广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2026高二上·顺德月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．0
2．（2026高二上·顺德月考）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ）
A． B．4 C． D．8
3．（2026高二上·顺德月考）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2026高二上·顺德月考）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高二上·顺德月考） 长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高二上·顺德月考）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·顺德月考）已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·顺德月考）设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·顺德月考）已知三条直线，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．三条直线的斜率之积为1
C．三条直线的倾斜角之和为
D．三条直线在轴上的截距之和为12a
10．（2026高二上·顺德月考）有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
11．（2026高二上·顺德月考）已知为数列的前项和，且，则（ ）
A．存在，使得 B．可能是常数列
C．可能是递增数列 D．可能是递减数列
12．（2026高二上·顺德月考）曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
13．（2026高二上·顺德月考）已知等差数列的前项和为，，，则 .
14．（2026高二上·顺德月考）点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为 .
15．（2026高二上·顺德月考）在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为.
（1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和；
（2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
16．（2026高二上·顺德月考）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；
（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.
17．（2026高二上·顺德月考）记等差数列的前项和为，已知
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值以及取得最大值时的的值；
（3）求的前项和．
18．（2026高二上·顺德月考）如图，在三棱锥中，平面平面．
（1）在线段上是否存在点使得平面？并说明理由．
（2）设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（2026高二上·顺德月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，.
（1）求的方程；
（2）当的内切圆面积取得最大值时，求的方程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：易知椭圆的长半轴长，
由点在椭圆上，分别为的左、右焦点，可得，
则平行四边形的周长为.
故答案为：D.
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
设，中点，
由抛物线定理可得，解得，则.
故答案为：B．
【分析】设，中点，由根据抛物线定义列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：易知椭圆的两个焦点分别为，
设双曲线的标准方程为，由题意可得，，
则双曲线的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】易知椭圆的焦点坐标，设双曲线的标准方程为，由题意可得、的值，即可得双曲线的标准方程.
5．【答案】C
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点、、，由题意可得，即，
因为点关于点的对称点为，则为的中点，所以，解得，
将代入，可得，即，
故点的轨迹方程为.
故答案为：C.
【分析】设点、、，由题意可得，分析可知点为的中点，利用中点坐标公式可得，代入等式化简即可求出点的轨迹方程.
6．【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
、、、，，，
则.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算求的值即可.
7．【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两人射击互不影响，二 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，
只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为，
则甲、乙分配猎物的比例应该是.
故答案为：A.
【分析】甲、乙两人射击互不影响，分别计算只有甲或只有乙打中猎物的概率，概率作比即可求得甲、乙分配猎物的比例.
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：取中点，连接，如图所示：
因为，所以，
设，因为，所以，
又因为，所以，所以，
则，，
过点且倾斜角为的直线方程为，，则，
在中，由勾股定理可得，即①，
在中，，即②，
联立①②消去化简得，则双曲线的离心率．
故答案为：D.
【分析】取中点，连接，由，可得，设，由双曲线的定义可知：，，，，，利用点斜式求得过且倾斜角为的直线，利用点到直线的距离公式求得，在和，利用勾股定理，推出、的关系，即可得离心率．
9．【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：设三条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，
直线，；
直线，；
直线，，
A、，则直线与直线不垂直，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
，则，可得，
则三条直线的倾斜角之和为135°，故C正确；
D、易知三条直线在轴上的截距分别为，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设三条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，分别求三条直线的斜率，即可判断AB；利用倾斜角和斜率额关系，结合三角恒等变换求解即可判断C；分别求三直线的纵截距，再求和即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：易知，，
记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为，其中、，
用表示两次取球的号码，
则事件包含的基本事件有：、、、、，则，
事件包含的基本事件有：、、，则，
事件包含的基本事件有：、、，则，
事件包含的基本事件有：，则，
事件包含的基本事件有：，则，
A、，则与相互独立，故A正确；
B、，则与相互独立，故B正确；
C、，则与相互独立，故C正确；
D、，则与不相互独立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，先分别求事件A，B，C发生的概率，再根据独立事件的定义逐项判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为为数列的前项和，且.
对于选项A，取，则，
所以，故选项A对；
对于选项B，取，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，数列可能是常数列，故选项B对；
对于选项C，假设数列为递增数列，
则对任意的，，
所以，
则对任意的恒成立，
但当时，，矛盾，
则数列不可能是递增数列，故选项C错；
对于选项D，取，
则，，，
猜想，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，则，
所以，当时，，
则当时，猜想也成立，
所以，对任意的，，此时，数列为单调递减数列，故选项D对.
故答案为：ABD.
【分析】取，再利用已知的递推公式和数列求和公式，则判断出选项A；利用常数列的定义，则判断出选项B；利用单调函数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】恒过定点的直线；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：易知直线恒过定点，
曲线变形为，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，
如图所示：
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离，解得，
当直线l过点时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】易知直线恒过定点，化简曲线方程，可知曲线以为圆心，2为半径的上半圆，作出曲线，过定点作直线，结合斜率公式，利用数形结合求解的取值范围即可.
13．【答案】9
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由，，可得，，
构成公差为2的等差数列，
则，即.
故答案为：9.
【分析】根据等差数列片段和性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；解三角形
【解析】【解答】解：由，，可得，，
在中，由余弦定理，
可得，
，，，则，，
，则，
取为中点，连接，则，，，
平面，，平面，
过作，交于点，如图所示：
因为平面，，平面，则平面，是到平面的距离，
，，
中，，，
当且仅当时，有最大值2，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，求得，，在中，利用余弦定理求得，再利用线面位置关系，表示出到平面的距离，利用基本不等式求距离最大值时的条件，再计算的面积即可.
15．【答案】（1）解：易知圆的标准方程为，
因为，所以点在圆外，
当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或，
则两切线的斜率之和为；
（2）解：由题意可知：圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）易知圆的标准方程，先判断点和圆的位置关系，再分切线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，列关于的等式，求解即可；
（2）由题意，先求圆心到直线的距离，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出的值可得.
（1）圆的标准方程为，
又因为，即点在圆外，
若切线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，
则直线与圆相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
所以，整理可得，解得或，
故两切线的斜率之和为.
（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：抛掷两枚质地均匀的骰子包含的基本事件有：
，
，共36种情况，
其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：
，共16种情况，
则选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大；
（2）解：若选择方案一，甲获胜的情况为：
甲在前两局获胜，其概率为：；
甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；
甲在第二局，第三局获胜，其概率为：，
则甲获胜的概率为：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）利用列举法求概率，比较即可；
（2）利用独立事件的概率乘法公式分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式计算即可.
（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下：
，
，
其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：
，共16种情况，
故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大.
（2）若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：；
②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：，
因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题可得，解得，
则；
（2）解：由（1）可得，易知是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，
则在或时取得最大值，，
故的最大值为；
（3）解：由（1），则，
当时，；
当时，
，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列式求出公差，即可得等差数列的通项公式；
（2）由（1）的结论，结合等差数列的前项和公式求得，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）先表示，再分与两种情况讨论，求和即可.
（1）设等差数列的公差为，
由题可得，解得，
故；
（2），是关于的二次函数，对称轴为，
在或时取得最大值，，的最大值为；
（3），
.
①当时，；
②当时，
.
因此，.
18．【答案】（1）证明： 在平面内过点作，由平面平面，平面平面，
可得平面，，即，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由，得，
，
假设在线段上存在点，使得平面，
令，，
由，解得，此时，
因为平面，所以平面，
故在线段上存在点使得平面，为在上的投影点；
（2）解：由（1）及分别为线段的中点，得，
则，
设平面的法向量为，则，令，可得，
显然平面的法向量，
设平面与平面夹的角大小为，则，
故平面与平面夹角的余弦值.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在平面内过点作，由题意，推出直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断即可；
（2）利用（1）中空间直角坐标系，利用空间向量求法求解即可.
（1）在平面内过点作，由平面平面，平面平面，
得平面，而，即，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，
假设在线段上存在点使得平面，
令，，
由，解得，此时，
而平面，
因此平面，所以在线段上存在点使得平面，为在上的投影点.
（2）由（1）及分别为线段的中点，得，
则，设平面的法向量为，
则，令，得，
显然平面的法向量，
设平面与平面夹的角大小为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
19．【答案】（1）解：易知，且椭圆过点，则，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：，设直线为，且，
联立，整理得，，
由韦达定理可得，，
则的周长为，
设内切圆的半径为，则，解得，
又因为，所以，
要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大，
，即，
令，则，
，当且仅当即时等号成立，
则，即，，
当时等号成立，此时，，
故直线的方程为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 易知，且椭圆过点， 利用待定系数法求椭圆方程即可；
（2）设直线为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得、，再求的周长，设内切圆的半径为，表示的面积，分析知的内切圆面积取得最大值时，只需最大，进而得到关于的函数，利用换元法，结合基本不等式求最大值即可.
（1）由题意，椭圆过点，且，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知，可设直线为，且，
联立整理得，，
所以，，
的周长为，
设内切圆的半径为，则，所以，
又，所以，
要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大，
而，所以，
令，则，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，即，，
当时等号成立.此时，所以，
所以直线的方程为.
1 / 1广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题
1．（2026高二上·顺德月考）已知向量，，若，则（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式求解即可.
2．（2026高二上·顺德月考）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：易知椭圆的长半轴长，
由点在椭圆上，分别为的左、右焦点，可得，
则平行四边形的周长为.
故答案为：D.
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
3．（2026高二上·顺德月考）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
设，中点，
由抛物线定理可得，解得，则.
故答案为：B．
【分析】设，中点，由根据抛物线定义列式求解即可.
4．（2026高二上·顺德月考）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：易知椭圆的两个焦点分别为，
设双曲线的标准方程为，由题意可得，，
则双曲线的标准方程为.
故答案为：A.
【分析】易知椭圆的焦点坐标，设双曲线的标准方程为，由题意可得、的值，即可得双曲线的标准方程.
5．（2026高二上·顺德月考） 长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内中点坐标公式；平面内两点间的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点、、，由题意可得，即，
因为点关于点的对称点为，则为的中点，所以，解得，
将代入，可得，即，
故点的轨迹方程为.
故答案为：C.
【分析】设点、、，由题意可得，分析可知点为的中点，利用中点坐标公式可得，代入等式化简即可求出点的轨迹方程.
6．（2026高二上·顺德月考）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
、、、，，，
则.
故答案为：C.
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算求的值即可.
7．（2026高二上·顺德月考）已知甲、乙两人射击的命中率分别是和．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两人射击互不影响，二 现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，
只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为，
则甲、乙分配猎物的比例应该是.
故答案为：A.
【分析】甲、乙两人射击互不影响，分别计算只有甲或只有乙打中猎物的概率，概率作比即可求得甲、乙分配猎物的比例.
8．（2026高二上·顺德月考）设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于、两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：取中点，连接，如图所示：
因为，所以，
设，因为，所以，
又因为，所以，所以，
则，，
过点且倾斜角为的直线方程为，，则，
在中，由勾股定理可得，即①，
在中，，即②，
联立①②消去化简得，则双曲线的离心率．
故答案为：D.
【分析】取中点，连接，由，可得，设，由双曲线的定义可知：，，，，，利用点斜式求得过且倾斜角为的直线，利用点到直线的距离公式求得，在和，利用勾股定理，推出、的关系，即可得离心率．
9．（2026高二上·顺德月考）已知三条直线，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．三条直线的斜率之积为1
C．三条直线的倾斜角之和为
D．三条直线在轴上的截距之和为12a
【答案】B,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：设三条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，
直线，；
直线，；
直线，，
A、，则直线与直线不垂直，故A错误；
B、，故B正确；
C、，
，则，可得，
则三条直线的倾斜角之和为135°，故C正确；
D、易知三条直线在轴上的截距分别为，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设三条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，分别求三条直线的斜率，即可判断AB；利用倾斜角和斜率额关系，结合三角恒等变换求解即可判断C；分别求三直线的纵截距，再求和即可判断D.
10．（2026高二上·顺德月考）有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：易知，，
记第一次取出的球的数字为，第二次取出的球的数字为，其中、，
用表示两次取球的号码，
则事件包含的基本事件有：、、、、，则，
事件包含的基本事件有：、、，则，
事件包含的基本事件有：、、，则，
事件包含的基本事件有：，则，
事件包含的基本事件有：，则，
A、，则与相互独立，故A正确；
B、，则与相互独立，故B正确；
C、，则与相互独立，故C正确；
D、，则与不相互独立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意，先分别求事件A，B，C发生的概率，再根据独立事件的定义逐项判断即可.
11．（2026高二上·顺德月考）已知为数列的前项和，且，则（ ）
A．存在，使得 B．可能是常数列
C．可能是递增数列 D．可能是递减数列
【答案】A,B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为为数列的前项和，且.
对于选项A，取，则，
所以，故选项A对；
对于选项B，取，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
所以，数列可能是常数列，故选项B对；
对于选项C，假设数列为递增数列，
则对任意的，，
所以，
则对任意的恒成立，
但当时，，矛盾，
则数列不可能是递增数列，故选项C错；
对于选项D，取，
则，，，
猜想，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，则，
所以，当时，，
则当时，猜想也成立，
所以，对任意的，，此时，数列为单调递减数列，故选项D对.
故答案为：ABD.
【分析】取，再利用已知的递推公式和数列求和公式，则判断出选项A；利用常数列的定义，则判断出选项B；利用单调函数的定义，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2026高二上·顺德月考）曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】恒过定点的直线；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：易知直线恒过定点，
曲线变形为，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆，
如图所示：
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离，解得，
当直线l过点时，直线l的斜率为，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】易知直线恒过定点，化简曲线方程，可知曲线以为圆心，2为半径的上半圆，作出曲线，过定点作直线，结合斜率公式，利用数形结合求解的取值范围即可.
13．（2026高二上·顺德月考）已知等差数列的前项和为，，，则 .
【答案】9
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等差数列，由，，可得，，
构成公差为2的等差数列，
则，即.
故答案为：9.
【分析】根据等差数列片段和性质求解即可.
14．（2026高二上·顺德月考）点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为 .
【答案】
【知识点】基本不等式；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；解三角形
【解析】【解答】解：由，，可得，，
在中，由余弦定理，
可得，
，，，则，，
，则，
取为中点，连接，则，，，
平面，，平面，
过作，交于点，如图所示：
因为平面，，平面，则平面，是到平面的距离，
，，
中，，，
当且仅当时，有最大值2，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，求得，，在中，利用余弦定理求得，再利用线面位置关系，表示出到平面的距离，利用基本不等式求距离最大值时的条件，再计算的面积即可.
15．（2026高二上·顺德月考）在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为.
（1）过点作圆的两条切线，求这两条切线的斜率之和；
（2）若过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：易知圆的标准方程为，
因为，所以点在圆外，
当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，解得或，
则两切线的斜率之和为；
（2）解：由题意可知：圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）易知圆的标准方程，先判断点和圆的位置关系，再分切线的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，列关于的等式，求解即可；
（2）由题意，先求圆心到直线的距离，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出的值可得.
（1）圆的标准方程为，
又因为，即点在圆外，
若切线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，
则直线与圆相交，所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
所以，整理可得，解得或，
故两切线的斜率之和为.
（2）由题意可知，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，整理可得，解得，
此时直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
16．（2026高二上·顺德月考）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；
（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.
【答案】（1）解：抛掷两枚质地均匀的骰子包含的基本事件有：
，
，共36种情况，
其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：
，共16种情况，
则选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大；
（2）解：若选择方案一，甲获胜的情况为：
甲在前两局获胜，其概率为：；
甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；
甲在第二局，第三局获胜，其概率为：，
则甲获胜的概率为：.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）利用列举法求概率，比较即可；
（2）利用独立事件的概率乘法公式分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式计算即可.
（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下：
，
，
其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：
，共16种情况，
故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大.
（2）若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：；
②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：，
因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：.
17．（2026高二上·顺德月考）记等差数列的前项和为，已知
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值以及取得最大值时的的值；
（3）求的前项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由题可得，解得，
则；
（2）解：由（1）可得，易知是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，
则在或时取得最大值，，
故的最大值为；
（3）解：由（1），则，
当时，；
当时，
，
故.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列式求出公差，即可得等差数列的通项公式；
（2）由（1）的结论，结合等差数列的前项和公式求得，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）先表示，再分与两种情况讨论，求和即可.
（1）设等差数列的公差为，
由题可得，解得，
故；
（2），是关于的二次函数，对称轴为，
在或时取得最大值，，的最大值为；
（3），
.
①当时，；
②当时，
.
因此，.
18．（2026高二上·顺德月考）如图，在三棱锥中，平面平面．
（1）在线段上是否存在点使得平面？并说明理由．
（2）设线段和的中点分别为和，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明： 在平面内过点作，由平面平面，平面平面，
可得平面，，即，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由，得，
，
假设在线段上存在点，使得平面，
令，，
由，解得，此时，
因为平面，所以平面，
故在线段上存在点使得平面，为在上的投影点；
（2）解：由（1）及分别为线段的中点，得，
则，
设平面的法向量为，则，令，可得，
显然平面的法向量，
设平面与平面夹的角大小为，则，
故平面与平面夹角的余弦值.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在平面内过点作，由题意，推出直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断即可；
（2）利用（1）中空间直角坐标系，利用空间向量求法求解即可.
（1）在平面内过点作，由平面平面，平面平面，
得平面，而，即，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，
，
假设在线段上存在点使得平面，
令，，
由，解得，此时，
而平面，
因此平面，所以在线段上存在点使得平面，为在上的投影点.
（2）由（1）及分别为线段的中点，得，
则，设平面的法向量为，
则，令，得，
显然平面的法向量，
设平面与平面夹的角大小为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值.
19．（2026高二上·顺德月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过的直线与相交手两点.当平行轴时，.
（1）求的方程；
（2）当的内切圆面积取得最大值时，求的方程.
【答案】（1）解：易知，且椭圆过点，则，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：，设直线为，且，
联立，整理得，，
由韦达定理可得，，
则的周长为，
设内切圆的半径为，则，解得，
又因为，所以，
要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大，
，即，
令，则，
，当且仅当即时等号成立，
则，即，，
当时等号成立，此时，，
故直线的方程为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 易知，且椭圆过点， 利用待定系数法求椭圆方程即可；
（2）设直线为，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得、，再求的周长，设内切圆的半径为，表示的面积，分析知的内切圆面积取得最大值时，只需最大，进而得到关于的函数，利用换元法，结合基本不等式求最大值即可.
（1）由题意，椭圆过点，且，则，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知，可设直线为，且，
联立整理得，，
所以，，
的周长为，
设内切圆的半径为，则，所以，
又，所以，
要使的内切圆面积最大，则的内切圆的半径最大，从而只需最大，
而，所以，
令，则，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，即，，
当时等号成立.此时，所以，
所以直线的方程为.
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