2.4过不共线三点作圆课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学下册

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2.4过不共线三点作圆课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆
2．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（ ）
A． B．3 C． D．
6．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在中，，，，则外接圆的半径为（ ）
A．10 B．5 C．6 D．4
8．已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若平面直角坐标系中的点不能确定一个圆，则的值是 ．
10．点为的外心，且，则的度数为 ．
11．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为 ．
12．如图，与x轴交于点，，与y轴的正半轴交于点C．若．
（1）圆心P的坐标为 ；
（2）点C的纵坐标为 ．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
(1)弧所在圆的圆心的坐标为________________；
(2)求弧所在圆的半径；
14．如图，在中，于点D，，．
(1)求的长；
(2)若，求外接圆的半径．
15．如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
16．如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点．
(1)求点，，，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标；
(3)试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由．
17．如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为，D为上在第一象限内的一点．若，求：
(1)的半径．
(2)点B的坐标．
18．如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB＝6，CD＝8．
（1）求⊙O的半径；
（2）若CF＝CG＝9，求图中四边形CFGH的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．C
4．D
5．C
6．C
7．B
8．A
二、填空题
9．3
10．或
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：；
（2）由勾股定理，得；
故半径为．
14．【详解】（1）解：∵于点D，，，
∴,
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴外接圆的半径．
15．【详解】（1）是的内心，
平分，平分，
，，
，，
，
，
；
（2）连接．
，
，
，
，，
，
，设，，则，，
同法可证：，
，
，
：：，设，，
，，
，
，
，
或舍弃，
，，
，
，
．
16．【详解】（1）解：令，则，
解得：或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
令，则，
∴点的坐标为.
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴其对称轴为直线，
连接，过作轴交于点，连接，如图所示，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
由抛物线的对称性质可知，
∴的最小值，
∴点即为所求作的点，
当时，，
∴；
（3）解：点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由如下，
∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为，
∴，，，
∵，∴，
∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边，
∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是．
17．【详解】（1）解：连接，如图．
是直角，
是的直径．
，
，
．
点A的坐标为，
，
，
的半径为2．
（2）在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
点B的坐标为．
18．【详解】解：（1）如图作DM＝AB，连接CM．则，
∴，
∴∠ABD＝∠MDB，
∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠BAE＝∠BDC，
∴∠MDB+∠BDC＝90°，
∴∠CDM＝90°，
∴CM是直径，
∴CM10，
∴⊙O的半径为5．
（2）∵FH是直径，
∴∠FCH＝90°，
∴CH，
设直径CM交FG于N，设FN＝x，ON＝y，
则有，
解得，
可得GH＝2ON，FG＝2FN，
∴S四边形CFGH＝S△CFH+S△FGH．
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