2.7正多边形与圆课后培优提升训练（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学下册

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2.7正多边形与圆课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形
2．如图，边长为正六边形内接于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于，若的半径为4、则这个正六边形的边心距的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，正六边形内接于，点在劣弧上，则的度数为 ．
10．如图，正六边形的边长为6，中心为点O，以点O为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如图，已知的半径等于，则圆内接正六边形的边心距的长等于 ．
12．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接，，若的长为，则正六边形的边长为 ．
三、解答题
13．如图，正十边形内接于，交于点．
(1)求的度数；
(2)当正十边形的边长时，求的长．
14．如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，求的度数；
(2)已知的面积为，求阴影部分的面积．
15．如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
16．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接．
(1)若，求证：M为的中点．
(2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径．
17．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形．
(1)求该地基的周长；
(2)求该地基的面积（结果保留根号形式）；
(3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式．
18．已知锐角的外心为，重心为（三条中线的交点），垂心为（三条高线的交点），点为边的中点．
(1)求的值；
(2)求证：，，三点共线并求出的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．D
4．C
5．D
6．C
7．B
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：连接，
∵正十边形内接于，
∴，，
∴，
∴的度数为．
（2）解：连接，
∵正十边形内接于，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴的长为．
14．【详解】（1）解：如图所示，在取一点，连接，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，则：，
∵正六边形，
∴，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
15．【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，，
∵是正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
16．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴M为的中点
（2）解：∵正方形的面积为4，
∴正方形的边长为2，
连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，即圆的半径为．
17．【详解】（1）解：连接、；
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长；
（2）解：过作于，
是等边三角形，，
，
于，
，
在中，由勾股定理，
，
；
（3）解：是等边三角形，，
，
于，
，
在中，由勾股定理，
，
．
18．【详解】（1）解：∵点是的重心，是边的中点，
∴，
（2）解：（1）连接，并延长交外接圆于点M，连接，，，，，，设交于点，如图，
∵是直径，
∴，是直角，
∴，，
又∵点H是的垂心，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点D是的中点，点O是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点是的重心，
∴点G与点重合，
∴G，O，H三点共线；
∵，
∴，
则，
∴；
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