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3第七章《相交线与平行线》核心专题一点通
（一）高频考点
高频考点一 垂线（共2小题）
1．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC＝236°，则∠AOC＝（ ）
A．72° B．62° C．124° D．144°
2．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
高频考点二 对顶角、邻补角（共3小题）
3．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝40°，∠3＝2∠2，则∠4的大小为 °．
4．在数学课上．同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形．请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
高频考点三 同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
6．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：11．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
高频考点四 平行线与平行公理（共1小题）
7．如图：
（1）∠AED与∠ACB是直线 、 被直线 所截得的 角；
（2）∠EDC与∠ 是直线 DE、BC被直线 所截得的内错角；
（3）∠ 与∠ 是直线DE、BC被直线AB所截得的同旁内角；
（4）∠ 与∠ 是直线AB、AC被直线DE所截得的内错角．
高频考点五 平行线的判定（共3小题）
8．如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠4，则b∥c D．若∠3+∠5＝180°，则a∥c
9．如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCA B．∠DCB+∠ABC＝180°
C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD
10．如图所示，已知∠1＝115°，∠2＝50°，∠3＝65°，EG为∠NEB的平分线，那么AB∥CD，EG∥FH吗？
高频考点六 平行线的性质（共4小题）
11．如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，若∠1＝65°，则∠2＝ °．
12．如图，一只船从点A出发沿北偏东60°方向航行到点B，再以南偏西25°方向返回，则∠ABC＝ ．
13．补全下列推理过程：
如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠ ＝∠1＝65°（ ）．
∠ +∠ABD＝180°（ ）．
∵BC平分∠ABD（已知），
∴∠ ＝2∠ABC＝130°（ ），
∴∠ ＝180°﹣∠ABD＝50°，
∴∠2＝∠ ＝50°．（ ）
14．如图是一个汉字“互”，其中AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M，H，G三点在同一直线上，N，E，F三点在同一直线上．
求证：∠CMH＝∠BNE．
高频考点七 命题、定理、证明（共2小题）
15．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是 （真或假）命题，此命题的题设是 ，结论是 ．
16．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
高频考点八 平移（共1小题）
17．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上．请分别按下列要求完成解答：
（1）画出△ABC的高CD，中线AE；
（2）画出将△ABC向左平移2格，再向上平移3格所得到的△A1B1C1；
（3）在（2）中的平移过程中，线段AC所扫过的面积为 ．
（二）核心题型及方法
核心题型一 推理填空（共1小题）
18．完成下面的证明．
已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∠4＝ （ ）
∴∠3＝∠5 （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠1+∠3）
同理，在△ADF中，
∴∠B＝ （等量代换）
∵AB∥CD（已知）
∴∠B＝ （两直线平行，同位角相等）
∴ （等量代换）
∴AD∥BE （ ）．
核心题型二 用平行线的判定与性质证明（共1小题）
19．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ）
∴AD∥EG（ ）
∴∠1＝∠2（ ）
∴ ＝∠3（ ）
∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（ ）
核心题型二 用平行线的判定与证明求角度（共2小题）
20．如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝50°，求∠1，∠2的度数．
21．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
核心方法一 过拐点作平行（共3小题）
22．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
23．如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D＝66°，∠B﹣∠D＝28°，则∠BED＝ ．
24．如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A～H表示，得到如图2的几何示意图，已知AB∥GF．试说明∠ABC＝∠BCF+∠CFG．
核心方法二 方程思想（共1小题）
25．如图1，点E在BC上，AB∥CD，∠A＝∠D．
（1）直接写出∠ACB和∠BED之间的数量关系 ；
（2）如图2，BG平分∠ABE，直线BG与∠CDE的邻补角∠EDF的平分线交于H点．若∠DEB﹣∠H＝60°，求∠DEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，BM平分∠ABE的邻补角∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．
核心方法三 参数思想（共1小题）
26．如图，已知AB∥CD，CP∥DN．
（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
3第七章《相交线与平行线》核心专题一点通
（一）高频考点
高频考点一 垂线（共2小题）
1．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOD+∠BOC＝236°，则∠AOC＝（ ）
A．72° B．62° C．124° D．144°
【分析】由两直线相交，对顶角相等，可得∠AOD＝∠BOC，已知∠AOD+∠BOC＝236°，可求∠AOD；又∠AOC与∠AOD互为邻补角，即∠AOC+∠AOD＝180°，将∠AOD的度数代入，可求∠AOC．
【解答】解：∵∠AOD与∠BOC是对顶角，
∴∠AOD＝∠BOC，
又已知∠AOD+∠BOC＝236°，
∴∠AOD＝118°．
∵∠AOC与∠AOD互为邻补角，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣118°＝62°．
故选：B．
2．命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么两个角都是直角 ．
【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设与结论互换即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．
故答案为：如果两个角相等，那么两个角都是直角．
高频考点二 对顶角、邻补角（共3小题）
3．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝40°，∠3＝2∠2，则∠4的大小为 100 °．
【分析】先根据对顶角相等求出∠1＝∠2＝40°，即可求出∠3的度数，再根据邻补角互补即可求出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°，
∵∠3＝2∠2，
∴∠3＝80°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝100°，
故答案为：100．
4．在数学课上．同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形．请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的高可进行求解．
【解答】解：过点B作线段AC所在直线的垂线段时，只有第一个图是正确的，其余三个都是错误的作法；
故选：C．
5．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【分析】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．
【解答】解：如图所示：线段AB的长度是点B到AC的距离，
线段CA的长度是点C到AB的距离，
线段AD的长度是点A到BC的距离，
线段BD的长度是点B到AD的距离，
线段CD的长度是点C到AD的距离，
故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．
故选：D．
高频考点三 同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
6．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC：∠AOD＝7：11．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【分析】（1）依据∠AOC：∠AOD＝7：11，∠AOC+∠AOD＝180°，即可得到∠DOB＝∠AOC＝70°，再根据角平分线的定义，即可得出∠DOE∠DOB70°＝35°，即可得到∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣35°＝145°；
（2）依据OF⊥OE，可得∠EOF＝90°，进而得到∠FOD＝90°﹣∠DOE＝90°﹣35°＝55°，再根据∠COF＝180°﹣∠FOD进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD＝7：11，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC180°＝70°，
∴∠DOB＝∠AOC＝70°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE∠DOB70°＝35°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣35°＝145°，
（2）∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠FOD＝90°﹣∠DOE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠COF＝180°﹣∠FOD＝180°﹣55°＝125°．
高频考点四 平行线与平行公理（共1小题）
7．如图：
（1）∠AED与∠ACB是直线DE 、CB 被直线AC 所截得的 同位 角；
（2）∠EDC与∠DCB 是直线 DE、BC被直线CD 所截得的内错角；
（3）∠EDB 与∠B 是直线DE、BC被直线AB所截得的同旁内角；
（4）∠ADE 与∠DEC 是直线AB、AC被直线DE所截得的内错角．
【分析】根据（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
分别进行分析即可．
【解答】解：（1）∠AED与∠ACB是直线DE、BC被直线AC所截得的同位角；
（2）∠EDC与∠DCB是直线DE、BC被直线DC所截得的内错角；
（3）∠EDB与∠B是直线DE、BC被直线AB所截得的同旁内角；
（4）∠ADE与∠DEC以及∠BDE与∠AED都是直线AB、AC被直线DE所截得的内错角．
故答案为：（1）DE，CB，AC，同位；（2）DCB，CD；（3）EDB，B；（4）ADE，DEC，（∠BDE与∠AED）．
高频考点五 平行线的判定（共3小题）
8．如图，下列说法错误的是（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠4，则b∥c D．若∠3+∠5＝180°，则a∥c
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理判断求解即可．
【解答】解：若a∥b，b∥c，则a∥c，
故A正确，不符合题意；
若∠1＝∠2，则a∥c，
故B正确，不符合题意；
若∠3＝∠4，则a∥c，
故C错误，符合题意；
若∠3+∠5＝180°，则a∥c，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
9．如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠DAC＝∠BCA B．∠DCB+∠ABC＝180°
C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD
【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD、BC是否平行即可．
【解答】解：A、∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A正确；
B、根据“∠DCB+∠ABC＝180°”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故B错误；
C、根据“∠ABD＝∠BDC”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故C错误；
D、根据“∠BAC＝∠ACD”只能判定“DC∥AB”，而非AD∥BC，故D错误；
故选：A．
10．如图所示，已知∠1＝115°，∠2＝50°，∠3＝65°，EG为∠NEB的平分线，那么AB∥CD，EG∥FH吗？
【分析】先根据∠3＝65°求出∠BFC的度数，由此可得出AB∥CD；由∠3＝65°求出∠4的度数，再由∠2＝50°求出∠NEB的度数，根据角平分线的定义得出∠GEF的度数，进而可得出EG∥FH．
【解答】解：AB∥CD，EG∥FH．
理由：∵∠3＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，
∵∠1＝115°，
∴∠1＝∠BFC，
∴AB∥CD；
∵∠3＝65°，
∴∠4＝180°﹣65°＝115°．
∵∠2＝50°，
∴∠NEB＝180°﹣50°＝130°．
∵EG为∠NEB的平分线，
∴∠GEF∠NEB130°＝65°，
∴∠GEF+∠4＝180°，
∴EG∥FH．
高频考点六 平行线的性质（共4小题）
11．如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，若∠1＝65°，则∠2＝ 65 °．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C＝∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠C．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠1＝65°，
∵AF∥BC，
∴∠2＝∠C＝65°．
故答案为：65．
12．如图，一只船从点A出发沿北偏东60°方向航行到点B，再以南偏西25°方向返回，则∠ABC＝ 35° ．
【分析】根据题意用60°减去25°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∠ABC＝60°﹣25°＝35°，
故答案为：35°．
13．补全下列推理过程：
如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC ＝∠1＝65°（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∠BDC +∠ABD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵BC平分∠ABD（已知），
∴∠ABD ＝2∠ABC＝130°（ 角平分线的定义 ），
∴∠BDC ＝180°﹣∠ABD＝50°，
∴∠2＝∠BDC ＝50°．（ 对顶角相等 ）
【分析】根据平行线的性质，将证明过程补充完整即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠1＝65°（两直线平行，同位角相等）．
∠BDC+∠ABD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵BC平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠ABC＝130°（角平分线的定义），
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，
∴∠2＝∠BDC＝50°．（对顶角相等）．
故答案为：ABC，两直线平行，同位角相等，BDC，两直线平行，同旁内角互补，ABD，角平分线的定义，BDC，BDC，对顶角相等．
14．如图是一个汉字“互”，其中AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M，H，G三点在同一直线上，N，E，F三点在同一直线上．
求证：∠CMH＝∠BNE．
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”证明GH∥EF，延长EF，与CD交于点I．根据“两直线平行，内错角相等”和角的等量代换证明即可．
【解答】证明：∵HF∥GE，
∴∠HFE+∠GEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠HGE＝∠HFE，
∴∠HGE+∠GEF＝180°，
∴GH∥EF（同旁内角互补，两直线平行）．
延长EF，与CD交于点I．
∵GH∥EF，
∴∠CMH＝∠MIF．
又∵AB∥CD，
∴∠MIF＝∠BNE．
∴∠CMH＝∠BNE．
高频考点七 命题、定理、证明（共2小题）
15．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是 真 （真或假）命题，此命题的题设是 两个角是对顶角 ，结论是 这两个角相等 ．
【分析】根据对顶角相等得出是真命题，再根据命题分为题设和结论两部分，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，从而得出答案．
【解答】解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题，此命题的题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等；
故答案为：是，两个角是对顶角，这两个角相等．
16．命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
【分析】如图，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，先根据平行线的性质得∠AEF＝∠DFE，则根据角平分线定义得到∠1∠AEF，∠2DFE，则∠1＝∠2，然后根据平行线的判定可判断EM∥FN，于是可判断“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．
【解答】解：命题“两直线平行，内错角的平分线互相平行”是真命题．
证明如下：如图，AB∥CD，EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFE，
∵EM平分∠AEF，FN平分∠DFE，
∴∠1∠AEF，∠2DFE，
∴∠1＝∠2，
∴EM∥FN，
即两直线平行，内错角的平分线互相平行．
高频考点八 平移（共1小题）
17．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在格点上．请分别按下列要求完成解答：
（1）画出△ABC的高CD，中线AE；
（2）画出将△ABC向左平移2格，再向上平移3格所得到的△A1B1C1；
（3）在（2）中的平移过程中，线段AC所扫过的面积为 25 ．
【分析】（1）依据高线和中线的定义，即可得出△ABC的高CD，中线AE；
（2）将△ABC向左平移2格，再向上平移3格即可得到的△A1B1C1；
（3）依据线段AC所扫过的面积等于平行四边形AA'C'C与平行四边形A'A1C1C'的面积之和进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，高CD，中线AE即为所求；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）线段AC所扫过的面积为：2×5+3×5＝10+15＝25．
故答案为：25．
（二）核心题型及方法
核心题型一 推理填空（共1小题）
18．完成下面的证明．
已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
证明：∵∠3＝∠4（已知）
∠4＝ ∠5 （ 对顶角相等 ）
∴∠3＝∠5 （ 等量代换 ）
∵∠1＝∠2（已知）
在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠1+∠3）
同理，在△ADF中， ∠D＝180°﹣（∠2+∠5）
∴∠B＝ ∠D （等量代换）
∵AB∥CD（已知）
∴∠B＝ ∠6 （两直线平行，同位角相等）
∴ ∠D＝∠6 （等量代换）
∴AD∥BE （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由题意可求得∠3＝∠5，从而可求得∠B＝∠D，再由平行线的性质可得∠B＝∠6，则∠6＝∠D，即可判定AD∥BE．
【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知），
∠4＝∠5（对顶角相等），
∴∠3＝∠5（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
在△ABC中，∠B＝180°﹣（∠1+∠3），
同理，在△ADF中，∠D＝180°﹣（∠2+∠5），
∴∠B＝∠D（等量代换），
∵AB∥CD（已知），
∴∠B＝∠6（两直线平行，同位角相等），
∴∠D＝∠6（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠5；对顶角相等；等量代换；∠D＝180°﹣（∠2+∠5）；∠D；∠6；∠D＝∠6；内错角相等，两直线平行．
核心题型二 用平行线的判定与性质证明（共1小题）
19．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义 ）
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ）
∴ ∠E ＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）
【分析】根据垂直的定义得出∠ADC＝∠EGC＝90°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3，
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义），
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义．
核心题型三 用平行线的判定与证明求角度（共2小题）
20．如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′的延长线与BC的交点为G，若∠EFG＝50°，求∠1，∠2的度数．
【分析】由折叠可知，∠DEF＝∠D′EF，再根据两直线平行，同旁内角互补及内错角相等求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵∠EFG＝50°，
∴∠DEF＝50°；
又∵∠DEF＝∠D′EF，
∴∠D′EF＝50°；
∴∠1＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
又∵AD∥BC，
∴∠1+∠2＝180°，
即∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣80°＝100°．
21．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．
【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
核心方法一 过拐点作平行（共3小题）
22．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，由平行线的性质可得HM∥CD，则可求∠CGH＝30°，∠ENG＝90°，可得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求∠EFG的度数．
【解答】解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，
∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，
∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，
∴∠CGH＝30°，
∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，
∴∠NFG＝180°﹣∠ENG﹣∠CGF＝40°，
∴∠EFG＝180°﹣∠NFG＝140°．
故选：C．
23．如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D＝66°，∠B﹣∠D＝28°，则∠BED＝ 80° ．
【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED＝∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D＝132°，结合∠B﹣∠D＝28°即可求解．
【解答】解：过E点作EM∥AB，
∴∠B＝∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED＝∠D，
∴∠BED＝∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF∠BED，
∵∠DEF+∠D＝66°，
∴∠BED+∠D＝66°，
即∠B+3∠D＝132°，
∵∠B﹣∠D＝28°，
∴∠B＝54°，∠D＝26°，
∴∠BED＝80°．
故答案为80°．
24．如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母A～H表示，得到如图2的几何示意图，已知AB∥GF．试说明∠ABC＝∠BCF+∠CFG．
【分析】方法一：延长AB交CF于点P，则∠CBP＝180°﹣∠ABC，由平行线的性质可得∠CPB＝∠CFG，再由三角形内角和定理进行计算即可得到答案；
方法二：过点C作CQ∥AB，则CQ∥AB∥GF，由平行线的性质可得∠BCQ+∠ABC＝180°，∠FCQ+∠CFG＝180°，∠BCQ+∠BCF+∠CFG＝180°，进行计算即可得到答案．
【解答】解：方法一：如图1，延长AB交CF于点P，
，
∴∠CBP＝180°﹣∠ABC，
∵AB∥GF，
∴∠CPB＝∠CFG，
∴∠BCF＝180°﹣∠CBP﹣∠CPB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣∠CFG，
∴∠ABC＝∠BCF+∠CFG；
方法二：如图2，过点C作CQ∥AB，
，
∵AB∥GF，
∴CQ∥AB∥GF，
∴∠BCQ+∠ABC＝180°，∠FCQ+∠CFG＝180°，
∴∠BCQ＝180°﹣∠ABC，∠BCQ+∠BCF+∠CFG＝180°，
∴180°﹣∠ABC+∠BCF+∠CFG＝180°，
即∠ABC＝∠BCF+∠CFG．
（任选一种方法说明即可）
核心方法二 方程思想（共1小题）
25．如图1，点E在BC上，AB∥CD，∠A＝∠D．
（1）直接写出∠ACB和∠BED之间的数量关系 ∠ACB+∠BED＝180° ；
（2）如图2，BG平分∠ABE，直线BG与∠CDE的邻补角∠EDF的平分线交于H点．若∠DEB﹣∠H＝60°，求∠DEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，BM平分∠ABE的邻补角∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，求∠PBM的度数．
【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据AB∥CD可得∠DFB＝∠D，则∠DFB＝∠A，可得AC∥DF，根据平行线的性质得∠ACB+∠CEF＝180°，由对顶角相等可得结论；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
【解答】解：（1）如图1，延长DE交AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠DFB＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠DFB，
∴AC∥DF，
∴∠ACB+∠CEF＝180°，
∵∠CEF＝∠BED，
∴∠ACB+∠BED＝180°，
故答案为：∠ACB+∠BED＝180°；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG∠ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴∠ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3∠EDF，
∴∠ABE+∠β∠EDF，
∴∠β（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°），
解得∠α＝100°．
∴∠DEB的度数为100°；
（3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK∠EBK，
∠CDN＝∠EDN∠CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN∠CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
∠EBK∠CDE
（∠EBK﹣∠CDE）
80°
＝40°．
核心方法三 参数思想（共1小题）
26．如图，已知AB∥CD，CP∥DN．
（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，根据平行线的性质、三角形外角性质求解即可．
【解答】（1）证明：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP+∠APE＝180°，∠CPE+∠DCP＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠CPE+∠DCP＝360°，
即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；
（2）证明：过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MQ∥CD，
∴∠BAM+∠AMQ＝180°，∠CDM＝∠DMQ，
∵∠AMD＝∠AMQ+∠DMQ，
∴∠AMQ＝∠AMD﹣∠CDM，
∴∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；
（3）解：延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AMD＝∠MED+∠MDE＝150°，
∴180°﹣∠BAM+∠MDE＝150°，
∵∠NDM∠NDC，
∴∠MDE∠NDC，
∵∠BAM∠BAP，
∴∠BAP∠NDC＝30°，
∴∠BAP﹣∠NDC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠AFC＝180°，
∵CP∥DN，
∴∠PCF＝∠NDC，
∴∠APC＝∠AFC+∠PCF
＝180°﹣∠BAP+∠NDC
＝180°﹣（∠BAP﹣∠NDC）
＝180°﹣45°
＝135°．
