8.2 特殊平行四边形——菱形 同步练习（含答案）初中数学苏科版（2024）八年级下册

8.2特殊平行四边形——菱形
一、单选题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
3．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
5．按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
7．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形．
8．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ．
9．如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则 ．
10．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ．
11．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
12．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．
三、解答题
13．如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
14．如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
(1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形是菱形．
15．如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
(1)求证：是菱形；
(2)若，求的面积．
16．如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长．
17.如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处．
(1)F点的坐标为______，并求出线段的长；
(2)若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标；
(3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
18.实践操作
(1)在矩形纸片中，．
①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度；
②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长；
(2)若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长．
参考答案
一、单选题
1．A
解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．D
解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
3．C
解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形的周长为，
解法二：
∵在四边形中，对角线与互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴菱形的周长为，
故选：．
4．B
解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
解：根据作图可得
∴四边形是菱形，则，
又∵，
∴
故选：D．
6．D
解：由折叠的性质可知，，，
在菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题
7．(或，答案不唯一）
解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：；
根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：；
故答案为：(或，答案不唯一）．
8．1
解：∵菱形，，
∴，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
9．
如图，作交于I，
∵菱形，
∴，即，
由作图可知平分，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
解：∵菱形的对角线相交于点O，，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积；
故答案为：．
11．
解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
12．
由题意知，在菱形中，，，
∴ ABC和为等边三角形，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小，
此时最小值的长度为．
故答案为：．
三、解答题
13．
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
14．
（1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，
∴，
∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，
∴射线平分．
故答案为：；射线平分．
（2）证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，
∴，
∵射线平分，
∴；
在 ABC和中，
，
∴，
∴，
又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
15．
（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴ ABC为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．
（1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴ AOB≌ COD（AAS），
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17.（1）解：矩形的边、分别在轴、轴上，且，
，，，，
，且，
，，
由折叠得，，
，
，
，
．
如图1，过作交于，
则四边形，为矩形，
设长为x，则，
∴，
∵，
∴在中，，
由折叠可知，
，
解得：，
∴；
（2）解：如图2，连结交于点，
由（1）得，，，，
四边形是矩形，
点分别为、的中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
，
设，则，，
，，
；
（3）解：由（1）得，，，，，
由折叠得，，
①当、为菱形的边时，则，
点在轴上，点在上，
∴如图3，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形，
则
，
∴；
如图4，当点与点重合时，此时满足四边形为菱形，
则；
②当为菱形的边，为菱形的对角线时，如图5，四边形为菱形，
连结，交于点，则垂直平分，且四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
；
②当为菱形的对角线，为菱形的边时，如图6，四边形是菱形，
设，
作于点，则，，，
，
由，得，
解得，，
，
∴，
综上所述，，，，．
18.（1）解：①∵在矩形纸片中，，
∴，，
由折叠的性质得到，
∴，
∴，
∴；
②解：由折叠得，，
矩形的对边，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
；
（2）解：由折叠得，，设，
则，
在中，，
即，
解得，
，
连接、，
由翻折的性质可得，，，
矩形的边，
，
，
，
，
四边形是菱形，
在中，，
，
即，
解得．