8.2 特殊平行四边形——正方形 同步练习（含答案）初中数学苏科版（2024）八年级下册

8.2 特殊平行四边形——正方形
一、单选题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
2．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
3．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，在正方形中，，点E，F分别在线段上，，连接．过点E，F分别作线段的垂线，垂足分别为G，H．动点P在内部及边界上运动，四边形，，，，的面积分别为，，，，．若点P在运动中始终满足，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰 ABC满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰 ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰 ABC与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．的周长为
二、填空题
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ．
8．如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，.....，按照此规律继续下去，则的值为 ．
9．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）．
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将 ADE沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ．
11．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ．
12．如图，四边形是正方形，E为上一点，将 ADE绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为 ．
三、解答题（4题）
13．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
14．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
15．如图，为正方形的对角线．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
16．已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）．
17.已知四边形是正方形，点在直线上，连接．将沿所在直线折叠，点的对应点是，连接并延长交直线于点．
(1)当点与点重合时，如图①，求证：
(2)当点在的延长线上（如图②）或点在的延长线上（如图③）时，线段，，各有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
18.已知矩形纸片，按要求解决下列问题．
(1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示）
(2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由．
(3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：．
参考答案
一、单选题
1．D
解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
2．D
解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
3．A
解：正方形的边长为2，
∴，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：A．
4．C
解：∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质易知，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
∵E为边的中点，
∴．
设，则，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
5．A
解：如图，
在正方形中，，，
；
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵，
∴由勾股定理得，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
又
而，
∴，
∵动点P在内部及边界上运动，
∴点的运动轨迹是内部及边界上平行于的一条线段，则是等腰直角三角形，如图，
取的中点，连接交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P组成的图形长度为2，
故选：A．
6．D
解：由 ABC的运动可知，等腰 ABC与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰 ABC整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为 ABC，此时面积不变．
记中点为，
由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图：
则，
由题意得，
∵，
∴，
∴
∴，
∴此时为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A、B正确，不符合题意；
∴当时，重叠部分记为，
由题意得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当时运动停止，那么 ABC的顶点从点运动到点用时，如图：
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由题意得：为的中点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故D错误，符合题意，
故选：D．
二、填空题
7．6
解：作轴于点，轴于点，连接，如图，
∵，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6．
8．
解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴DE=CE,∠CED=90 ，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∵正方形的边长为2，
，
∴面积标记为的正方形边长为 ×2= ，
则，
面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形的边长为，
则，
……，
，
则的值为：，
故答案为：．
9．①②或①③
解：当选择①；②时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
当选择①；③时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
当选择②；③，
由于四边形是平行四边形，若或，
均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；
∴选择①②或①③均可以，
故答案为：①②或①③（填写一组即可）．
10．
解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵将 ADE沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为，
故答案为：
11．
解：如图，连接交于点，过点作，垂足为，
则，
∵正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠可知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
设正方形边长为，则，
∵，
∴，
在中，，即
解得：或（不合题意舍去）
∴．
故答案为：．
12．
解：如图所示，连接，
由旋转可知，
∴，，，
∴点F、B、C三点共线，
∵ ，
∴ H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴正方形的边长为3，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为，
故答案为：．
三、解答题
13．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．
证明：四边形是正方形，
．
∵∠BAE=∠DAF，
，
，
，即．
15．
（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
16．
（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴，，
∵ 是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵四边形 是正方形， 为对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
17.（1）证明：由折叠的性质，得，，．
四边形是正方形，
，，∠B=90 ，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）解：①当点在的延长线上时，．
证明：延长到点，使，连接，如图①．
在和中，
，
，．
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
．
②当点在的延长线上时，．
证明：在上取点，使，连接，如图②．
在和中，
，
，．
由折叠的性质可知，，
．
，
，
，
，
．
18.（1）解：∵把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，
∴，，
故答案为：；；
（2）解：四边形的形状是菱形，理由如下：
根据折叠的性质得，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3）证明：如图，连接，，
∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，
∴，，
∵是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．