8.2 特殊平行四边形——矩形（含答案）初中数学苏科版（2024）八年级下册

8.2 特殊平行四边形——矩形
一、单选题
1．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点O是 ABC边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B． C． D．
6．如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ．
8．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ．
9．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ．
10．如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为 ．
11．如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ．
12．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．
（1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ．
（2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ．
三、解答题
13．如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、．
求证：
(1)；
(2)．
14．已知：如图，矩形．
(1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，若，，求的长．
15.如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
16.舞狮文化源远流长，独山花灯表演里的“迎龙舞狮”（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形（如图②），和垂直于水平线，且点B，D，F在同一水平线上，，，．
(1)求的度数；
(2)若，求台柱与的高度差
17.如图，在 ABC中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
18.在四边形中，对角线、相交于点O，，．
(1)若是等腰三角形，则_______；
(2)已知，．
①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在中，，求的长．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
2．B
解：∵，
∴，
∴；
故选B．
3．D
解：选项A：∵ 平行四边形本身就有的性质，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质，
∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误．
选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中，
∴ 平行四边形是矩形，该选项正确．
故选：D ．
4．A
解：∵点O是边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意；
．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．若，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
5．B
解：如图，∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴ AOB是等边三角形，
∴，
由勾股定理得，，
∴矩形的面积．
故选：B．
6．A
解：过D点作轴，交轴于点，如图：
与矩形周长相等，，
，
的面积是矩形面积的一半，，
，
由勾股定理得：，
点D的坐标为．
故选：A．
二、填空题
7．
解：根据题意可得矩形的面积是，
故答案为：．
8．
解：∵矩形，，，
∴，，，
∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，
，．
∴EH===，
同理可得：，
∴四边形的周长为；
故答案为：
9．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵为线段上的动点，
∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，
则如图，过点作的平行线，
过点作关于线段的对称点，
由对称性得，
∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，
此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，
∵菱形中，，，
∴，，，
由题可得，
∴由对称性可得，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
10．
解：∵四边形是矩形，
∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=90 ，
∵，
∴，，
由翻折得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为．
11．8
∵四边形为矩形，
∴，且，
∴，
又∵，
∴ AOB为等边三角形，
∴，
∴
故答案为：
12．
解：（1）如图，点即为所求作，
故答案为：
（2）如图，作点关于的对称点，连接，
由轴对称的性质可知，，
，
当、、三点共线时，最小，最小值为的长，
过点作，由方格和为的中点知，，，
，
故答案为：．
三、解答题
13．
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
．
14．
（1）解：如图，即为所求；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
15.（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
（2）解：，，
．
又矩形中，，
∴是等边三角形，
．
16.（1）解：，，，
，
；
（2）解：过C作于H，如图所示：
，，
，
四边形是矩形，
，
，
台柱与的高度差是．
17.（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵ ，点是边上的中点，
∴ 即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
18.（1）解：∵是等腰三角形，，，
∴当时，此时满足三角形三边关系，符合题意；
当时，，此时不满足三角形三边关系，不符合题意；
综上，，
故答案为：；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
②过点作于点，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．