，再由三角形面积公式得出焦点坐标可得.
（1）由题意得，
两边平方得，
整理得，点的轨迹的方程为；
（2）中，，则，为的右焦点，
设为的左焦点，
连接，则，，
则，
其中当三点共线时，取得最小值，
为到直线：的距离，所以，
所以最大值，
故的最大值为.
（3）存在两定点S，T，使为定值，理由如下：
当直线的斜率存在时，设直线方程为，，
联立直线与椭圆方程得，
，即，
设，则，
故
，
故当时，取得最大值，最大值为，
此时，满足，
因为，所以，
故，
故，
令，两式相除得，故，
将其代入得，结合得，
化简得，
因为，所以，故，即，
当直线的斜率不存在时，设，则，
则，
不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值，
此时的中点坐标为，满足，
故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，
两焦点坐标为，
由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，
使为定值.
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