2.1圆的对称性课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学下册

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2.1圆的对称性课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．已知的半径为，点到圆心距离为，则点与的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定
2．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
6．已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（ ）
A．10 B．8 C． D．
8．如图，的半径为，正方形内接于，点在上运动（不与点重合），连接，作，垂足为，连接，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
9．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则等于 ．
10．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为 ．
11．在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是 ．
12．如图，是的一条弦，点C在内，，，连接，若的半径是2，则长度的最小值为 ．
三、解答题
13．如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使．
(1)求证：；
(2)如图2，连结，若，．
①求的半径．
②求的面积．
14．如图，在中，，以的中点为圆心，长为半径作交于点，连接．
(1)尺规作图：作出的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下．
①求证：．
②若，则线段的长为___________．
15．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）．
16．如图，正方形在半圆内部，顶点在圆上，在直径上．

(1)______（填“”“”或“”）；
(2)在正方形右侧再作一个小正方形，点在直径上，点在上，点在半圆弧上；若正方形的边长为，求正方形的边长．
17．如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离．
【问题解决】
(1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为_____．
(2)如图③点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最值．
(3)如图④，正方形中，点分别为上的动点，且，、交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，求的最小值．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．
(1)若，则正方形的面积为　 　；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为9
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．求正方形与正方形的面积比．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．C
4．B
5．C
6．C
7．B
8．A
二、填空题
9．
10．
11．5
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，则， ，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴圆O的半径为；
②如图，过点作于点，
，即．
∴，
∵，
∴．
14．【详解】（1）解：如图，
（2）解：①∵，是的中点，
∴，，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②∵在中，，，
∴，
∵，
∴．
15．【详解】（1），
隧道截面上部半圆O的半径，
隧道截面上部半圆O的面积为（平方米）；
（2）①，，
，
；
②由①知，，
又23，
，
．
由①知，，
，
函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当时，S有最大值，最大值为平方米．
16．【详解】（1）解：如图，连接，，则．

四边形为正方形，
，，
，
．
故答案为：
（2）解：如上图，连接，则．
由题意，得，，
．
设正方形的边长为．
在中，，
即，解得（负值已舍去）．
故正方形的边长为．
17．【详解】（1）解：如图①，若点在圆外，此时，，
∴，
∴圆的半径为2；
如图②，若点P在圆内，此时，，
∴，
∴圆的半径为5；
综上所述，圆的半径为2或5；
故答案为：2或5；
（2）解：取点，连接，
∵点，
∴点A为线段的中点，
∵点C为线段的中点，
∴，
∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值；当线段取得最小值时，线段也取得最小值，
连接，并延长交圆P于点、，
∴当点B位于点时，线段有最大值；当点B位于点时，线段有最小值，
∵，
∴，
∵圆P的半径为，即，
∴，
∴线段的最大值为，最小值为
∴线段的最大值为，最小值为；
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的圆上运动；
如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，
∴，
∴，
∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
18．【详解】（1）解：连接，如图，
∵四边形为正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
设正方形的边长为a，则，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为16．
故答案为：16；
（2）解：①连接，如图，
∵四边形是正方形，且其面积为9，
∴．
由（1）知：，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴，
∴．
②延长，交于点K，连接，如图，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由①知：，，
设正方形的边长为y，则，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为．
∴正方形与正方形的面积比．
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