2.3垂径定理课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 2.3垂径定理课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学下册 |
|
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
2.3垂径定理课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．如图，为的外接圆，半径，垂足为点，则的长为（ ）
A． B． C．12 D．24
2．如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，已知是的直径，且平分弦，交于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为米的圆形桌面，其示意图如图②所示，、为可折叠部分，，在劣弧上取一点，连接、，用量角器测得，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
9．如图，是的弦，于点．若，则半径的长是 ．
10．如图，是的内接三角形，，半径交于点E，．若，，则的长为 ．
11．如图，的弦，是的中点，且，则的直径等于 ．
12．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
14．如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
(3)在（2）的条件下，设与交与点F，求．
15．已知A，B，C是上的点，，垂足为D．
(1)如图1，当过O时，求证：；
(2)如图2，当不过O时，过C作延长线于F，交于E，
①求证：；
②若，，求．
16．如图，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点．
(1)求证：；
(2)若，请判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，已知，，求的长．
17．如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，为的直径，弦于点C（C为线段上一点），F为上一点（点C，F均不与端点重合），连接，，射线交于点H，与射线交于点G，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
(3)当点B为中点时，
①求证：；
②求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．C
4．D
5．B
6．B
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．
11．10
12．4
三、解答题
13．【详解】（1）证明：是的直径，，
．
，
．
又，
，
．
（2）解：连接．
在与中，
，
．
，
，
．
在中，，
．
14．【详解】（1）证明：∵半径，
∴，
∴，
∴平分
（2）解：∵半径，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
（3）由（1）得，
连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：当经过圆心时，
，
，
垂直平分，
∴；
（2）①证明：连接，过点作于点，
则，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：作，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
∴，，
在中，
，
由①证得，
∴．
16．【详解】（1）解：∵为的直径，弦，
∴，，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
连接，
，，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（3）解：连接，
，
，，
，
∴，设，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
解得：，
，
∵，，
∴，
，
，
，
．
17．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵直径，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
在直角中，．
18．【详解】（1）解：∵弦于点C，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点B为中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
②解：．
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试卷第1页，共3页
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一、选择题
1．如图，为的外接圆，半径，垂足为点，则的长为（ ）
A． B． C．12 D．24
2．如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，已知是的直径，且平分弦，交于点，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．赵州桥（图①）建于年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形．如图②，桥的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），则赵州桥桥拱所在圆的半径约为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图①，是折叠状态下的可折叠圆桌，将其展开就是一个直径为米的圆形桌面，其示意图如图②所示，、为可折叠部分，，在劣弧上取一点，连接、，用量角器测得，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
9．如图，是的弦，于点．若，则半径的长是 ．
10．如图，是的内接三角形，，半径交于点E，．若，，则的长为 ．
11．如图，的弦，是的中点，且，则的直径等于 ．
12．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，的直径垂直于弦，垂足为，是弦上一点，连接交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
14．如图，是的外接圆，是的直径．半径，垂足为点E，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
(3)在（2）的条件下，设与交与点F，求．
15．已知A，B，C是上的点，，垂足为D．
(1)如图1，当过O时，求证：；
(2)如图2，当不过O时，过C作延长线于F，交于E，
①求证：；
②若，，求．
16．如图，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点．
(1)求证：；
(2)若，请判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，已知，，求的长．
17．如图，在中，是直径，，点E在上，，与的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．如图，为的直径，弦于点C（C为线段上一点），F为上一点（点C，F均不与端点重合），连接，，射线交于点H，与射线交于点G，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
(3)当点B为中点时，
①求证：；
②求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．C
4．D
5．B
6．B
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．
11．10
12．4
三、解答题
13．【详解】（1）证明：是的直径，，
．
，
．
又，
，
．
（2）解：连接．
在与中，
，
．
，
，
．
在中，，
．
14．【详解】（1）证明：∵半径，
∴，
∴，
∴平分
（2）解：∵半径，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
（3）由（1）得，
连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
15．【详解】（1）证明：当经过圆心时，
，
，
垂直平分，
∴；
（2）①证明：连接，过点作于点，
则，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：作，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
∴，，
在中，
，
由①证得，
∴．
16．【详解】（1）解：∵为的直径，弦，
∴，，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
连接，
，，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（3）解：连接，
，
，，
，
∴，设，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
解得：，
，
∵，，
∴，
，
，
，
．
17．【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵直径，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
在直角中，．
18．【详解】（1）解：∵弦于点C，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①证明：如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点B为中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
②解：．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)