8.1 平行四边形 同步练习（含答案）初中数学苏科版（2024）八年级下册

8.1 平行四边形
一、单选题
1．如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．16
4．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
6．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ）
A．四边形的周长 B．的大小
C．四边形的面积 D．线段的长
二、填空题
7．如图，在中，的平分线交于点E，若，则 ．
8．平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
9．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ．
10．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则 cm．
11．如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ．
12．如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示）
13．如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ．
14．在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ．
三、解答题
15．如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长．
16．如图，已知，，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
17．如图，C是线段的中点，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
18.在数学实验课上，学生用“GeoGebra”软件对线段的一个“翻折、平移”问题开展如下探究：
(1)操作猜想
如图1，已知，点B，点C分别在，上，将沿着翻折得到，再将平移至位置，连接．猜想与的数量关系是_________．
(2)探究证明
在小组合作探究过程中，小明发现虽然各小组的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立，请说明成立的理由．
(3)拓展延伸
如图2，若，F是延长线上的一点，连接、，当__________时（用含的式子表示）．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵是平行四边形，
∴，
故选B．
2．D
解：根据作图可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选D．
3．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴周长为：，
故选：C．
4．C
解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，
点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故选：C．
5．C
解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
6．C
解：连接，
在中，，分别为，中点，
且，，，
且，
四边形是平行四边形，
，
同理，且．
∴四边形是平行四边形，
则与的面积分别为与面积的一半，
四边形的面积，
四边形的面积始终为面积的一半，是定值．
选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误．
选项B：随位置改变，错误．
选项D：长度随、移动改变，错误．
综上，四边形的面积是定值，
故选：．
二、填空题
7．2
解：∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
8．（答案不唯一）
解：依题意，
∴，
∵为整数，
∴可以是，，，，
故答案为：（答案不唯一）．
9．
解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
10．12
解：∵为等边三角形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12．
11．
解：连接，
由作图可知， 垂直平分，
∴，
∵点N恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
14． 或
解：若与重合，在上，且，
则，
，
．
．
，
．
由勾股定理得，．
，．
．
．
与四边形的面积的比为．
若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，
如图，取的中点，的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，，，．
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为．
连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，
∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为，
四边形的面积与四边形的面积的比为．
当时，取最小值，由可知，的最小值为，
作，交延长线于点，则，
，
．
，
．
．
．
，，
．
．
．
．
如图，取的中点，的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，，，．
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为．
连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，
四边形的面积与四边形的面积的比为，
四边形的面积与四边形的面积的比为．
作，交延长线于点，作于点，则，，
．
．
，，
．
．
．
，
．
．
四边形为矩形．
，．
，，
，．
．
∴折痕长的取值范围是或．
故答案为：；或．
三、解答题
15．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是平行四边形边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的度数为．
17．
（1）证明：是线段的中点，
．
，
．
在和中，
．
（2），是线段的中点，
．
，
．
又，
∴四边形是平行四边形，
．
18.（1）解：，
∵沿着翻折得到，
∴，，
将平移至位置，
∴，，
∴
∴，
在 ABC与中，
∴
∴．
（2）解：成立，理由如下：
∵沿着翻折得到，
∴，，
将平移至位置，
∴，，
∴
∴，
在 ABC与中，
∴
∴
即的度数不同，点B，点C的位置也不相同，但（1）问结论始终成立．
（3）解：∵，
∴，
∴，
由（1）得：，
∴．
如下图平移平移到，则，
∴，
∵点A，B，F三点共线，
∴点C，B，G三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
则，
则，且，
∴四边形为平行四边形，
设，
∴，
，
∴，
∴．